二重积分的计算小结
一、知识要点回顾
1．二重积分的定义；
2.二重积分的几何意义及其物理模型。
二重积分的几何意义就是以
为底，以
为顶的曲顶柱体的体积，其物理模型就是一个曲顶柱体。
3.二重积分在直角坐标系下的计算
（1）若积分区域D是由两条直线x=a,x=b,以及两条曲线y= 1(x),y=
2(x) (
1(x)
2(x),a
x
b)所围成，则
=
（2）若区域D是由两条直线y=c,y=d以及两条曲线x=1(y),x=
2(y)(
1(y)
2(y),
cy
d)所围成，则
4.极坐标下二重积分的计算法
x=,y=
如果区域D是由从极点出发的两条射线，
（
）和两条曲线
（
）所围成，则
5．曲线坐标下二重积分的计算法
设函数在直角坐标平面
上的封闭区域
上连续，有一阶连续偏导数，而且雅克比行列式
则
二．二重积分的计算举例
1.． 计算二重积分
，其中
为由直线
与曲线
所围成的区域．
解：画出积分域如图所示
解方程组
解得图中的两个交点为，
可表示为D=
， 于是
2.计算二重积分
的值，其中积分区域为
。
解：由对称性可以只考虑第一象限的积分域
采用极坐标。则积分区域变为
}
于是
3，计算二重积分的值的大小，其中D是由
轴，
轴以及x+y=2所围成的封闭区域。
解： 如图1，由题意，可设
则可得
，
图1
图2
所以积分区域变为图2中的封闭区域，从而
所以
4．设
，求
，其中
。
解：积分区域为圆以外的部分
设图中阴影区域为 D0=
于是
5．计算二次积分．
分析 若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求的原函数的问题，它是无法计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法．
解 由所给的二次积分，我们得积分区域，其中
是一个中心角为
，半径为
的扇形（图5）．因此可以采用极坐标计算，在极坐标系下，有
因此
小结
㈠计算在直角坐标系下二重积分的值的过程中，应正确选择积分的形式，是先对X积分还是先对Y积分，选择正确的积分形式可以提高解题的效率和准确度。
㈡ 计算极坐标系下二重积分值的步骤：
① 首先把积分区域的边界方程用极坐标表示；
②确定的范围，即在极坐标系下表示积分区域；
③ 用分别代换被积函数中的
，并把面积元素用
替代．
㈢ 计算二重积分时，要注意利用积分区域关于坐标轴的对称性，同时被积函数关于某相应变量的奇偶性简化运算．
．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7383834ef7ec4afe04a1df4f.html
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