2013-2014学年高中数学 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示知能演练 理（含解析）新人教A版选修2-1

2013-2014学年高中数学 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示知能演练 理（含解析）新人教A版选修2-1

1．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)

A．a　　　　　　　　　　　 B．b

C．a＋2b D．a＋2c

解析：选D.∵a＋2c，a＋b，a－b为不共面向量，∴a＋2c与p、q能构成一个基底．

2．给出下列命题：①对空间任意两个向量a，b(b≠0)，则a∥b的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa；②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；③若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面；④对于非零向量a，b，c，则(a·b)c＝a(b·c)一定成立．其中正确命题的个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选A.①错，结果应改为a＝λb；②错，当a⊥b时，也有a·b＝0；③正确；④错．

3．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(　　)

A．向量的坐标与点B的坐标相同

B．向量的坐标与点A的坐标相同

C．向量与向量的坐标相同

D．向量与向量－的坐标相同

解析：选D.因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；B、C都不正确；由于＝－，所以D正确，故选D.

4．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量、、成为空间一组基底的关系是(　　)

A.＝＋＋

B.＝＋

C.＝＋＋

D.＝2－

解析：选C.对于选项A，由结论＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于B，D选项，易知、、共面，故只有选项C中、、不共面．

5．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则为(　　)

A. a－b＋c B．－a＋b＋c

C. a＋b－c D. a＋b－c

解析：选B.＝＋＋

＝＋－＋(－)

＝－＋＋

＝－a＋b＋c.

6.

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1.5，则的坐标为________，的坐标为________，的坐标为________．

解析：根据已建立的空间直角坐标系知A(0,0,0)，C(2,2,0)，C1(2,2,1.5)，D(0,2,0)，则的坐标为(0,2,0)，的坐标为(2,2,1.5)，的坐标为(2,2,0)．

答案：(0,2,0)　(2,2,1.5)　(2,2,0)

7．已知a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，且d＝α a＋β b＋γc，则α＋β＋γ＝__________.

解析：由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.

所以故有α＋β＋γ＝3.

答案：3

8.

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝________.

解析：2＝2＋2＋2

＝(＋)＋(＋)＋(＋)

＝＋＋，

∴＝(＋＋)．

答案： (＋＋)

9．已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，能否以，，作为空间的一个基底？

解：假设，，共面，

根据向量共面的充要条件有：＝x＋y，

即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)

＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.

∴此方程组无解．

∴，，不共面．

∴{，， }可作为空间的一个基底．

10.

已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标．

解：设x、y、z轴的单位向量分别为e1、e2、e3，其方向与各轴上的正方向相同，

则＝＋＋

＝2e1＋2e2＋2e3，∴＝(2,2,2)．

∵＝＋＋＝2e1＋2e2＋e3，

∴＝(2,2,1)．

∵＝e2，∴＝(0,1,0)．

1．设命题p：a、b、c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B.若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，则a、b、c不共面，所以a、b、c必须均为非零向量，即q⇒p，但三个非零向量未必可以构成基底．

2.

如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记＝a，＝b，＝c，则＝__________(用a，b，c表示)．

解析：连接A1E、A1C(图略)．

＝＋

＝＋(＋)

＝＋(＋－)

＝c＋(a＋b－c)＝a＋b.

答案： a＋b

3.

已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点．M、N分别为PC、PD上的点且|PM|＝2|MC|，|PN|＝|ND|.设{、、}为基底，求在此基底下的坐标．

解：

如图，取PC中点E，连接NE.

则＝－.

由题意知：＝＝－，

＝－＝－＝.连接AC，则＝－＝＋－.

∴＝－－(＋－)

＝－－＋.

∴在基底{，， }下的坐标为.

4．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．

(1)用向量a，b，c表示，；

(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．

解：

(1)如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c，

＝＋＝＋

＝－(＋)＋(＋)

＝(a－c)．

(2)＝(＋)

＝(－＋－)

＝(－＋－－)

＝(a－c－b－c)＝a－b－c，

∴x＝，y＝－，z＝－1.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/713579c0aeaad1f347933f11.html