[精品]高中数学第二章变化率与导数章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2 - 2

第二章 变化率与导数

[对应学生用书P25]

一、导数的概念

1．函数在点x0处的导数

f′(x0)＝li，Δx是自变量x在x0附近的改变量，它可正、可负，但不可为零，f′(x0)是一个常数．

2．导函数

f′(x)＝li ，f′(x)为f(x)的导函数，不是一个常数．

二、导数的几何意义

1．f′(x0)是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，这是导数的几何意义．

2．求切线方程

常见的类型有两种：

一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．

三、导数的运算

1．基本初等函数的导数

(1)f(x)＝c，则f′(x)＝0；

(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1；

(3)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axln a；

(4)f(x)＝logax，则f′(x)＝；

(5)f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；

(6)f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；

(7)f(x)＝tan x，则f′(x)＝；

(8)f(x)＝cot x，则f′(x)＝－.

2．导数四则运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)′＝.

3．复合函数的求导法则

设复合函数μ＝g(x)在点x处可导，y＝f(μ)在点μ处可导，则复合函数f(g(x))在点x处可导，且f′(x)＝f′(μ)·g′(x)，即yx′＝yμ′·μx′.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量．

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知函数f(x)＝，则f′＝(　　)

A．－　　　　　　　　 　B．－

C．－8 D.－16

解析：∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3，

∴f′＝－2×－3＝－16.

答案：D

2．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)

A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1

解析：由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1，故选A.

答案：A

3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是(　　)

A．在点x＝x0处的函数值

B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值

C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率

D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率

答案：C

4．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)＝(　　)

A．sin x B．cos x

C．cos α＋sin x D.2sin α＋cos x

解析：函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．

答案：A

5．曲线y＝x＋x3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为(　　)

A．3 B．2

C. D.

解析：y′＝1＋x2，故切线的斜率k＝f′(1)＝2，

又切线过点，∴切线方程为y－＝2(x－1)，

即y＝2x－，

切线和x轴，y轴交点为，.

故所求三角形的面积＝××＝，故选D.

答案：D

6．函数f(x)＝xsin x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致为(　　)

解析：∵f(x)＝xsin x，∴f′(x)＝sin x＋xcos x，

∴f′(－x)＝－sin x－xcos x＝－f′(x)，∴f′(x)为奇函数，由此可排除A，B，D，故选C.

答案：C

7．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(3)＝(　　)

A. B．2ln 3

C. D.

解析：∵f′(x)＝，∴f′(3)＝.

答案：D

8．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)

A．0 B．2

C．1 D.－1

解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，

所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，则f′(1)＝0.

答案：A

9．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝(　　)

A．a B．±a

C．－a D.a2

解析：因为y′＝＝＝，所以x－a2＝0，解得x0＝±a.

答案：B

10．若函数f(x)＝－eax(a>0，b>0)的图像在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值是(　　)

A．4 B．2

C．2 D.

解析：函数的导数为f′(x)＝－eax·a，

所以f′(0)＝－e0·a＝－，

即在x＝0处的切线斜率k＝－，

又f(0)＝－e0＝－，所以切点为，

所以切线方程为y＋＝－x，即ax＋by＋1＝0.

圆心到直线ax＋bx＋1＝0的距离d＝＝1，

即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0<ab≤.

又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，

所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，

即a＋b≤，所以a＋b的最大值是，选D.

答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)

11．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.

解析：∵f(x)＝log3(x－1)，

∴f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，

∴f′(2)＝.

答案：

12．已知0<x<，f(x)＝x2，g(x)＝，则f′(x)与g′(x)的大小关系是____________．

解析：由题意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝.

由0<x<，知0<f′(x)<，g′(x)>1，

故f′(x)<g′(x)．

答案：f′(x)<g′(x)

13．已知函数f(x)＝＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.若a＝2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________________．

解析：f′(x)＝＋＝＋.当a＝2时，f′(0)＝＋＝，而f(0)＝－，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－＝(x－0)，即7x－4y－2＝0.

答案：7x－4y－2＝0

14．曲线y＝f(x)＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是________．

解析：f′(x)＝，由＝2，得x＝1，又f(1)＝0，所以与直线2x－y＋3＝0平行的切线的方程为y＝2(x－1)，则两直线间的距离，即曲线上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为d＝＝.

答案：

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)求下列函数的导数：

(1)y＝sin x＋；

(2)y＝(x2＋2)(3x－1)；

(3)y＝x·e－x；

(4)y＝sin 2x.

解：(1)y′＝(sin x)′＋′＝cos x－.

(2)y′＝(x2＋2)′(3x－1)＋(x2＋2)(3x－1)′

＝2x(3x－1)＋3(x2＋2)

＝9x2－2x＋6.

(3)y′＝x′·e－x＋x·(e－x)′

＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.

(4)y′＝(sin 2x)′＝×2·cos 2x＝cos 2x.

16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．

(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；

(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.

解：(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，

则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

由已知

解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3，

故f(x)＝x3－3x2＋3.

(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

则f′(x)＝2ax＋b.

所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，

化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，

此式对任意x都成立，所以

解得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3xf′(a)(其中a∈R)，且f(a)＝，求：

(1)f(x)的表达式；

(2)曲线y＝f(x)在x＝a处的切线方程．

解：(1)f′(x)＝x2＋3f′(a)，于是有

f′(a)＝a2＋3f′(a)⇒f′(a)＝－，

∴f(x)＝x3－x，

又f(a)＝，即a3－a3＝⇒a＝－1，

f(x)＝x3－x；

(2)由(1)知切点为，

切线的斜率f′(a)＝－，

∴切线方程为y－＝－(x＋1)，

即3x＋6y－4＝0.

18．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积．

解：(1)f′(x)＝a－，

于是

解得或

因为a，b∈Z，故即f(x)＝x＋.

(2)由(1)知当x＝3时，f(3)＝，

f′(x)＝1－，f′(3)＝1－＝，

过点的切线方程为y－＝(x－3)，

即3x－4y＋5＝0.

切线与直线x＝1的交点为(1,2)，

切线与直线y＝x的交点为(5,5)，

直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．

从而所围三角形的面积为×|5－1|×|2－1|＝2.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/75bda89158eef8c75fbfc77da26925c52dc5913d.html