最新人教版高中数学选修4-4综合测试题及答案

最新人教版高中数学选修4-4综合测试题及答案

模块综合测试

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列有关坐标系的说法，错误的是(　　)

A．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆

B．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小

C．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程

D．同一条曲线可以有不同的参数方程

解析：　直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．

答案：　C

2．把函数y＝word/media/image1.gifsin2x的图象经过________变化，可以得到函数y＝word/media/image2.gifsinx的图象．(　　)

A．横坐标缩短为原来的word/media/image1.gif倍，纵坐标伸长为原来的2倍

B．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍

C．横坐标缩短为原来的word/media/image1.gif倍，纵坐标缩短为原来的word/media/image1.gif倍

D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的word/media/image1.gif

解析：　本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y＝word/media/image1.gifsin2x的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y＝word/media/image1.gifsinx的图象，再把纵坐标缩短为原来的word/media/image1.gif，得到y＝word/media/image2.gifsinx的图象．

答案：　D

3．极坐标方程ρ＝2sinword/media/image3.gif的图形是(　　)

解析：　∵ρ＝2sinword/media/image5.gif＝2sinθ·cosword/media/image6.gif＋2cosθ·sinword/media/image6.gif＝word/media/image7.gif (sinθ＋cosθ)，

∴ρ2＝word/media/image7.gifρsinθ＋word/media/image7.gifρcosθ，

∴x2＋y2＝word/media/image7.gifx＋word/media/image7.gify，

∴word/media/image8.gif2＋word/media/image9.gif2＝1，

∴圆心word/media/image10.gif.

结合题中四个图形，可知选C项．

答案：　C

4．将参数方程word/media/image11.gif (θ为参数)化为普通方程为(　　)

A．y＝x－2　　　　　　 B．y＝x＋2

C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)

解析：　由word/media/image12.gif知x＝2＋y(2≤x≤3)

所以y＝x－2　(2≤x≤3)．

答案：　C

5．在极坐标系中，曲线ρ＝4sinword/media/image13.gif (ρ∈R)关于(　　)

A．直线θ＝word/media/image14.gif成轴对称

B．直线θ＝word/media/image15.gif成轴对称

C．点word/media/image16.gif成中心对称

D．极点成中心对称

解析：　将原方程变形为ρ＝4cosword/media/image17.gif，

即ρ＝4cosword/media/image18.gif，该方程表示以word/media/image19.gif为圆心，以2为半径的圆，所以曲线关于直线θ＝word/media/image15.gif成轴对称．

答案：　B

6．经过点M(1,5)且倾斜角为word/media/image14.gif的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是(　　)

A. word/media/image20.gif B．word/media/image21.gif

C. word/media/image22.gif D．word/media/image23.gif

解析：　根据直线参数方程的定义，易得word/media/image24.gif，

即word/media/image25.gif.

答案：　D

7．x2＋y2＝1经过伸缩变换word/media/image26.gif，后所得图形的焦距(　　)

A．4 B．2word/media/image27.gif

C．2word/media/image28.gif D．6

解析：　变换后方程变为：word/media/image29.gif＋word/media/image30.gif＝1，

故c2＝a2－b2＝9－4＝5，c＝word/media/image28.gif，所以焦距为2word/media/image28.gif.

答案：　C

8．已知直线word/media/image31.gif (t为参数)与圆x2＋y2＝8相交于B、C两点，则|BC|的值为(　　)

A．2word/media/image32.gif B．word/media/image33.gif

C．7word/media/image7.gif D．word/media/image34.gif

解析：　word/media/image35.gif⇒word/media/image36.gif (t′为参数)．

代入x2＋y2＝8，得t′2－3word/media/image7.gift′－3＝0，

∴|BC|＝|t′1－t′2|＝word/media/image37.gif

＝word/media/image38.gif＝word/media/image33.gif，故选B.

答案：　B

9．已知P点的柱坐标是word/media/image39.gif，点Q的球面坐标为word/media/image40.gif，根据空间坐标系中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离公式|AB|＝word/media/image41.gif，可知P、Q之间的距离为(　　)

A. word/media/image42.gif B．word/media/image7.gif

C. word/media/image28.gif D．word/media/image43.gif

解析：　首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把P点的柱坐标转化为空间直角坐标(word/media/image7.gif，word/media/image7.gif，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q点的球坐标转化为空间直角坐标word/media/image44.gif，代入两点之间的距离公式即可得到距离为word/media/image7.gif.

答案：　B

10．如果直线ρ＝word/media/image45.gif与直线l关于极轴对称，则直线l的极坐标方程是(　　)

A．ρ＝word/media/image46.gif B．ρ＝word/media/image47.gif

C．ρ＝word/media/image48.gif D．ρ＝word/media/image49.gif

解析：　由ρ＝word/media/image50.gif知ρcosθ＋2ρsinθ＝1，∴x＋2y＝1.

答案：　A

11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是(　　)

A. word/media/image51.gif (φ为参数)

B. word/media/image52.gif (θ为参数)

C. word/media/image53.gif (φ为参数)

D. word/media/image54.gif (θ为参数)

解析：　圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程为word/media/image55.gif

答案：　A

12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点．若点P(x，y)、点P′(x′，y′)满足x≤x′，且y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其他点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧(　　)word/media/image56.gif

A. word/media/image57.gif B．word/media/image58.gif

C. word/media/image59.gif　　 D. word/media/image60.gif

解析：　∵x≤x′且y≥y′，

∴点P(x，y)在点P′(x′，y′)的左上方．

∵Ω中不存在优于Q的点，

∴点Q组成的集合是劣弧word/media/image61.gif，故选D.

答案：　D

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上)

13．对于任意实数，直线y＝x＋b与椭圆word/media/image62.gif (0≤θ＜2π)恒有公共点，则b的取值范围是________．

解析：　椭圆word/media/image63.gif可化为word/media/image29.gif＋word/media/image64.gif＝1

把y＝x＋b代入得5x2＋2bx＋b2－16＝0

Δ＝4b2－20(b2－16)≥0

解之得：－2word/media/image28.gif≤b≤2word/media/image28.gif.

答案：　[－2word/media/image28.gif，2word/media/image28.gif]

14．直线word/media/image65.gif (t为参数)与圆word/media/image66.gif (φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.

解析：　直线

：y＝x·tanα，圆：(x－4)2＋y2＝4，

如图，sinα＝word/media/image68.gif＝word/media/image1.gif，word/media/image67.gif

∴α＝word/media/image69.gif或word/media/image70.gifπ.

答案：　word/media/image69.gif或word/media/image70.gifπ.

15．已知直线l的参数方程word/media/image71.gif (t为参数)，若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2word/media/image7.gifsinword/media/image3.gif.则圆的直角坐标方程为__________，直线l和圆C的位置关系为__________(填相交、相切、相离)．

解析：　(1)消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x＋1.ρ＝2word/media/image7.gifsinword/media/image5.gif即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

(2)圆心C到直线l的距离d＝word/media/image72.gif＝word/media/image73.gif<word/media/image7.gif，

所以直线l和⊙C相交．

答案：　(x－1)2＋(y－1)2＝2；相交

16．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为word/media/image74.gif (参数t∈R)，圆C的参数方程为word/media/image75.gif (参数θ∈[0,2π])，则圆C的圆心坐标为______，圆心到直线l的距离为______．

解析：　直线和圆的方程分别是x＋y－6＝0，x2＋(y－2)2＝22，所以圆心为(0,2)，其到直线的距离为d＝word/media/image76.gif＝2word/media/image7.gif.

答案：　(0,2)　2word/media/image7.gif

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)(1)化ρ＝cosθ－2sinθ.为直角坐标形式并说明曲线的形状；

(2)化曲线F的直角坐标方程：x2＋y2－5word/media/image77.gif－5x＝0为极坐标方程．

解析：　(1)ρ＝cosθ－2sinθ两边同乘以ρ得

ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ

∴x2＋y2＝x－2y

即x2＋y2－x＋2y＝0

即word/media/image78.gif2＋(y＋1)2＝word/media/image79.gif2

表示的是以word/media/image80.gif为圆心，半径为word/media/image81.gif的圆．

(2)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得

x2＋y2－5word/media/image82.gif－5x＝0的极坐标方程为：

ρ2－5ρ－5ρcosθ＝0.

18．(12分)在极坐标系中，已知圆C的圆心Cword/media/image83.gif，半径为1.Q点在圆周上运动，O为极点．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若P在直线OQ上运动，且满足word/media/image84.gif＝word/media/image85.gif，求动点P的轨迹方程．

解析：　(1)设M(ρ，θ)为圆C上任意一点，

如图，在△OCM中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM＝word/media/image87.gif，

根据余弦定理，

得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·

cosword/media/image87.gif，化简整理，

得ρ2－6·ρcosword/media/image88.gif＋8＝0为圆C的轨迹方程．

(2)设Q(ρ1，θ1)，

则有ρword/media/image89.gif－6·ρ1cosword/media/image90.gif＋8＝0①

设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1)

＝2∶3⇒ρ1＝word/media/image91.gifρ，

又θ1＝θ，即word/media/image92.gif

代入①得word/media/image93.gifρ2－6·word/media/image91.gifρcos(θ－word/media/image69.gif)＋8＝0，

整理得ρ2－15ρcosword/media/image94.gif＋50＝0为P点的轨迹方程．

19．(12分)如图所示，已知点M是椭圆word/media/image95.gif＋word/media/image96.gif＝1(a＞b＞0)上的第一象限的点，A(a,0)和

B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原来，求四边形MAOB的面积的最大值．

解析：　方法一：M是椭圆word/media/image95.gif＋word/media/image96.gif＝1(a＞b＞0)上在第一象限的点，

由椭圆word/media/image95.gif＋word/media/image96.gif＝1的参数方程为word/media/image98.gif (φ为参数)，

故可设M(acosφ，bsinφ)，

其中0＜φ＜word/media/image99.gif，因此，

S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB

＝word/media/image1.gifOA·yM＋word/media/image1.gifOB·xM

＝word/media/image1.gifab(sinφ＋cosφ)

＝word/media/image43.gifabsinword/media/image100.gif.

所以，当φ＝word/media/image6.gif时，四边形MAOB面积的最大值为word/media/image43.gifab.

方法二：设M(xM，yM)，xM＞0，yM＞0，则

yM＝bword/media/image101.gif，S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB

＝word/media/image1.gifOA·yM＋word/media/image1.gifOB·xM

＝word/media/image1.gifabword/media/image101.gif＋word/media/image1.gifbxM

＝word/media/image1.gifb(word/media/image102.gif＋xM)

＝word/media/image1.gifbword/media/image103.gif

＝word/media/image1.gifbword/media/image104.gif

≤word/media/image1.gifbword/media/image105.gif

＝word/media/image43.gifab.

20．(12分)如图，自双曲线x2－y2＝1上一动点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN中点P的轨迹方程．word/media/image106.gif

解析：　设点Q的坐标为(secφ，tanφ)，(φ为参数)．

∵QN⊥l，

∴可设直线QN的方程为x－y＝λ①

将点Q的坐标代入①得：λ＝secφ－tanφ

所以线段QN的方程为x－y＝secφ－tnaφ②

又直线l的方程为x＋y＝2.③

由②③解得点N的横坐标xN＝word/media/image107.gif

设线段QN中点P的坐标为(x，y)，

则x＝word/media/image108.gif＝word/media/image109.gif，④

4×④－②得

3x＋y－2＝2secφ.⑤

4×④－3×②得

x＋3y－2＝2tanφ.⑥

⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为

2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.

21．(12分)已知直线l：x－y＋9＝0和椭圆C：word/media/image110.gif (θ为参数)．

(1)求椭圆C的两焦点F1，F2的坐标；

(2)求以F1，F2为焦点且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．

解析：　(1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为word/media/image111.gif＋word/media/image112.gif＝1，

所以a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝9.

所以c＝3.故F1(－3,0)，F2(3,0)．

(2)因为2a＝|MF1|＋|MF2|，

所以只需在直线l：x－y＋9＝0上找到点M使得|MF1|＋|MF2|最小即可．

点F1(－3,0)关于直线l的对称点是F1′(－9,6)，

|MF1|＋|MF2|＝|MF1′|＋|MF2|＝|F1′F2|

＝word/media/image113.gif＝6word/media/image28.gif，

故a＝3word/media/image28.gif.

又c＝3，b2＝a2－c2＝36.

此时椭圆方程为word/media/image114.gif＋word/media/image115.gif＝1.

22．(14分)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为word/media/image116.gif (t为参数)．当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为word/media/image117.gif？

解析：　椭圆方程为word/media/image118.gif＋x2＝1，化直线参数方程word/media/image119.gif为word/media/image120.gif (t′为参数)．

代入椭圆方程得

(m＋word/media/image73.gift′)2＋4word/media/image121.gif2＝4⇔8t′2＋4word/media/image28.gifmt′＋5m2－20＝0

当Δ＝80m2－160m2＋640＝640－80m2>0，

即－2word/media/image7.gif<m<2word/media/image7.gif.

方程有两不等实根t′1，t′2，

则弦长为|t′1－t′2|＝word/media/image37.gif＝word/media/image122.gif

依题意知＝word/media/image122.gif＝word/media/image117.gif，解得m＝±word/media/image123.gif.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/729336d40d22590102020740be1e650e52eacffa.html