近三年全国新课标高考数学试卷试题分析

2011~2013年全国新课标数学试题试卷分析

高三数学组 周继轩

纵观2011~2013年的新课标高考数学试题，整体感觉是：试卷结构保持稳定；考查内容相对稳定，仍然遵循主干知识重点考查的原则；对能力的考查力度逐年提升。现把2011~2013年全国课标卷所考查的知识点的情况以及相邻两年的对比分析如下。

一、2011~2013年全国课标卷考查的知识点对比：

二、2011年与2012年全国高考课标卷的对比：

（一）题型题量稳定，难度偏大

2012年新课标全国高考数学试卷与2011年全国高考数学试卷结构相同。选择题比去年略难：填空题比去年多一个难题，特别是文科12题（理科16题）相对难度较大，超出了当前考纲对数列部分的要求，文科16题考查的只是比较灵活，也超出了文科学生的实际水平，很多考生在此题上浪费了时间、影响了情绪；解答题整体难于去年一个档次。

（二）重点热点知识，重点考查

2012年新课标全国高考数学试卷既考查全面又突出重点，考查内容涵盖了函数、数列】不等式、立体几何、解析几何、概率统计等高中数学模块，对于支撑学科知识体系的主干知识点，如函数的性质、导数的应用、空间几何体、空间直线与平面位置关系、圆锥曲线、概率、统计的考查保持了较高的比例，对于其他非主干知识点也注意适度考查，对新增内容的考查与去年比重相当，重点考查算法、三视图、概率与统计等知识点。

（三）突出应用创新，区分度大

2012年新课标全国高考数学试卷对数据处理意识要求比去年高，第15题（考查正态分布、概率计算）相比去年的第4题不论从知识还是能力上都高一个档次，第18题虽然与去年的第19题在形式上类似，但从学生答卷反馈来看，由于对阅读理解与转化要求比去年的第19题要高，所以还是要难一些。对于创新，首先是命题者的选材新，解答题个个背景新颖，如理科18题，20题，23题等，其次是立意新，如理科12题，理科16题（文科12题）文科16题，、文理科的21题，理科选修24题都为学生提供了展示创新思维的平台，这也是多数考生感觉今年数学试卷难的关键所在，也是试卷区分度高的保障。

（四）试卷结构合理，背景公平

本套试题既考查了高中数学的基本概念的理解掌握，基本问题的分析求解，又有常见的基本规律，基本结论的使用，也有各部分知识，各种数学方法的综合运用，最显著的特点是，紧扣教材，注重基础，突出考查了逻辑推理能力和思维的灵活性，严谨性以及对理性思维的考查，所运用的数学知识，解题方法，解题思路与解题技巧上基本没有超出高考说明的范围，注意通解通法，淡化特殊技巧，试题表达语言和表达方式符合学生的实际，通俗易懂，有助于考生的阅读理解，试题背景材料的取向贴近教材和考生的生活实际。

（五）注重数学思想，强化能力

整卷注重考查数学能力和思想方法，主要考查数形结合、化归与转化、分类与整合、函数与方程，空间想象能力、运算能力、思维能力、实践能力、如理科第4、8、10、11、12、14、20、22、23考查了数形结合思想，理科第4、5、8、11、12、13、17、20、21、23考查了函数与方程的思想；转化与化归思想几乎贯穿于每一道题目中，尤其是理科第11、12、15、16、17、21题等考查了数与形的转化，边与角的转化等，理科第16、21、24题考查了分类与整合的数学思想。

三、2012年与2013年全国高考课标卷的对比：

（1）连续两年的课标卷试题与早先的课标卷试题有很大的区别

近两年高考题中大纲卷试题的影子很多，如2012年的11题、12题、16题、所有的解答题（尤其是第17题），2013年的10题、12题、14题、和解答题；这为我们高三备考提供了一定的方向；

（2）课标卷试题文理科试题差距逐渐增大

2013年高考文理科完全相同的题只有文科第7题（理科第5题）、第11题（理科第8题）、文科第12题（理科第11题）、文科第13题（理科13题）、文科16题（理科15题）、文科21题（理科20题）、三选一试题，文科19题和理科18题为姊妹题，这为高三复习文科教师提出了更高的要求；

（3）连续两年理科试卷中数列试题没有作为解答题出现，但作为选择（2013年第12题）和填空（2012年第16题）分别成了压轴题，对数列的复习应该适当的加大难度；

（四）2013年试题在考察学生思维能力的基础上对学生的运算能力和化简变形能力的考察更为突出（如 填空题和解答题），考察学生一般方法的基础上更加体现了学生对考试答题技巧的掌握和考场心理状态的考察，如（11题和12题）；

（五）教材新增内容在连续两年的高考中连续出现，如程序框图、三视图问题；立体几何中球的接切问题（2012年理科第11题，2013年理科第6题），数列中的递推关系求通项这两部分内容的考察力度在加大，函数的图像、性质及恒成立问题是高考对函数问题考察的主流，尤其是恒成立问题在2013年高考中得到了充分的体现；

四、典型试题分析

现选取几个典型试题来对以上观点做一下印证。

（2013年第16题）、若函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png=56585dcea4483a4ff4a65efb52103a62.png的图像关于直线d3162f19991cb690ec59f78f93071b2d.png对称，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最大值是______.

利用一般到特殊的数学思想建立关于b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png的方程组后求出b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png，并利用导数求高次函数的最值；

由于函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png=56585dcea4483a4ff4a65efb52103a62.png的图像关于直线d3162f19991cb690ec59f78f93071b2d.png对称

则：77f5ab1dd05345d2be67b3e0b9ec92e0.png

解得：e0b5fec85ebeb8b60b42da3f4b7ed615.png，则a5dc9b3ca86f5bcfde5b7f24da1d4a4b.png

解法1：高次函数求最值利用导数进行研究

a5dc9b3ca86f5bcfde5b7f24da1d4a4b.png，则619312124605b79b1714a009f4aafd5f.png

求导后不能直接判断导函数与0的大小关系，那么能否可以解不等式呢，我们知道高次不等式的求解往往能够因式分解，那么686863d7939449c1ad9df590f5588de8.png能否因式分解呢？利用特殊根的方法进行验证得到：2c94147ac70b348b5bc86a2c58926f99.png，则686863d7939449c1ad9df590f5588de8.png中一定有一个因式ab713aa2a1dadceaba643f52074c50e7.png，则利用多项式除法进行因式分解：

学生会多项式除法吗？如果不会直接因式分解难度不小！

即：0fa95869983ce5d35d4df4b8580fc271.png

则5d2a48f4eb1dfba4768e431b1f0c9f0c.png，

434735fd0caf35938b40e0af1ead4eaf.png的三个根为0697560bbe86692e46a85eaf83b73df5.png

令74bee5586a9cdd060181e2faa741d57f.png，利用序轴表根法得：

在2ebace06eb5e3c0284c02d2457dc2da6.png时74bee5586a9cdd060181e2faa741d57f.png，则函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png单调递增；

在34faf60b3d403993791feb30e5a82fc1.png时79dce1a3bc8a97dc0df3c4310a4fa34a.png，则函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png单调递减

则081941401e5e20f15ff066eb13bc7abf.png

计算量不小，但结果非常完美！

解法2：函数有对称轴d3162f19991cb690ec59f78f93071b2d.png，则02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png一定是函数的一个极值点即：e35f78589b513cee15cf4b9eae2aba58.png

则，619312124605b79b1714a009f4aafd5f.png一定能够因式分解，且一定含有一个因式ab713aa2a1dadceaba643f52074c50e7.png，利用多项式除法从而得：5d2a48f4eb1dfba4768e431b1f0c9f0c.png，其余同【方法1】

解法3：把握函数结构特征，直接对函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png因式分解利用整体代换求最值

ea7ca7716ebd7689bb8b4b2abffc263c.png

令fe918025233da8ba816eef400c92683a.png，

则29cfd38b4aae4de82fb4d9f11ac35a81.png

当b73c3280b6f85a6ac520af103083f535.png时，1ab77a359b6df982d999121dce56dd5a.png

学生解题存在的问题：

（1）不能够通过两组特殊值得到b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png的方程组从而求出b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png，而是总想只利用一组特殊值建立b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png的等量关系后通过减元进行处理

（2）求出b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png后不能对导函数进行因式分解，一是不会利用特殊值找根，二是不能够利用

e35f78589b513cee15cf4b9eae2aba58.png对高次不等式进行因式分解；

（3）求出单调区间后求极大值时（081941401e5e20f15ff066eb13bc7abf.png）由于运算量大导致错误。

（2013年11题）已知函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png=b6ba5912cd3204ebd047e8ccb091f60e.png，若|50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png|≥9cea1e2473aaf49955fa34faac95b3e7.png，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围是

7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png.53bfaab82eb0da3ce998a8bc351c1915.png 9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png.22e60b1c975762533f4017962574ccd3.png 0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png.ef67b809a376c22359b128af191c3988.png f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png.3e550a5abccb8f37d5858980a7b9b60f.png

解法1：注意到b69be4243d6ec076204065a5b2034375.png时函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为二次函数的结构特征，因此采用特殊到一般的思路得到部分答案，利用答案C、D的区别验证1是否满足即可：

∵|50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png|=5071f2ef8892b272a136e830bc7ba989.png，∴由|50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png|≥9cea1e2473aaf49955fa34faac95b3e7.png得，8a4a3828c09b61579f1fb06b4499ee39.png且2d4c3380eab5a753f4431a1e443d53a2.png，

由8a4a3828c09b61579f1fb06b4499ee39.png可得19bae0752220b80458a4477ba9712811.png，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png≥-2，排除Ａ，Ｂ，

当0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png=1时，易证c6cd9e5d11ee7219e756ee45ae282a1c.png对887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png恒成立，故0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png=1不适合，排除C，故选D.

word/media/image53.gif解法2：数形结合法，即作出函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图象，利用图象直观得到答案：

作出函数5cddc454d23610fda63cfac60c3b74f4.png的图象，如图，1b6298ebb1c078a535362b58a22831c6.png恒成立，需函数5cddc454d23610fda63cfac60c3b74f4.png的图象永远在函数d38138d655b44f7560b26504c31bdb11.png图象的上方，而函数d38138d655b44f7560b26504c31bdb11.png图象是一条过原点的直线，图中的两条红线均不满足要求，而蓝线表示函数adbc39c6328146b8521da663571275af.png在原点处的切线，此时切线的斜率为02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围为3e550a5abccb8f37d5858980a7b9b60f.png.

备注：在利用数形结合解决问题时，部分同学对斜率大于0的红线产生疑问，即当81ab5a0b5746d911e1d8f16c92f80df1.png且0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png很小时，在415290769594460e2e485922904f345d.png轴的左侧满足1b6298ebb1c078a535362b58a22831c6.png，在415290769594460e2e485922904f345d.png轴的右侧是不是也满足1b6298ebb1c078a535362b58a22831c6.png？

即判断方程c8dd8170ae127c4b2315b94cf2f61ce0.png在52570a0cfc322b89d11349b80760b9fd.png的情况下是否一定有解？

解决如下：不妨将方程转化为3521bce22bd6d634a17bf27d6986e968.png，令bc18962d722015a41cbec8fd7bd94e18.png

f6b237ab9aadd966afb037b7a90fbb71.png，令444d6917ca906d9390ae962afd90b0be.png，则

0303f40c2eda684fcb9b63986bc67ad4.png，所以函数e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png单调递减，又fe0782e22ca0d73cedf28cd918a3c0f8.png，则6df9ca24f399951f48ba3c40a75c6399.png，则函数ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png单调递减;

利用极限知识可知：e2371f9068d6fee6c61588dafea72f98.png（涉及到了洛密达法则）

则d74289870620152edc668cc1f0271565.png，即3521bce22bd6d634a17bf27d6986e968.png在52570a0cfc322b89d11349b80760b9fd.png上一定有解.

解法三：分离参数法解决恒成立问题

由于函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为分段函数，则分两段考虑即可

当e54e5ec6ebe0d78e64c134099fbf0aa4.png时，原命题等价转化为：d5f6be1fd12ed26b89a5544f13c9c0b2.png恒成立，分离参数得：
5c74c49fb076d364a3dd00da6f786c5a.png恒成立，令470ea5536ba9010fd29e150bc9cb9c72.png

由解法二中备注知识可得：f2fcb37f5d5501a698da9bbc79c1c43b.png，则需90427404ddaca5bb6cd2c86877db491f.png；

当97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png时，原命题等价转化为：048715e416c85dd0c23baef877155d8c.png恒成立，即19bae0752220b80458a4477ba9712811.png恒成立，从而得到aba776230d3397061a86ab3ae601e82c.png

综上可得：选D

解法四：构造函数法解决恒成立问题

当97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png时，原命题等价转化为：048715e416c85dd0c23baef877155d8c.png恒成立，即20ec1edbb49385b17881d457bb9bcc51.png恒成立，令fe43e07f8e3d5ce060ace8b6becd9353.png，则ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png在97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png时单调递增，则需050ed1cbecaffdc8e15ca3fd1f07dbbd.png

当e54e5ec6ebe0d78e64c134099fbf0aa4.png时，原命题等价转化为：ba9d32700106d8f8892646d55828dd95.png恒成立，令90516b4b4bdf070f5504793d97d42ec8.png

c962b3f1c45c6f040f844582809ae99b.png
令e17a07715efd3eb944437d46dbc5b19b.png

分母大于0，分子中9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png系数为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png与0大小关系不定，故需分类讨论：

当cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png时，显然分子小于0，则2113e8c89b5c05770ec6dd6ba583e226.png，故函数ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png单调递增，则778edacce0c20f8a30d831ee2f6d8760.png成立；

当ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png时也成立

当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，令f9961d34e84650918c52625307d0544c.png

由于不知道0f592ac2c1baf38df66ca9d70118adec.png与定义域中0的大小关系，故分类

（1）当08c4697143a9a416adbcff44d700fd13.png时，函数ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png在c6d0934c7b313d6fbd4988a87e9d90da.png单调递增，在9e8997a6af497478fa0d8c643d37a707.png单调递减

word/media/image109.gif由于352383e4e798148b05ec354cff23c231.png，则函数ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png的图象大致如下图1或2；若为图象1，显然成立 ，若为图象2，则不成立，需要考虑函数ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png在c0fa4f18886b5f43a477a87249d879f5.png的极限，显然为无穷减无穷型，不妨考虑两个函数图象的变化

即fda4862f9cc0e83bfc151e509fe1baa4.png的图象变化，如下图：

当c0fa4f18886b5f43a477a87249d879f5.png时6f78d56c5a1663da060f991179c87b0d.png，则不成立；

备注：或者利用解法二中的备注来解决；

（2）当43be9163c38281625cf713051581195b.png时，ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png在57d6d5de55fb1460b59d8049dd0639cb.png递增，在2e0e29c09338527ebb1dd30d389a60a0.png上单调递减，则在887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png上递减，又352383e4e798148b05ec354cff23c231.png，故不成立

综上可得：0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围为3e550a5abccb8f37d5858980a7b9b60f.png.

知识点与方法整理：

该题虽然为小题，但在解题过程中用到了大量的知识点与方法，现整理如下：

（1）当7ae27cecfbd92cbd679b00187dac70d1.png时，基本不等式374011ca13f7bb15412ea9a31df643f3.png；

（2）高等数学中的洛密达法则求b5818c34c99c55f90afd3038261ab2c9.png型函数的极限；

（3）分离参数法；

（4）构造函数法

此题最好的方法是利用图象或特殊到一般结合排除法最为简单，尤其是在考场上，建议用最直接的方法得到答案，而且在构造函数时发现当81ab5a0b5746d911e1d8f16c92f80df1.png时不容易解决，但能够解决。

5、反思与总结：

我们仅看以上两例，但不难看出新课标命题的一些基本特征，掌握了这些特征，能对我们高考的辅导起到指导作用。现将我的体会分享如下：

（1）主干知识重点考查，但追求知识点的覆盖面：

试题主要内容分布在函数（含导数）、不等式、数列、立体几何、解析几何、概率统计、三角等主干知识上，不刻意追求知识的覆盖面，如新增内容中函数的零点、二分法、幂函数、茎叶图、条件概率、全称命题与特称命题、合情推理与演绎推理、独立性检验等今年就没有涉及到。而对支撑学科知识体系的重点知识，考查时保持了较高的比例，构成了数学试卷的主体。

（2）注重对数学思想的诠释和对数学能力的考查：

新课标试卷命题按照考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平。

（3）加大了试卷的区分度：

新课标试卷命题遵循了考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”这一原则。很多题目似曾相识，但又不完全相同，适度创新，更加体现了对考生思维能力和灵活应用知识的考查。

（4）对一些知识的考查体现了“源于教材，可高于教材”的理念：

新课标试卷的命题以重点知识构建试题主体，选材寓于教材又高于教材，立意创新又朴实无华，为以后的高中新课程的数学教学改革和日常教学发挥了较好的导向作用。

2013年11月6日

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