“数形结合”思想在小学数学中的运用

发布时间：2014-11-14 15:04:43 来源：文档文库

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“数形结合”思想在小学数学中的运用

数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象表象之间的转化，发挥学生的思维。

数学家张广厚曾说：“数学无疑是一门高度抽象的学科，需要人们具有高度的抽象思维能力，但是也同样需要很强的几何直观能力。抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的，同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观地表示出来，如通过作线段图、树形图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，培养学生“在抽象中看出直观”的意识和能力，增强学生解决问题的能力。

一、运用“数形结合”思想开展概念数学

学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。数学概念的抽象性、枯燥性使得教学效果不尽如人意，而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物、图形等，从而帮助学生在轻松、愉快的学习氛围中理解概念的形成过程。

小学生入学初，刚学习数学知识时，教材首先就是通过数与物（形）的对应关系，初步建立起数的基本概念，认识数、学习数的加减法；通过具体的物（形）帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼，在培养学生初步的空间观念的同时，也初步培养学生的数形结合的思想，帮助学生把数与形联系起来，数形有机结合。随着学生年龄的增长，思维能力的不断提高，数与形的结合就更加广泛与深入。

例如北师大版五年级上册《分数的基本性质》，我先让学生分小组合作、探究，将三张大小相同的长方形纸平均折成4份、8份、16份，然后用铅笔分别画出3份、6份、12份，比一比画出部分的大小。并将三张长方形纸依次贴在黑板上，分别用分数表示阴影部分，如下图：

让学生观察这几组分数，分数的分子、分母都不相同，为什么分数的大小都相等呢？你们能找出它们的变化规律吗？这里有了数形结合，学生能够很直观地发现分子和分母的变化规律，得出分数的基本性质。

二、运用“数形结合”思想理解计算算理

计算是小学数学的重要内容。但在教学中许多老师忽视了引导学生理解算理，许多老师甚至不知如何帮助学生理解算理。学生不明白道理又怎么能更好地掌握计算方法呢？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“要知其然，更要知其所以然。”数形结合，是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。

例如北师大版数学一年级上册《有几瓶牛奶》（9加几的进位加法），教师出示情境图让学生理解复述题意，引导学生列出算式：9+5=，然后让学生探讨算法。学生可以用自己喜欢的方法来解决，可以通过直接看算式用凑十的方法，也可以用学具小棒等代替牛奶瓶进行操作，学生先自己说一说，摆一摆，再小组合作，汇报自己的想法。集体汇报时教师要在众多的算法中突出板书理解凑十法，通过数形结合明白算理。

︱︱︱︱︱然后过渡到 9 + 5 = 14

9 1 4 1 4

10

又如，北师大版数学五年级下册《分数乘法（三）》：一张长方形纸条，第一次剪去它的，第二次剪去剩余部分的，此时，剩下的部分占这张纸条的几分之几？如果第三次再剪去剩余部分的，那么剩下部分占这张纸条的几分之几？先让学生独立思考后用图形来表示：

然后小组同学相互交流，展示学生画的图形，说说自己的想法，最后得出×=。在数学×时，让学生将一张长方形的纸竖着对折2次，用斜线涂出它的，再把这张纸横着对折2次，用红色涂出斜线部分的，教师多媒体展示下图：

得出：×=，并适时总结出分数乘分数的计算方法。

以上例子，就是把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形就能联想到算式，能更有效地让学生理解计算的算理。

三、运用“数形结合”思想拓展几何空间观念

“空间与图形”是《数学课程标准》安排的四个学习领域之一，其核心目的是要发展学生的空间观念。空间观念是在空间知觉的基础上形成起来的，是几何形体的大小、形状及其相互位置关系在人脑中的表象及想象。对于小学生来说，他们的思维还处于从具体形象思维向抽象思维的过渡阶段，而空间观念的培养，也正是进行抽象思维的培养。为此，我们在进行几何知识教学时，不能仅着眼于学生认识一些图形和能进行有关的求积计算，还应致力于如何采用合理的、有效的教学方法，培养学生的空间观念。

例如，在教学三角形面积时，为了能让学生充分理解面积公式的意义，就必须让学生经历面积公式的推导过程，因此要放手让学生去独立思考、合作讨论、动手操作怎样得出三角形面积公式，通过数形结合的思想，变抽象为具体。学生探索交流后可以得出以下几种推导方法：

方法一：数方格

方法二：将两个相同的三角形拼成一个平行四边形：

方法三：通过割补可以把一个三角形转化成平行四边形或长方形：

或

通过分析拼成的平行四边形和原来的三角形的相互关系，得出三角形的公式：S=ah÷2。在这一过程中，学生真正明白了三角形的面积与拼成平行四边形面积之间的关系，也深刻理解了“除以2”的涵义。这样的教学，借助数形结合，促进了学生对三角形面积公式的深刻理解，还强化了“转化”这一数学思想方法。

四、运用“数形结合”思想解决实际问题

运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。在小学数学教学中，主要有线段图、示意图、数形图、几何图、韦恩图和表格等方法体现了数形结合思想方法。下面的例子就是借助表格来解决较为复杂的实际问题的。

在北师大版五年级上册《鸡兔同笼》这节课中，即采用假设法解题时，运用数形结合，可以使极为抽象的假设法变得直观形象。例题：鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡、兔各有多少只？题中有两个变量：鸡和兔，鸡的只数增多，兔的只数就要减少，反之鸡少了兔就多了。但它们总的只数和腿的条数是不变的。教学中，让学生理解鸡与兔是两个变量十分困难，教师单纯用语言是无法让学生很好地理解的。因此，教材就采用了数形结合（即表格），帮助学生理解鸡兔这两个变量的。在表格中学生通过猜测和尝试，逐步优化思路和方法：从有1只鸡开始一个一个地试，到几只鸡几只鸡地变化尝试和调整，到最后假设鸡和兔各占一半，两步到位，也就是10鸡，10只兔，共有60条腿。腿比实际54条多了6条，因为每多算一只兔子就会多算2条腿，说明多算了3只兔子，得到：7只兔子，13只鸡的正确结果。此时，再进一步延伸到假设法列式解决，即假设20只全部是兔子，得到算式：（20×4-54）÷（4－2）=13（只），水到渠成，学生就容易理解和掌握了。

五、运用“数形结合”思想整理数学知识体系

我们上完一个单元、一册书或整个小学阶段，就需要对相对应章节内容进行复习整理，使学生数学知识形成体系。复习是知识系统化的过程，也是提高学生技能的过程。小学数学内容是循序渐进，螺旋上升编排的，具有严密的系统性，知识的纵横之间有一根根无形的线把它们有机地串在一起，但数学教材的内容却是一个一个断开的课时完成的。因此，教师就是要让学生通过复习整理，把学过的知识系统化，使这些知识在学生的头脑中竖成串、横成链、结成网，形成一个完整的知识网络体系，这样不但能加深知识，巩固对所学知识的理解，而且便于将成块的知识储存在大脑中，便于今后运用。运用数形结合，有利于学生直观理解和掌握数学知识体系，如下面的树形图就是对数的计算的复习整理：

1、四则运算的意义

2、四则运算的法则

3、混合运算的顺序

4、运算加法

减法

数的计算乘法

除法

加法交换律

加法定律

加法结合律

减法减法性质

5、简便计算乘法交换律