安徽省六安市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷含解析

安徽省六安市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有(　　)

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

2．2017年，全国参加汉语考试的人数约为6500000，将6500000用科学记数法表示为（　　）

A．6.5×105 B．6.5×106 C．6.5×107 D．65×105

3．已知⊙O及⊙O外一点P，过点P作出⊙O的一条切线(只有圆规和三角板这两种工具)，以下是甲、乙两同学的作业：

甲：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；

②以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；

③作直线PM，则直线PM即为所求(如图1)．

乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P；

②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，记这时直角顶点的位置为点M；

③作直线PM，则直线PM即为所求(如图2)．

对于两人的作业，下列说法正确的是( )

A．甲乙都对 B．甲乙都不对

C．甲对，乙不对 D．甲不对，已对

4．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A、B的坐标分别为（，0），（0，1），把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为（　　）

A． B． C． D．

5．如图 1 是某生活小区的音乐喷泉， 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一个喷水管喷水的最大高度为 3 m，此时距喷水管的水平距离为 1 m，在如图 2 所示的坐标系中，该喷水管水流喷出的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式是（ ）

A． B．

C． D．

6．一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（　　）

A．2.18×106 B．2.18×105 C．21.8×106 D．21.8×105

7．计算的结果是（　　）

A． B． C． D．1

8．要使式子有意义，x的取值范围是（　　）

A．x≠1 B．x≠0 C．x＞﹣1且≠0 D．x≥﹣1且x≠0

9．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1

10．如图，在中，面积是16，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12

11．如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为α，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的是（　　）

A．∠BAC＝α B．∠DAE＝α C．∠CFD＝α D．∠FDC＝α

12．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（ ）

A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．在函数中，自变量x的取值范围是 ．

14．分解因式：3a2﹣12=___．

15．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于______．

16．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所示尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的表面积．

17．计算：（﹣）﹣2﹣2cos60°=_____．

18．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝________.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．

20．（6分）已知边长为2a的正方形ABCD，对角线AC、BD交于点Q，对于平面内的点P与正方形ABCD，给出如下定义：如果，则称点P为正方形ABCD的“关联点”.在平面直角坐标系xOy中，若A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）.

（1）在，，中，正方形ABCD的“关联点”有_____；

（2）已知点E的横坐标是m，若点E在直线上，并且E是正方形ABCD的“关联点”，求m的取值范围；

（3）若将正方形ABCD沿x轴平移，设该正方形对角线交点Q的横坐标是n，直线与x轴、y轴分别相交于M、N两点.如果线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，求n的取值范围.

21．（6分）为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶A、B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表：

（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？

（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．

（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．

22．（8分）P是外一点，若射线PC交于点A，B两点，则给出如下定义：若，则点P为的“特征点”．

当的半径为1时．

在点、、中，的“特征点”是______；

点P在直线上，若点P为的“特征点”求b的取值范围；

的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不是的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围．

23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点B（0，3），点O为原点．动点C、D分别在直线AB、OB上，将△BCD沿着CD折叠，得△B'CD．

（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；

（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；

（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．

24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．

(1)求证：AC平分∠DAB；

(2)求证：PC＝PF；

(3)若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长．

25．（10分）一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形，古希腊科学家把1,3,6,10,15,21，…，称为“三角形数”；把1,4,9,16,25，…，称为“正方形数”.

将三角形、正方形、五边形都整齐的由左到右填在所示表格里：

（1）按照规律，表格中a=___，b=___，c=___．

（2）观察表中规律，第n个“正方形数”是________；若第n个“三角形数”是x，则用含x、n的代数式表示第n个“五边形数”是___________．

26．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC=,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

求证：△AEF≌△DEB；证明四边形ADCF是菱形；若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积．

27．（12分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 ；

（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　 　；

（3）△A2B2C2的面积是　 　平方单位．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．B

【解析】

【分析】

首先设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意列方程即可，再根据二元一次方程求解.

【详解】

解：设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意可得：

3x+5y=35，

y=7-x，

∵x、y都是正整数，

∴x=5时，y=4；

x=10时，y=1；

∴购买方案有2种．

故选B．

【点睛】

本题主要考查二元一次方程的应用，关键在于根据题意列方程.

2．B

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】

将6500000用科学记数法表示为：6.5×106.

故答案选B.

【点睛】

本题考查了科学计数法，解题的关键是熟练的掌握科学计数法的表示形式.

3．A

【解析】

【分析】

（1）连接OM，OA，连接OP，作OP的垂直平分线l可得OA=MA=AP，进而得到∠O=∠AMO，∠AMP=∠MPA，所以∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°，得出MP是⊙O的切线，（1）直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，所以∠OMP=90°，得到MP是⊙O的切线．

【详解】

证明：（1）如图1，连接OM，OA．

∵连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A，∴OA=AP．

∵以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；

∴OA=MA=AP，∴∠O=∠AMO，∠AMP=∠MPA，∴∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°，∴OM⊥MP，∴MP是⊙O的切线；

（1）如图1．

∵直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，∴∠OMP=90°，∴MP是⊙O的切线．

故两位同学的作法都正确．

故选A．

【点睛】

本题考查了复杂的作图，重点是运用切线的判定来说明作法的正确性．

4．B

【解析】

【分析】

连接OO′，作O′H⊥OA于H．只要证明△OO′A是等边三角形即可解决问题.

【详解】

连接OO′，作O′H⊥OA于H，

在Rt△AOB中，∵tan∠BAO==，

∴∠BAO=30°，

由翻折可知，∠BAO′=30°，

∴∠OAO′=60°，

∵AO=AO′，

∴△AOO′是等边三角形，

∵O′H⊥OA，

∴OH=，

∴OH′=OH=，

∴O′（，），

故选B．

【点睛】

本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是发现特殊三角形，利用特殊三角形解决问题．

5．D

【解析】

【分析】

根据图象可设二次函数的顶点式，再将点（0,0）代入即可．

【详解】

解：根据图象，设函数解析式为

由图象可知，顶点为（1,3）

∴，

将点（0,0）代入得

解得

∴

故答案为：D．

【点睛】

本题考查了是根据实际抛物线形，求函数解析式，解题的关键是正确设出函数解析式．

6．A

【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】2180000的小数点向左移动6位得到2.18，

所以2180000用科学记数法表示为2.18×106，

故选A.

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

7．D

【解析】

【分析】

根据同分母分式的加法法则计算可得结论．

【详解】

===1．

故选D．

【点睛】

本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则．

8．D

【解析】

【分析】

根据二次根式由意义的条件是：被开方数大于或等于1，和分母不等于1，即可求解．

【详解】

根据题意得：，

解得：x≥-1且x≠1．

故选：D．

【点睛】

本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为1；二次根式的被开方数是非负数．

9．B

【解析】

【分析】

根据中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，从而判定△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解.

【详解】

解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DE=BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴△ADE的面积：△ABC的面积==1：4，

∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；

故选B．

【点睛】

本题考查三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质．

10．C

【解析】

【分析】

连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC的中点，故，在根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，，推出，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．

【详解】

连接AD，MA

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边上的中点

∴

∴

解得

∵EF是线段AC的垂直平分线

∴点A关于直线EF的对称点为点C

∴

∵

∴AD的长为BM+MD的最小值

∴△CDM的周长最短

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形线段长度的问题，掌握等腰三角形的性质、三角形的面积公式、垂直平分线的性质是解题的关键．

11．D

【解析】

【分析】

利用旋转不变性即可解决问题．

【详解】

∵△DAE是由△BAC旋转得到，

∴∠BAC=∠DAE=α，∠B=∠D，

∵∠ACB=∠DCF，

∴∠CFD=∠BAC=α，

故A，B，C正确，

故选D．

【点睛】

本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转不变性解决问题，属于中考常考题型．

12．C

【解析】

【分析】

根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答

【详解】

设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、、，只能F是M或N时，其各边是6、2，2．与△ABC各边对应成比例，故选C

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边成比例是解题的关键

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．。

【解析】

求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。

14．3（a+2）（a﹣2）

【解析】

要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，

3a2﹣12=3（a2﹣4）=3（a+2）（a﹣2）．

15．

【解析】

试题分析：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，可得BE∥CF，易证△BGD≌△CFD，所以GD=DF，BG=CF；又因BE是△ABC的角平分线且AD⊥BE，BG是公共边，可证得△ABG≌△DBG，所以AG=GD=3；由BE∥CF可得△AGE∽△AFC，所以，即FC=3GE；又因BE=BG+GE=3GE+GE=4GE=6，所以GE=，BG=；在Rt△AFC中，AF=AG+GD+GF=9，CF=BG=，由勾股定理可求得AC=.

考点：全等三角形的判定及性质；相似三角形的判定及性质；勾股定理.

16．100 mm1

【解析】

【分析】

首先根据三视图得到两个长方体的长，宽，高，在分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面积即可．

【详解】

根据三视图可得：上面的长方体长4mm，高4mm，宽1mm，

下面的长方体长8mm，宽6mm，高1mm，

∴立体图形的表面积是：4×4×1+4×1×1+4×1+6×1×1+8×1×1+6×8×1-4×1=100（mm1）．

故答案为100 mm1．

【点睛】

此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的表面积，根据图形看出长方体的长，宽，高是解题的关键．

17．3

【解析】

【分析】

按顺序先进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法运算即可.

【详解】

（﹣）﹣2﹣2cos60°

=4-2×

=3，

故答案为3.

【点睛】

本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.

18．2

【解析】

【详解】

试题分析：∵反比例函数（x＞1）及（x＞1）的图象均在第一象限内，

∴＞1，＞1．

∵AP⊥x轴，∴S△OAP=，S△OBP=，

∴S△OAB=S△OAP﹣S△OBP==2，

解得：=2．

故答案为2．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．两人之中至少有一人直行的概率为．

【解析】

【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，

所以两人之中至少有一人直行的概率为．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．概率=所求情况数与总情况数之比．

20．（1）正方形ABCD的“关联点”为P2，P3；（2）或；（3）.

【解析】

【分析】

（1）正方形ABCD的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），由此画出图形即可判断；

（2）因为E是正方形ABCD的“关联点”，所以E在正方形ABCD的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），因为E在直线上，推出点E在线段FG上，求出点F、G的横坐标，再根据对称性即可解决问题；

（3）因为线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，分两种情形：①如图3中，MN与小⊙Q相切于点F，求出此时点Q的横坐标；②M如图4中，落在大⊙Q上，求出点Q的横坐标即可解决问题；

【详解】

（1）由题意正方形ABCD的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），

观察图象可知：正方形ABCD的“关联点”为P2，P3；

（2）作正方形ABCD的内切圆和外接圆，

∴OF＝1，，.

∵E是正方形ABCD的“关联点”，

∴E在正方形ABCD的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），

∵点E在直线上，

∴点E在线段FG上.

分别作FF’⊥x轴，GG’⊥x轴，

∵OF＝1，，

∴，.

∴.

根据对称性，可以得出.

∴或.

（3）∵、N（0，1），

∴，ON＝1.

∴∠OMN＝60°.

∵线段MN上的每一个点都是正方形ABCD

的“关联点”，

①MN与小⊙Q相切于点F，如图3中，

∵QF＝1，∠OMN＝60°，

∴.

∵，

∴.

∴.

②M落在大⊙Q上，如图4中，

∵，，

∴.

∴.

综上：.

【点睛】

本题考查一次函数综合题、正方形的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题.

21．（1）大货车用8辆，小货车用7辆；（2）y=100x+1．（3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解；

（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8-x）辆，前往A村的小货车为（10-x）辆，前往B村的小货车为[7-（10-x）]辆，根据表格所给运费，求出y与x的函数关系式；

（3）结合已知条件，求x的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．

【详解】

（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：

解得：．∴大货车用8辆，小货车用7辆．

（2）y=800x+900（8-x）+400（10-x）+600[7-（10-x）]=100x+1．（3≤x≤8，且x为整数）．

（3）由题意得：12x+8（10-x）≥100，解得：x≥5，又∵3≤x≤8，∴5≤x≤8且为整数，

∵y=100x+1，k=100＞0，y随x的增大而增大，∴当x=5时，y最小，

最小值为y=100×5+1=9900（元）．

答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．

22．（1）①、；②（2）或，．

【解析】

【分析】

据若，则点P为的“特征点”，可得答案；

根据若，则点P为的“特征点”，可得，根据等腰直角三角形的性质，可得答案；

根据垂线段最短，可得PC最短，根据等腰直角三角形的性质，可得，根据若，则点P为的“特征点”，可得答案．

【详解】

解：，，

点是的“特征点”；

，，

点是的“特征点”；

，，

点不是的“特征点”；

故答案为、

如图1，

在上，若存在的“特征点”点P，点O到直线的距离．

直线交y轴于点E，过O作直线于点H．

因为．

在中，可知．

可得同理可得．

的取值范围是：

如图2

，

设C点坐标为，

直线，．

，，

，．

．

，

线段MN上的所有点都不是的“特征点”，

，

即，

解得或，

点C的横坐标的取值范围是或，．

故答案为 ：（1）①、；②（2）或，．

【点睛】

本题考查一次函数综合题，解的关键是利用若，则点P为的“特征点”；解的关键是利用等腰直角三角形的性质得出OE的长；解的关键是利用等腰直角三角形的性质得出，又利用了．

23．（1）D（0，）；（1）C（11﹣6，11﹣18）；（3）B'（1+，0），（1﹣，0）.

【解析】

【分析】

(1)设OD为x，则BD=AD=3，在RT△ODA中应用勾股定理即可求解；

(1)由题意易证△BDC∽△BOA，再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度，再由特殊角的三角函数即可求解；

(3)过点C作CE⊥AO于E，由A、B坐标及C的横坐标为1，利用相似可求解出BC、CE、OC等长度；分点B’在A点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.

【详解】

（Ⅰ）设OD为x，

∵点A（3，0），点B（0，），

∴AO=3，BO=

∴AB=6

∵折叠

∴BD=DA

在Rt△ADO中，OA1+OD1=DA1．

∴9+OD1=（﹣OD）1．

∴OD=

∴D（0，）

（Ⅱ）∵折叠

∴∠BDC=∠CDO=90°

∴CD∥OA

∴且BD=AC，

∴

∴BD=﹣18

∴OD=﹣（﹣18）=18﹣

∵tan∠ABO=，

∴∠ABC=30°，即∠BAO=60°

∵tan∠ABO=，

∴CD=11﹣6

∴D（11﹣6，11﹣18）

（Ⅲ）如图：过点C作CE⊥AO于E

∵CE⊥AO

∴OE=1，且AO=3

∴AE=1，

∵CE⊥AO，∠CAE=60°

∴∠ACE=30°且CE⊥AO

∴AC=1，CE=

∵BC=AB﹣AC

∴BC=6﹣1=4

若点B'落在A点右边，

∵折叠

∴BC=B'C=4，CE=，CE⊥OA

∴B'E=

∴OB'=1+

∴B'（1+，0）

若点B'落在A点左边，

∵折叠

∴BC=B'C=4，CE=，CE⊥OA

∴B'E=

∴OB'=﹣1

∴B'（1﹣，0）

综上所述：B'（1+，0），（1﹣，0）

【点睛】

本题结合翻折综合考查了三角形相似和特殊角的三角函数，第3问中理解B’点的两种情况是解题关键.

24．（1）（2）证明见解析；（3）1．

【解析】

【分析】

（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；

（2）由条件可得∠CAO=∠PCB，结合条件可得∠PCF=∠PFC，即可证得PC=PF；

（3）易证△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到 ，又因为tan∠ABC= ，所以可得=，进而可得到=，设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2，进而可建立关于k的方程，解方程求出k的值即可求出PC的长．

【详解】

（1）证明：∵PD切⊙O于点C，

∴OC⊥PD，

又∵AD⊥PD，

∴OC∥AD，

∴∠ACO=∠DAC．

∵OC=OA，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB；

（2）证明：∵AD⊥PD，

∴∠DAC+∠ACD=90°．

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠PCB+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠PCB．

又∵∠DAC=∠CAO，

∴∠CAO=∠PCB．

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACF=∠BCF，

∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，

∴∠PFC=∠PCF，

∴PC=PF；

（3）解：∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，

∴△PAC∽△PCB，

∴．

又∵tan∠ABC=，

∴，

∴，

设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，

∵PC2+OC2=OP2，

∴（4k）2+72=（3k+7）2，

∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．

∴PC=4k=4×6=1．

【点睛】

此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．

25．1 2 3 n2 n2 +x-n

【解析】

分析：(1)、首先根据题意得出前6个“三角形数”分别是多少，从而得出a的值；前5个“正方形数”分别是多少，从而得出b的值；前4个“正方形数”分别是多少，从而得出c的值；(2)、根据前面得出的一般性得出答案．

详解：（1）∵前6个“三角形数”分别是：1=、3=、6=、10=、15=、21=，

∴第n个“三角形数”是， ∴a=7×82=17×82=1．

∵前5个“正方形数”分别是： 1=12，4=22，9=32，16=42，25=52，

∴第n个“正方形数”是n2， ∴b=62=2．

∵前4个“正方形数”分别是：1=，5=，12=，22=，

∴第n个“五边形数”是n（3n−1）2n（3n−1）2， ∴c==3．

（2）第n个“正方形数”是n2；1+1-1=1，3+4-5=2，6+9-12=3，10+16-22=4，…，

∴第n个“五边形数”是n2+x-n．

点睛：此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．

26．（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）1．

【解析】

【分析】

（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；

（2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；

（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．

【详解】

（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

在△AFE和△DBE中，



∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．

∵AD为BC边上的中线

∴DB=DC，

∴AF=CD．

∵AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，

∴AD=DC=BC，

∴四边形ADCF是菱形；

（3）连接DF，

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴DF=AB=5，

∵四边形ADCF是菱形，

∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=1．

【点睛】

本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．

27．（1）（2，﹣2）；

（2）（1，0）；

（3）1．

【解析】

试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；

（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；

（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．

试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；

故答案为（2，﹣2）；

（2）如图所示：C2（1，0）；

故答案为（1，0）；

（3）∵=20，=20，=40，

∴△A2B2C2是等腰直角三角形，

∴△A2B2C2的面积是：××=1平方单位．

故答案为1．

考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/789898afbaf67c1cfad6195f312b3169a451eaea.html