2020届广西高三年级二模数学（理）试题（解析版）

2020届广西高三年级二模数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合87c9e8f96d25b9c5ca2835523f4186fc.png，298618e3e7bf6f0d137c19f23aecf8be.png，则1e49ca292213f572d50c447279071024.png（ ）

A．8737458772c99ee11c413e89a83fbf44.png B．c1ee5999f0292e7ef45bc209b20b3a53.png C．ae62b1dca0f5f4510b3363ace3599961.png D．d3a69313e287cc44fef32993e500a73d.png

【答案】C

【解析】对两个集合进行化简，然后求它们的交集即可．

【详解】

由题意A∩B＝8060b352861e5c2544d18de15059c6d1.png

即A∩B＝{2，3，4}

故选：C．

【点睛】

本题考查交集及其运算，求交集即求两个集合中的共同元素，正确理解定义是解决本题的关键．

2．设865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png为虚数单位，若复数fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png满足25dfa32421c35810a45ddf031d5df3bc.png，则fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png的共轭复数为（ ）

A．5e328ccb23b9e6d6db97bfa4bfb9aa41.png B．81abcd1c8128381b834ee4a03d16ecfc.png C．cd237b957148d2dc2767b1293af14d18.png D．1662906b42c0ef6d289e48db87c331cf.png

【答案】D

【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

【详解】

由fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png81baa6550d069f79441b4f03b354364a.pngi＝1+i，得fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png46c97f5fa8d60f6b2d1b2e070b8f5bda.png，

∴56d1b2220a8aee66d57e09a6bc299c31.png，

故选：D．

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．

3．若等边533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的边长为4，则604ce231403f936c7cc84b2127663f46.png（ ）

A．8 B．b64205af5451ef4a3f1de418d3579a0a.png C．d603dc4be540198d5bbc1c549e732e2d.png D．a6143e963b8b6fee538d5f3f36cc3b7d.png

【答案】A

【解析】可画出图形，根据条件及向量数量积的计算公式便可得出4895b14e852416989a6c036d60556ffa.png的值．

【详解】

如图，

根据条件，a5f4df61380a86f849a2852ab179a73e.png．

故选：A．

【点睛】

本题考查等边三角形的概念，以及向量夹角的概念，向量数量积的计算公式．

4．在2e55d58f3d013db839c33bbf2d3762f2.png的展开式中2d4a06f1f6c7670b5de238ba8e523cf0.png的系数为（ ）

A．50 B．20 C．15 D．679771b78875879e924e2b926fa3031e.png

【答案】B

【解析】把（x﹣y）6按照二项式定理展开，可得（2x﹣1）（x﹣y）6的展开式中x3y3的系数．

【详解】

∵（2x﹣1）（x﹣y）6＝（2x﹣1）（e4ea14c54afcfbfc8f1afd4eddf71fd9.png•y6a9f814a51788d00733acb18e40b65c0b.png•x5y79788c9bfdee34ad7cc3ab1ab9cead71.png•x4y2dcaaa56dc7447a2279a993ae0ead0ad1.png•x3y3aeb1d3a2d7e45f56fce895014da1b507.png•x2y4383924f0baf70e9a256dea14afa515eb.png xy5d1abb0fdc3b5bcc7934139b4f7a077aa.png y6），

故展开式中x3y3的系数为a52879010e90fd0f039f3d7ee6d0e682.png，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．

5．若等比数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足：ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，1755d21d9b975de4b505221185078869.png，72f9abfb880420c94d8d1a3579c2bd3b.png，则该数列的公比为（ ）

A．02e3c1cfd03c87011d3b438dee3b08c4.png B．2 C．c69e36b11dfe119dfbf73d3d0e646493.png D．93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png

【答案】B

【解析】直接由1755d21d9b975de4b505221185078869.png得到q=2或﹣2，再依据条件进行取舍.

【详解】

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q

∵1755d21d9b975de4b505221185078869.png，∴q=2或﹣2，

又当q=2时，满足72f9abfb880420c94d8d1a3579c2bd3b.png，

当q=﹣2时，7dfbb4d336541527c1e81fe0001756e2.png，不满足72f9abfb880420c94d8d1a3579c2bd3b.png，

∴q=2．

故选：B

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式的基本运算，考查了分类讨论思想，属于基础题.

6．若实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png满足2a72ba778a5378cbafec9c3f08e346ab.png，则（ ）

A．11d75d90299a416a9ac99470992dac2f.png B．ad453cb8bc6d50aa1e7f6b8a5b1b112d.png

C．bfea7c84d642bee931bd26798bedb889.png D．6d4b6ecd2651746c732168e7fbf4de0b.png

【答案】C

【解析】利用反例判断A、B、D不正确，函数的单调性以及函数的奇偶性判断C的正误即可．

【详解】

对于A，∵e﹣2＜e1，∴A错误；

对于B：1d0f92fd249027e16f5b54a9c2d19880.png，∴B错误；

对于C：7f541dd0fa988e3c0c9e1907319d5ad1.png为偶函数，且当x∈（0，+∞）时，单调递增，当2a72ba778a5378cbafec9c3f08e346ab.png时，384893a3104ec199d9642b6c5528e80b.png，即92a51c958e44c4d5d1f842035a02507d.png，故C正确；

对于D，反例a＝2，b＝﹣1，可得7a99c49ab03e2409c0af2016bf3687af.png0，cd4446045d40721bfb55c6adf830474d.png0，47b731a0401430e064eea2d0894c6cd8.png．所以D不正确，

故选：C．

【点睛】

本题考查命题的真假的判断与应用，考查指数函数，三角函数，以及函数奇偶性、单调性的应用，是基本知识的考查．

7．在正四棱柱fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png中，ca6355e47a9176d08cf64b7e13180bdf.png，57172348fa5f51bfcae241eb72585232.png，点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，800618943025315f869e4e1f09471012.png分别为棱94c82f367723e9b2d59baad49af43606.png，86e43cc8f867b1331bc49e439e8afa17.png上两点，且bacca16f90c0d2bbe523f1d49aff5132.png，2f2f09b7ec4fe5971e8700bc5b374bc3.png，则（ ）

A．8caa1b981f7d47c148d925277e699dde.png，且直线9bfe46a10c2e31bd99abc3fadd546360.png，06fa567b72d78b7e3ea746973fbbd1d5.png异面 B．8caa1b981f7d47c148d925277e699dde.png，且直线9bfe46a10c2e31bd99abc3fadd546360.png，06fa567b72d78b7e3ea746973fbbd1d5.png相交

C．42e2c885387f83f21368c57fcf22fa89.png，且直线9bfe46a10c2e31bd99abc3fadd546360.png，06fa567b72d78b7e3ea746973fbbd1d5.png异面 D．42e2c885387f83f21368c57fcf22fa89.png，且直线9bfe46a10c2e31bd99abc3fadd546360.png，06fa567b72d78b7e3ea746973fbbd1d5.png相交

【答案】A

【解析】作图，通过计算可知D1E≠AF，取点M为BC的中点，则AMFD1共面，显然点E不在面AMFD1内，由此直线D1E，AF异面．

【详解】

∵466d1629ae7c247f536589b20d1b3515.png，

如图，取点M为BC的中点，则AD1∥MF，

故AMFD1共面，点E在面AMFD1面外，

故直线D1E，AF异面．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题．

8．设函数594c1f35f5c17ecd38597ce168e3bb38.png，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（　　）

A．f4a224066945027bd358c69715410c14.png B．5e7ff79484046f843043be863d0ca2c3.png C．f3ddd771d1dd4221ba2bc1e09044ed21.png D．c5e36d38bf440e68a7f5bd24e6e3e509.png

【答案】C

【解析】求出导函数，利用切线的斜率，求出a，判断函数的单调性，列出不等式组求解即可．

【详解】

81760771d53906e10654d81adc538cd8.png，∴a＝1，

因为x＞0，所以当0＜x＜3时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，3]上递减，

所以5792940122ae22a5b7ad29acac8e1dfd.png，∴1＜m≤2．

故选：C．

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

9．国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为557fa927fedc754de431e50f3688e89e.png时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成f065024f667896e7b54db2c70b90b5b3.png时，那么先到第30分的一方获胜.在一局比赛中，甲发球赢球的概率为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，甲接发球贏球的概率为463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png，则在比分为557fa927fedc754de431e50f3688e89e.png，且甲发球的情况下，甲以fa8d892fdccab644468cd989e6976cbe.png赢下比赛的概率为（ ）

A．0f1af1f75945c10f599368811e2d8a64.png B．cd6dd4a79da0ae8aa0c2938bc5ada314.png C．d0627d448f4595bd90b550e69410d68c.png D．38e716bd0899ad7f34d6a26e19bbbc52.png

【答案】B

【解析】设双方20：20平后的第k个球甲贏为事件Ak（k＝1，2，3，…），

P（甲以fa8d892fdccab644468cd989e6976cbe.png赢）＝P（2898e61e4141f3e4af36a600adf910fc.pngA2A3A4）+P（215cc1fbf7a6323f3a0b67ef7dde7b07.png），由此利用独立事件乘法概率公式能求出甲以fa8d892fdccab644468cd989e6976cbe.png赢的概率．

【详解】

设双方20：20平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2，3，…），

则P（甲以fa8d892fdccab644468cd989e6976cbe.png赢）＝P（2898e61e4141f3e4af36a600adf910fc.pngA2A3A4）+P（215cc1fbf7a6323f3a0b67ef7dde7b07.png）＝P（2898e61e4141f3e4af36a600adf910fc.png）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（67dcef348ce229266f3d3ab7243d446c.png）P（A3）P（A4）＝（600f1c640496ac9f1ae2b2072c268616.png）+（3dabec01df90b70c2c51a36228500e25.png）＝cd6dd4a79da0ae8aa0c2938bc5ada314.png．

【点睛】

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．

10．函数158810912dba75e45b87624de59eb584.png的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】求出函数的定义域，排除选项，利用特殊值判断求解即可．

【详解】

函数f（x）fbfd86d6ff1b541e2a3231761926b558.png的定义域为：x≠1，均满足，

当x＝﹣1时，f（﹣1）e9d11ec0d07e9f9bccf49f6ed601ded4.png0，排除A、 C．

当x＝2时，f（2）0a26581216c01b34bdc97fc012ef4583.png0，排除B；

故选：D．

【点睛】

本题考查函数的图象的判断，利用函数的定义域以及特殊值是判断函数的图象的常用方法．

11．设圆2e1aa217969967b8670acd6606ac8ed8.png，若等边53379a220dc31af26b6e088fe85744c1.png的一边b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png为圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的一条弦，则线段88dba0c4e2af76447df43d1e31331a3d.png长度的最大值为（ ）

A．216554093aa007ab9947ed316b9c44a1.png B．68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png C．4 D．c0585acae576a1b63a0ccfb4362c45cb.png

【答案】C

【解析】化圆的一般方程为标准方程，画出图形，设∠CAB＝θ（0＜θb45745b7df0b3ace170516d9074a9deb.png），连接PC与AB交于点D，把|PD|、|CD|用含有θ的代数式表示，再由三角函数求最值．

【详解】

化圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0为（x﹣1）2+y2＝4，

连接AC，BC，设∠CAB＝θ（0＜θb45745b7df0b3ace170516d9074a9deb.png），连接PC与AB交于点D，

∵AC＝BC，△PAB是等边三角形，∴D是AB的中点，得PC⊥AB，

在圆C：（x﹣1）2+y2＝4中，圆C的半径为2，|AB|＝4cosθ，|CD|＝2sinθ，

∴在等边△PAB中，|PD|6965d10b07db13814e9a85dcc26c9eb8.png|AB|820a55cd521ae9ec43616fce3b6e5586.png，

∴|PC|＝|CD|+|PD|8a4597b0e2673f50a54ad67bc96e7c82.png4．

故选：C．

【点睛】

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用三角函数求最值，是中档题．

12．设函数76230bf7cc4bbcf043a38c52cf0fc6a2.png，下述四个结论：

①ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png是偶函数；

②ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的最小正周期为31bf0b12546409e15021243132fc7574.png；

③ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的最小值为0；

④ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在1c82564797bc7c1fc0cdc14c7bb7dd48.png上有3个零点

其中所有正确结论的编号是（ ）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④

【答案】B

【解析】根据函数相关知识对各选项逐个判断，即可得出其真假．

【详解】

因为函数f（x）定义域为R，而且f（﹣x）＝cos|2x|+|sinx|＝f（x），所以f（x）是偶函数，①正确；

因为函数y＝cos|2x|的最小正周期为π，y＝|sinx|的最小正周期为π，所以f（x）的最小正周期为π，②正确；

f（x）＝cos|2x|+|sinx|＝cos2x+|sinx|＝1﹣2sin2x+|sinx|＝﹣2（|sinx|9cfc6c804c15c99ca9067e5964d76f56.png）2864e68c5f8c84dffcc3f9a0cdb34d379.png，而|sinx|∈[0，1]，所以当|sinx|＝1时，f（x）的最小值为0，③正确；

由上可知f（x）＝0可得1﹣2sin2x+|sinx|＝0，解得|sinx|＝1或|sinx|b37a5708a5b11bb520eab09c627e8f79.png（舍去）

因此在[0，2π]上只有x1da8a502dfe271f11aac6c6b00163d9b.png或x8fb8df0807a759c60dcdbdd111eb7379.png，所以④不正确．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的有关性质的应用，属于中档题．

二、填空题

13．若等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足：ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，9eb1c93edd14c5fc56fb72db0abe1bbb.png，则6b264e52453f89797441f58c9a874006.png______.

【答案】n

【解析】【详解】

设等差数列{an}的公差为d

∵a1＝1，a2+a3＝5，即50658b66e564e679ece88a9076d872fa.png

∴d＝1，

∴an＝n，

故答案为：n

【点睛】

本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．

14．今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.

【答案】0.4

【解析】将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，

由韦恩图易得只买猪肉的人数，与100作比，即得结果.

【详解】

由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，

则韦恩图如下：08d9c3e284852dcd7b3af129ffd73578.png中有30人，5ac3ccd1dd3d39c54c6544d503a0672e.png中有10人，又不买猪肉的人有30位，

∴0b6d7a39d30d225e1b51f286e62fbe4e.png中有20人，∴只买猪肉的人数为：1001a616b5d1e457d9f2fc748ffa4054c5a.png，

∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为1916b1c1c2c0b15b192fd1da15955809.png=0.4，

故答案为；0.4

【点睛】

本题考查了用样本估计总体，用频率估计概率的方法，考查了韦恩图的应用，属于中档题.

15．已知双曲线4224970b5a7751ec4729e195cbece7c7.png的左，右焦点分别为39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png，162b23614f3de15ba9c77440d9b75780.png，过39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png的直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png分别与两条渐近线交于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点，若7ff17d6b3ad4f2ef284deed0b84bada9.png，2fa24f2df1baeb3d70a36b1b55adae91.png，则a4b76bf27a077c5202dc96b0d9187c05.png______.

【答案】1

【解析】由题意画出图形，结合已知da0355a51e45f609235426fec5f9c712.png可得B（c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png，91a24814efa2661939c57367281c819c.png），写出F1B的方程，与c80e5a900d68909f49bf406a36d763a3.png联立求得A点坐标，得到A为B、F1的中点，可得结论．

【详解】

如图，因为B在渐近线上，

∴设B（e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png，4b79dbe22e49313a1a84c464c8dbacfa.png）, 且79e07fffa1f0c2ab798ad62eed744941.png，305bae098c4b8ce99497670ca250afc2.png，

∵34156262991af54ce53320e362bf855e.png，

∴b73c3280b6f85a6ac520af103083f535.png，则B（c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png，91a24814efa2661939c57367281c819c.png）

∴F1B：y072dc0dd492c24b1f6c2629cea8fef53.png（x+2），

联立92a67b7181b31d399955272b31189550.png，解得A（7ddf743a44884d9bbc8c1789b835ac41.png，aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png），即A为B、F1的中点

∴3bf274095ffd1195f33e30a48d07e43e.png．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．

16．若函数93f277a41f08820197b22cf40a63f440.png，恰有2个零点，则实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围是_____.

【答案】834f7ef9217fb2217abb17c5ae3aa2b3.png

【解析】分别设h（x）＝ex﹣a，g（x）＝（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．

【详解】

设h（x）＝ex﹣a，g（x）＝（x﹣a）（x﹣2a）

若在x＜1时，h（x）＝ex﹣a与x轴有一个交点，

所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝e﹣a＞0，所以0＜a＜e，

而函数g（x）＝（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，

所以674ca1294662c5e5cc6e73ddb87ee1a9.pnga＜1，

若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，

则函数g（x）＝（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，

当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），

当h（1）＝e﹣a≤0时，即a≥e时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，都是满足题意的，

综上所述a的取值范围是674ca1294662c5e5cc6e73ddb87ee1a9.pnga＜1，或a≥e．

故答案为：834f7ef9217fb2217abb17c5ae3aa2b3.png．

【点睛】

本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．

三、解答题

17．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：

该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：

假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：

（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；

（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png元，求02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列和数学期望dbf21961689c84e9baa84743ce2dd2ce.png

【答案】(1) 45元(2)分布列见解析，数学期望为46.25元

【解析】（1）分别求出两次消费为公司获得的利润，然后求平均值即可；

（2）由（1）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列，由期望公式计算得到期望．

【详解】

（1）∵第一次消费为200元，利润为50元：第二次消费190元，利润为40元

∴两次消费的平均利润为45元

（2）若该会员消费1次，则29aef7f89d3126b96b2e03f5ef61295d.png

de639d63ac1b2d674fd79fef6cda4330.png

若该会员消费2次，则71d76ac21b9fc81ddcbe3061045639dc.png

569a56f297b95835f1c99aea42b2c30d.png

若该会员消费3次，则67cb1d38106edb72593e6ff9c531ed62.png

3bfd5e3e357d1dcdcfc5145b032c500e.png

若该会员消费4次，则95a8c5e7df0cc66ec22732dbf4a6110d.png

3ad70206ce5ed4b5bda8286edde52609.png

若该会员消费5次，则339c6cbe7c78de7bc700ea16014fbc5c.png

eea0e42bef755f0d9aecedf212094019.png

故X的分布列为：

02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的期望为751d4e978afdf159c40d9e881544ee02.png（元）

【点睛】

本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的内角7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的对边分别为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，设47c438c7c7ddb61e47fab267f865afd3.png.

（1）求082ef7430c87f0f688e0f7d48857803e.png；

（2）若533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的周长为8，求533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的面积的取值范围.

【答案】(1) aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png (2) 62197e4a1661dfccff3603903c355189.png

【解析】（1）利用三角形内角和定理即二倍角公式化简已知等式，结合B的范围即可得到结果．

（2）利用三角形的面积求出ac，利用余弦定理结合基本不等式求出ac的范围，即可得面积的范围．

【详解】

（1）23a6e1d69cec0dbd142857d4213c747d.png且034dee8244f1c933613a936146737183.png

b0b1550e9ad02f9a46965d1447a55c9a.png，

又86775d887e3fe369e9fec729be561d7f.png，ebe6363d2f8bb3aec5606032924a2fa5.png

2135d77648be2a5ec5693596ece7350a.png

（2）由题意知：d0643871553b98a79333f21956964a8e.png

dc5ce42383b01e560bd09f5083c62cb0.png

115ce861b206d474f38250fcfb5091d3.png，5a1962844115984eb14ee19674b1d04b.png

ce9338ae7d40ac527dc3b426ff52f0fc.png或fa21ad164020e9a320438924c4929137.png（舍）f7588a8f69572eeb3148b9df53aac778.pngabeefa233d79af2d794f9e414c4142b2.png（当3a4b324ac68dd0bf2802abe457653208.png时取“43ec3e5dee6e706af7766fffea512721.png”）

综上，533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的面积的取值范围为62197e4a1661dfccff3603903c355189.png

【点睛】

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式，二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．

19．如图，在四棱柱fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png中，底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png是边长为2的菱形，且3d8f7159d3d547069805788644f2995d.png，8a6f756199587406ef606ae10f02fe68.png，3dadd0368dc66e57c3ba460c505b627e.png.

（1）证明：平面64d6f8e69632d0eddc94c3aae6768d5c.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png；

（2）求二面角5d7f95ddec7e3004d9a575c9ba39ff16.png的余弦值.

【答案】(1) 证明见解析(2) b9fa2be340a24d5e88d9bf55a560446d.png

【解析】（1）由菱形性质及勾股数得995aada536726402aafef26046a1d4d8.png及9259efa0ceeab6ca85027094ed7dbf1f.png，故c31b6a4d2f24a6cf71e55f6268a575b5.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，从而平面64d6f8e69632d0eddc94c3aae6768d5c.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png．

（2）可证得8c9f88de0b606933d6021e736f25bea6.png，6ea8c509c896de0b72a97811118eca05.png，于是c892b30c25931add4f7152acd35c7fc7.png为二面角5d7f95ddec7e3004d9a575c9ba39ff16.png所成的平面角

．解三角形得出c892b30c25931add4f7152acd35c7fc7.png的大小．

【详解】

（1）令4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png的中点为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，连接ffb4513f2a3a46ad17d19ff6b56f9a2d.png，9321eeac06dc70e9e20d8122e5cdd635.png，4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png

ef2faa53a6e0506e5f5cc76392b9d4f3.png，

3c00c64690d8f54e310bec16ba73c4f0.png且1f2ed172b68e6e963b5c31f625493470.png

又∵底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为边长为2的菱形，

且524a392df911728638771d5aa748d843.png

又9a888e0d681edf35f03d0654b6fe4303.png3db009a5b4d872cae2f8c6f80e1d9876.png

又4ab28db75cfe202e7db96da013d84861.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，68e4c0dad3bcc14a7fbdbbd768ee1fcc.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png

又19e43413f57da5ff3abc707844ecdd4d.png平面b276365663ebd824e2969765dc1d799f.png，∴平面64d6f8e69632d0eddc94c3aae6768d5c.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，

（2）过f186217753c37b9b9f958d906208506e.png作直线6b6198de2bf71b8d6cd186f2d64582a6.png于c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png，连接f99fb774cd47e200f2af7fc0a60c5ffb.png

∵c31b6a4d2f24a6cf71e55f6268a575b5.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，af7b00272f9bb2ace1cd537adb449c39.png19867c58cfb31bb47be2628ebd06fc89.png面da512400bead88fff049d4e06a53b22a.png，dc73bde808a71dd4aaf8db6d5f6d687d.png

5e84c57cf1370f72178fa022ff7fd1b6.png为二面角5d7f95ddec7e3004d9a575c9ba39ff16.png所成的平面角

又5f00cb2d9a865b5743300fc50edb722c.png

94cd245918164fbfaad510573f24a679.png，33a515620f07f0948ae234e7301ba56f.png

ffa29fc46ab4d14d1e106aa4c8c0853d.png

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算，关键是二面角的作法，属于中档题．

20．设椭圆5982d8b907a4a6de66127e2eaf6bb93f.png，过点bef959833b7b5f346c022cfc9bbb10c9.png的直线0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png，406a827681ba573eb9029a9a41cae6d7.png分别交92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png于不同的两点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png、f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，直线08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png恒过点e4dfbd0276f4a113a51aa790b7340fb4.png

（1）证明：直线0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png，406a827681ba573eb9029a9a41cae6d7.png的斜率之和为定值；

（2）直线0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png，406a827681ba573eb9029a9a41cae6d7.png分别与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴相交于69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png两点，在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上是否存在定点dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png，使得0a61fd7f53efafb87b424a4e618bad70.png为定值?若存在，求出点dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析 (2) 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上存在定点1aaafc5c40225ad6194398a5b558e387.png使0a61fd7f53efafb87b424a4e618bad70.png为定值，该定值为1

【解析】（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y＝k（x﹣4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得证；

（2）设M（x3，0），N（x4，0），由y﹣1＝k1（x﹣2），令y＝0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．

【详解】

（1）设b7143ccaeea44eec9c8ae6ba006926b2.png，直线6a65f4c50e38c19756eb95749f9b25d1.png的斜率分别为686b3e267f23e5c4c2a9fbed1ba4bde2.png，由6510ef4563610f6b90685f85cc7c610f.png得a0cb9dd6e76dd5301829fa4a27ec85e0.png

55572ad9aeddcc415b04fa3e0e1cc5eb.png，可得：8584b3674f2bb48718f1f28d8d3f9a22.png，

906d63c4717efd5777f89963ca42329f.png21cbec471caf150a05723c7ad8fbd3f2.png

（2）由98b632ee15f51e9213493b2d3f01e87c.png，令fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png，得73c71ef26836dd9304fc580c64e2c9be.png，即bf36451ca9bad6aa76ae50a2d30cf615.png

同理29c87adf177d7989c11baa3034701321.png，即536674c277ca716ee61e931abfad2d31.png，设9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上存在定点17c6b28db76ff0bb5c720b15cc9bdfd3.png则

f25eee4a0ad74fdd33ff044102868a54.png

96beb32a68145a85300bad1ea8d8d580.png140ba5bfff7670ff5c6ca76a08b7d138.png，要使0a61fd7f53efafb87b424a4e618bad70.png为定值，即93c828b6f0663adae55dd178a82b521a.png

故9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上存在定点1aaafc5c40225ad6194398a5b558e387.png使0a61fd7f53efafb87b424a4e618bad70.png为定值，该定值为1

【点睛】

本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．

21．设函数1bce2569e335a8a054c571ec78d41abd.png，481e7425142b6d8f09e5062fafa57a54.png，b1b6d578377ad1def0976e2097bbcb56.png，a9e7e24aa5e0d4487005481951a12b34.png.

（1）证明：b23db48f1107a994ecfb07c3e4d3077f.png；

（2）当481e7425142b6d8f09e5062fafa57a54.png时，不等式137d5e90cdede4bb54ff7e169a96f8de.png恒成立，求6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围.

【答案】(1)证明见解析 (2) 2dd8d8f113177fdf3ee121283e608ce2.png

【解析】（1）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；

（2）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min＝g（6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png）df8662aff2726143aaeb42a0a22d02f1.png，当8eb23305536858e8e09c34034cc1dfc8.pngm＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．

【详解】

（1）2d94adceac3b5208ee6191eeeabcc8ee.png在481e7425142b6d8f09e5062fafa57a54.png上单调递增，73feaab8afafdfe5901fa2d47844301e.png，

所以存在唯一93eddef988a14e2adbfc277686e229b9.png，80503ec1bba480f8a2870e4bdadf736e.png.当6e73259e45fe07d3989f9b97e8b4eb3f.png，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png递减；

当69ef667c898107718143f0c1f0f7dbb5.png，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png递增.

所以b144358001de3a96d7b0676cd5d4b998.png，e2f10de6da7724be587daf2e4434ee1c.png

（2）8ecb9a267a16f26a7cfc10b144312926.png，a9c67fcc6d0a3134053a4da90fe12505.png

当5a40b409ea124ddc0e1f7e3ad2e10937.png时，72e550bf2685fce99a85e9d5d3f41ba8.png，6505c8d8a160f533254a38eeaaa4fd07.png在481e7425142b6d8f09e5062fafa57a54.png上单调递减，

7b595635391f00216356d65af2b671de.png，满足题意

当cf3e5abb6b2eb12fd49ad33eb7ed0164.png时，85bf3d1b0382a46818ee74c762dacd7f.png在481e7425142b6d8f09e5062fafa57a54.png上单调递增，

31df95e31cfd1eaab0ceb7b637beffd9.png，a2727a7656ec8b7c24b524d947191898.png，

所以存在唯一a221d5e5991255a7ba1139e9ae616183.png，ec72d2fd4e600ab76c56fa35ac1128cb.png.

当0acf8d8b52b51f25c3b3e3b1fd30420e.png，9e3e33f4d583830632e12df255cf82e8.png递减；当215c06a28f4982e14bd0ed71f19f94b3.png，9e3e33f4d583830632e12df255cf82e8.png递增

而80bd39a4566aad8c0a96bfcc3680e4ec.png，bee88cb039f79eb6fd5efee79210fca3.png.所以存在唯一cee84dff08a3cfcd3a2fa9760bff16c6.png.

当7efaaf5cd36beedcae1f9b5c7ea5ec6c.png，5ee266697bf95635052ba8f5a55eedeb.png递增；当e003e80c4e0f93ee50cb7887189a6d48.png递减.

要40273f494060feada467dffe9d4bbda6.png时，0ae4019ebd8edd84b1d911b1ee1b96e5.png恒成立，即fd11a52bf9e734d72fba76ac608e1b1b.png所以11972da7f21f7114ceea396a2f7034fe.png

当2464e3ed9685f2969d9e6e9ce9580230.png时，3094c649658800578f8a7122d8814650.png，当481e7425142b6d8f09e5062fafa57a54.png，9e3e33f4d583830632e12df255cf82e8.png递减，5f1eb2ebb4836aaa364f2e6af479c20e.png

40240bb4297f849167d905645a3ce8f0.png在481e7425142b6d8f09e5062fafa57a54.png递增，439173959c4ca69ad10d24f03562c4a9.png与题意矛盾

综上：6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围为2dd8d8f113177fdf3ee121283e608ce2.png

【点睛】

本题考查利用导数求函数单调区间，求函数极值、最值问题，还涉及函数恒成立问题，考查了分类讨论思想及推理论证能力，属于难题．

22．在直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，直线9118df58ed10f180a7a0b5d057da0971.png（e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png为参数）与曲线cd0105bdc0c3f2eee4ea887cc60943aa.png（6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png为参数）相交于不同的两点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png.

（1）当8a58b24a45573fd0b582291888325300.png时，求直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的普通方程；

（2）若ae829cb157728c7ced2452d2e6e20587.png，其中44c90113cf69d8ade9a9b5c10cb94fea.png，求直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的倾斜角.

【答案】(1) 7bde7892facca82ad729d3cab587cf9f.png；f2384216107333a6e55784e492b6f0df.png；(2) 81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png或d5d141e4e881e3e513453cfa0f09abd4.png

【解析】（1）直接化曲线C的参数方程为普通方程，将αdf8662aff2726143aaeb42a0a22d02f1.png代入l的参数方程，再化为普通方程.

（2）将l的参数方程代入C的普通方程，利用此时t的几何意义及根与系数的关系得|MA|•|MB|，e95c685fd2ac11ae8fe143a0b8cce034.png,然后求得tanα即可．

【详解】

（1）当8a58b24a45573fd0b582291888325300.png时直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的普通方程为：7bde7892facca82ad729d3cab587cf9f.png；曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的普通方程为f2384216107333a6e55784e492b6f0df.png；

（2）将直线9118df58ed10f180a7a0b5d057da0971.png代入f2384216107333a6e55784e492b6f0df.png得731eb3b2c5b9f9964b8e4cc5e23f0512.png

1f585d4e42fe04f507ee3ec4e95cc1cd.png

ed66d7869ddd4c1cca8958384dd86f78.png

所以直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的倾斜角为81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png或d5d141e4e881e3e513453cfa0f09abd4.png

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程，考查直线方程中此时t的几何意义的应用，是中档题．

23．已知函数3eb4e68ab1596638d6c83431da23bfbc.png

（1）当3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png时，求不等式6d0eb79de8d38e053f3ccda14611656b.png的解集；

（2）当e3f7f32051ade969e770ab04b5a4853b.png时，不等式525d85b8a8fbd578ea3a0ac5facca7a8.png成立，证明：966af7cb5bcbb35844643e7ad55dc9e5.png

【答案】(1) 7d01c8ede2b55e956f03122af5f66852.png (2)证明见解析

【解析】（1）将a＝1代入f（x）中，去绝对值，然后分别解不等式；

（2）由条件可得df894b8b031a3b1792cce849d30558a1.png，对e3f7f32051ade969e770ab04b5a4853b.png恒成立，转化为最值问题建立不等式组，然后解出65c884f742c8591808a121a828bc09f8.png的范围即可证明．

【详解】

（1）解：当3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png时7536af00f559957124bcbe83dcb3881d.png

若e3f7f32051ade969e770ab04b5a4853b.png则933e44a5e20bee6b7afb564f6075cac4.png

若f440dc0236526042f52a3d40435a2d22.png则3ac1fafd671a4aff72569ceef149d2ab.png成立

若5c718cd8d0682b37d5444000b894095f.png则060cd5f19789482692f31bc5926e1055.png9d90b91c68d0f5f2f9c474b538edc172.png

综上，不等式的解集为7d01c8ede2b55e956f03122af5f66852.png

（2）当e3f7f32051ade969e770ab04b5a4853b.png时b1809dfa460960267e885160d0ae17d0.png4937678ad3dcf5462c4475822193a2b8.png

d5a1c2b457f10ed1bf6e7e392fc30b24.png1cd2bac91b06c80380490671d6f45c36.png

【点睛】

本题考查解含绝对值不等式以及绝对值不等式恒成立问题，转化为求解函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/72872d0e6037ee06eff9aef8941ea76e59fa4a01.html