2020中考数学冲刺练习-第25讲 数学文化性问题

2020数学中考 冲刺专项练习

专题25 数学文化性问题

【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；

数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看本质，问题便可迎刃而解．

此类问题涉及到古代数学名著中关于数学计算的典例事例分析，或者典型问题展示，也会涉及到古代著名数学家提出的相关问题，首先理解问题内容，再转化为数学语言进行解答即可，难度一般不大。

主要类型有以科技或数学时事为题材、以数学名著为题材、以数学名人为题材.

【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；

【原创】《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一。原题是：妇女河上荡杯，津吏问“杯何以多？” 妇人曰：“有客。”津吏曰：“客几何？” 妇人曰：“两人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。不知客几何？”

大意为：一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少碗？有多少客 ？”妇女答：“洗 65 只碗，客人二人共用一只饭碗，三人共用一只汤碗，四人共用一只肉碗。你说有多少客人用餐？”

【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；

【例题1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九2x＝﹣6章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”

译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；

如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”

设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程，正确的是（　　）

A．9x+11＝6x﹣16 B．9x﹣11＝6x+16

C． D．

【例题2】《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是（　　）

A． B． C． D．

【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。

一、选择题：

1. 秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n次多项式函数fn(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和5eff8f6640696118acca93956e7c12eb.png次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x当x＝3时的值时，最先计算的是(　　)

A．－5×3＝－15

B．0.5×3＋4＝5.5

C．3×33－5×3＝66

D．0.5×36＋4×35＝1 336.6

2. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为(　　)

word/media/image9_1.png

A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺

3. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚黄金重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13辆（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x辆，每枚白银重y辆，根据题意得（    ）

A. B.

C. D.

4. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是(　D　)

A．485e8ea8e43014e7d22e2c6b8c5353d5.png B．614442e2e11f3837d8e4ea4c08461915.png

C．56e32a4ca33390de6be1ea4e9d9b6623.png D．b8576b3092252c1c31389a7008144f1a.png

5. 如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（　　）

A．5 B．4 C． D．

二、填空题：

6. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，依题意，可列方程组为　 　．

7. 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”

译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、只羊各值金多少两？”

设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为　　．

8. 阅读理解：如图Z11①，⊙O与直线a，b都相切．不论⊙O如何转动，直线a，b之间的距离始终保持不变(等于⊙O的直径)．我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”．图②是利用圆的这一特性的例子．将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进．据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．

word/media/image18_1.png

图Z11

拓展应用：如图8①所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”，如图②，夹在平行线c，d间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变．若直线c，d之间的距离等于2 cm，则莱洛三角形的周长为________cm.

word/media/image19_1.png

9. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图Z11－5)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cosθ的值等于________．

word/media/image20_1.png

10. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是　　尺．

三、解答题：

11. 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：

abf2fd6c7e2b340ba81de1350e301b34.png

其中m>n>0，m，n是互质的奇数．

应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．

13. 【阅读教材】

宽与长的比是b7a62fed6f39b6493e45c64fd39382b2.png(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．(提示：MN＝2)

第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．

第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．

第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．

【问题解决】

(1)图③中AB＝__a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png__(保留根号)；

(2)如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；

(3)请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．

【实际操作】

(4)结合图④.请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．

14. 阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550－1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Euler，1707－1783年)才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若ax＝N(a＞0，a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN.比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)；理由如下：

设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，

∴M·N＝am·an＝am＋n，

由对数的定义得m＋n＝loga(M·N)．

又∵m＋n＝logaM＋logaN，

∴loga(M·N)＝logaM＋logaN.

解决以下问题：

(1)将指数43＝64转化为对数式 ；

(2)证明：logabe5e857b29d588edc66d2c6bd823e2f6.png＝logaM－logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)；

(3)拓展运用：计算log32＋log36－log34＝ ．

15. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．

斐波那契数列中的第n个数可以用word/media/image22_1.png[( word/media/image23_1.png)n﹣(word/media/image24_1.png)n]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．

任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/71b12beef321dd36a32d7375a417866fb84ac0b6.html