第十二章 概率与统计

第一部分 三年高考荟萃

2010年高考题

一、选择题

1.（2010辽宁理）（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

（A） (B) (C) (D)

【答案】B

【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题

【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则

P(A)=P(A1)+ P(A2)=

2.（2010江西理）11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则

A. = B. < C. > D。以上三种情况都有可能

【答案】B

【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为

，总概率为；同理，方法二：每箱的选中的概率为，总事件的概率为，作差得<。

3.（2010安徽文）（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是

（A） （A） （A） （A）

【答案】C

【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以概率等于.

【方法技巧】对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件保护的基本事件数，进而利用概率公式求概率.

4.（2010北京文）⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是

（A） (B) （C） (D)

【答案】D

5.（2010广东理）8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）

A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒

【答案】C

每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×（120-1）=595s．总共就有600+595=1195s．

6.（2010湖北理）4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是

A B C D

二、填空题

1.（2010上海文）10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张

均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）。

【答案】

解析：考查等可能事件概率“抽出的2张均为红桃”的概率为

2.（2010湖南文）11.在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为 。

【答案】

【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。

3.（2010辽宁文）（13）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，

恰好排成英文单词BEE的概率为 。

【答案】

解析： 题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：，

概率为：

4.（2010重庆文）（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________ .

解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得

加工出来的零件的次品率

5.（2010重庆理）（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________.

解析：由得

6.（2010湖北文）13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这咱新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）。

【答案】0.9744

【解析】分情况讨论:若共有3人被治愈，则；

若共有4人被治愈，则，故至少有3人被治愈概率

7.（2010湖南理）11．在区间上随机取一个数x，则的概率为

8.（2010湖南理）9．已知一种材料的最佳入量在110g到210g之间。若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g

9.（2010安徽理）15、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。

①； ②； ③事件与事件相互独立；

④是两两互斥的事件； ⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关

【答案】②④

【解析】易见是两两互斥的事件，而

。

【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化，可知事件B的概率是确定的.

10.（2010湖北理）14．某射手射击所得环数的分布列如下：

已知的期望E=8.9，则y的值为 .

【答案】0.4

【解析】由表格可知：

联合解得.

11.（2010福建理）13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。

【答案】0．128

【解析】由题意知，所求概率为。

【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。

12.（2010江苏卷）3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __.

【解析】考查古典概型知识。

三、解答题

1.（2010浙江理）19.(本题满分l4分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．

（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；

(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求．

解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。

(Ⅰ)解：由题意得ξ的分布列为

则Εξ=×50％+×70％+90％=.

（Ⅱ）解：由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=.

由题意得η～（3，）

则P（η=2）=()2(1-)=.

2.（2010全国卷2理）（20）（本小题满分12分）

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；

（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．

【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.

【参考答案】

【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.

3.（2010全国卷2文）（20）（本小题满分12分）

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T，T，T，T，电源能通过T，T，T的概率都是P，电源能通过T的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立。已知T，T，T中至少有一个能通过电流的概率为0.999。

（Ⅰ）求P；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率。

【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，

（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p。

（2）将MN之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。

4.（2010江西理）18. （本小题满分12分）

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。

（1） 求的分布列；

（2） 求的数学期望。

【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。

（1） 必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，6

，，，

分布列为：

（2）小时

5.（2010重庆文）（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）

在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：

（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；

（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

6.（2010北京理）(17)(本小题共13分)

某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；

(Ⅱ)求，的值；

(Ⅲ)求数学期望ξ。

解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知

，，

（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是

，

（II）由题意知

整理得 ，

由，可得，.

（III）由题意知

=

=

=

7.（2010四川理）（17）（本小题满分12分）

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么

P(A)=P(B)=P(C)=

P()=P(A)P()P()=

答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分

（2）ξ的可能值为0,1,2,3

P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)

所以中奖人数ξ的分布列为

Eξ=0×+1×+2×+3×=………………………………………………12分

8.（2010天津理）（18）.（本小题满分12分）

某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。

（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率

（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；

（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。

【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。

（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率

（Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则

=

=

（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为

=

所以的分布列是

9.（2010广东文）17.（本小题满分12分）

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

10.（2010福建文）18．（本小题满分12分）

设平顶向量＝ （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {1,2,3,4}．

（I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果；

（II）记“使得（-）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率。

11.（2010全国卷1理）(18)(本小题满分12分)

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，

则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评

审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录

用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．

各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．

12.（2010四川文）（17）（本小题满分12分）

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.

13.（2010山东理）

=，

所以的分布列为

数学期望=++4=。

【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。

14.（2010福建理）

所以=。

15.（2010江苏卷）22.本小题满分10分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。

解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且

P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，

P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。

由此得X的分布列为：

（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。

由题设知，解得，

又，得，或。

所求概率为

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

2009年高考题

一、选择题

1.（09山东11）在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率

为 （ ）

A． B． C． D．

【解析】在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.

答案 A

2.(09山东文)在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概

率为 ( ).

A. B. C. D.

【解析】在区间 上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.

答案 A

3.（09安徽卷理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等

于 （ ）

A． B． C． D．

【解析】如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这

6个点中任意选两个点连成直线，共有

种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有

共12对，所以所求概率为，选D

答案　　D

４.（2009安徽卷文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于 （ ）

A.1 B. C. D. 0

【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选A。

答案 A

5、（2009江西卷文）甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 （ ）

A． B． C． D．

【解析】所有可能的比赛分组情况共有种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选.

答案 D

6.（2009江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为（ ）

A． B． C． D．

【解析】故选D

答案 D

7.（2009四川卷文）设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639

乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论

是 （ ）

A.甲批次的总体平均数与标准值更接近

B.乙批次的总体平均数与标准值更接近

C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同

D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613

答案 A

8.（2009辽宁卷文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 （ ）

A． B． C． D．

【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为

因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝

取到的点到O的距离大于1的概率为

答案 B

９.（2009年上海卷理）若事件与相互独立，且，则的值等于 （ ）

A． B． C． D．

【解析】＝＝

答案 B

二、填空题

10.（2009广东卷理）已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ， ．

【解析】由题知，，，解得

，.

答案

11.（2009安徽卷理）若随机变量，则=________.

答案

12.（2009安徽卷文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线

段为边可以构成三角形的概率是________。

【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:2、3、4或3、4、5或2、4、5，故=0.75.

答案 0.75

13.（2009江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 .

【解析】 考查等可能事件的概率知识。

从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。

答案 0.2

14.（2009江苏卷）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

则以上两组数据的方差中较小的一个为= .

【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。

甲班的方差较小，数据的平均值为7，

故方差

答案

15.（2009湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、

0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。

【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76

答案 0.24 0.76

16.（2009福建卷文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。

【解析】如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是。

答案

17．（2009重庆卷文）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差 （克）（用数字作答）．

【解析】因为样本平均数，则样本方差所以

答案 2

三、解答题

18、（2009浙江卷理）（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．

（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；

（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．

解（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；

（II）随机变量的取值为的分布列为

所以的数学期望为

19、（2009北京卷文）（本小题共13分）

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.

解（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.

（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学

生在上学路上遇到次红灯的事件.

则由题意，得，

.

由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，

∴事件B的概率为.

20、（2009北京卷理）（本小题共13分）

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.

解 （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.

（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.

事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），

∴，

∴即的分布列是

∴的期望是.

21、(2009山东卷理)(本小题满分12分)

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3

分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第

三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A

处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列

为

（1）求q的值；

（2）求随机变量的数学期望E;

（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

解 （1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.

根据分布列知: =0时=0.03,所以

，q=0.8.

（2）当=2时, P1=

=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24

当=3时, P2 ==0.01,

当=4时, P3==0.48,

当=5时, P4=

=0.24

所以随机变量的分布列为

随机变量的数学期望

（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为

;

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

22、（2009安徽卷理）（本小题满分12分）

某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.

本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。

解 随机变量X的分布列是

X的均值为

附：X的分布列的一种求法

共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：

在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。

23、（2009江西卷理）（本小题满分12分）

某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额．

(1) 写出的分布列； (2) 求数学期望．

解（1）的所有取值为

（2）.

24、(2009湖北卷理)（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）

一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量，求的分布列和数学期望。

解 依题意，可分别取、6、11取，则有

的分布列为

.

25、（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）

某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。

（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；

（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）

解（Ⅰ）依题意X的分列为

（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.

B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.

依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，

,

所求的概率为

……

26、（2009湖南卷文）（本小题满分12分）

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：

（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

（II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.

解 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，

相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，

且

（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P=

（Ⅱ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率

P=

27、（2009全国卷Ⅰ文）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；

（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。

【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。

解 记“第局甲获胜”为事件，“第局甲获胜”为事件。

（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则

，由于各局比赛结果相互独立，故

。

（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

，由于各局比赛结果相互独立，故

28、（2009陕西卷文）（本小题满分12分）

椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1

(Ⅰ) 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率；

（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

解 解答1（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”

所以

（Ⅱ）设事件表示“第个月被投诉的次数为0”事件表示“第个月被投诉的次数为1”事件表示“第个月被投诉的次数为2”事件D表示“两个月内被投诉2次”

所以

所以两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为

一、二月份均被投诉1次的概率为

所以

由事件的独立性的

解答2（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉2次”设事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”

所以

(Ⅱ)同解答1（Ⅱ）

29、(2009湖南卷理)（本小题满分12分）

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。

（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。

解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=

（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=

(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。

所以P（=0）=P（=3）==，

P（=1）=P（=2）= =

P（=2）=P（=1）==

P（=3）=P（=0）= =

故的分布是

的数学期望E=0+1+2+3=2

解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，

i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互独立，且

P（）-（，）= P（）+P（）=+=

所以--,既，

故的分布列是

30、（2009四川卷理）（本小题满分12分）

为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司 组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。 在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。

（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。

本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考

察运用概率只是解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持

银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，

事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。

所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。

…………………………………………………………6分

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3

,

，，

所以的分布列为

所以， ……………………12分

31、（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：

（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；

（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．

解 设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2

表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2

则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

, .

据此算得

, , .

, , .

(Ⅰ) 所求概率为

　.

(Ⅱ) 解法一：

的所有可能值为0，1，2，3，4，且

,

,

= ,

.

.

综上知有分布列

从而，的期望为

（株）

解法二：

分布列的求法同上

令分别表示甲乙两种树成活的株数，则

故有

从而知

32、（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：

（Ⅰ）至少有1株成活的概率；

（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．

解 设表示第株甲种大树成活, ; 设表示第株乙种大树成活,

则独立,且

（Ⅰ）至少有1株成活的概率为:

（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为:

2008年高考题

1．(2008年全国Ⅱ理6)从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）

A． B． C． D．

【解析】

答案 D

2.（2008年全国Ⅱ理理18）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．

（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．

解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．

（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， 2分

，

又，故． 5分

（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．

支出 ，

盈利 ，

盈利的期望为 ， 9分

由知，，

．

（元）．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元．……………………………………………… 12分

3.（2008年全国Ⅱ理18）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有

10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．

（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．

解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．

（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当，，

又，故．

（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．

支出 ，

盈利 ，

盈利的期望为 ，

由知，，

．

（元）．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元．

第二部分 两年联考汇编

2010年联考题

题组二（5月份更新）

1. (安徽六校联考)某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )

A. B. C. D.

答案 D

2.（三明市三校联考）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 （ ）

A. B.

C. D.

答案D

3．（安庆市四校元旦联考）一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，

某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超

过的概率为 。

答案

4．（三明市三校联考）（本小题满分13分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．

（Ⅰ）设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望；

（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

（Ⅰ）解：的所有可能取值为0，1，2．

依题意，得， ， ．

∴的分布列为

∴ ． ………………………………（7分）

（Ⅱ）解：设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，

则，， ∴．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 …………………………（13分）

5. （肥城市第二次联考）甲有一只放有x个红球，y个黄球，z个白球的箱子，且，乙有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两个各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲期，异色时乙胜。

（1）用x、y、z表示甲胜的概率；

（2）若又规定当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分。求甲得分的期望的最大值及此时x、y、z的值.

解：（1）P（甲胜）=P（甲、乙均取红球）+P（甲、乙均取黄球）+P（甲、乙均取白球）

…………4分

（2）设甲的得分为随机变量ξ，则

…………10分

∴当y=6时，Eξ取得最大值为，此时x=z=0. …………12分

6.（2009昆明一中第三次模拟）次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行。根据以往经验，每局甲赢乙的概率为，乙赢甲的概率为，且每局比赛输赢互不受影响。若甲第n局赢、平、输的得分分别记为，

令

（Ⅰ）求甲与乙平局的概率；

（Ⅱ）求的概率。

解：（Ⅰ）由已知甲赢的概率为，输的概率为，所以平的概率为

（Ⅱ）.

7.（2009牟定一中期中）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，其中甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装

有2个红球，3个白球。现从甲、乙两袋中各任取2个球。

(I)用表示取到的4个球中红球的个数，求的分布列及的数学期望；

(II)求取到的4个球中至少有2个红球的概率。

解：（Ⅰ），

，

随机变量的分布列为

数学期望………………………………………8分

(II)所求的概率…………12分

8.（2010宁波十校联考）某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选说累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题连续两次答错的概率为，（已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响。）

（I）求甲选手回答一个问题的正确率；

（Ⅱ）求选手甲可进入决赛的概率；

（Ⅲ）设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望。

解答：（1）设甲选手答对一个问题的正确率为，则

故甲选手答对一个问题的正确率 3分

（Ⅱ）选手甲答了3道题目进入决赛的概率为= 4分

选手甲答了4道题目进入决赛的概率为 5分

选手甲答了5道题目进入决赛的概率为 6分

选手甲可以进入决赛的概率 8分

（Ⅲ）可取3，4，5

则有 9分

10分

11分

因此有 （直接列表也给分）

故 14分

9. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，

甲运动员

乙运动员

若将频率视为概率，回答下列问题，

（1）求甲运动员击中10环的概率

（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率

（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求的分布列及.

解：

（1）设“甲运动员击中10环”为事件,甲运动员击中10环的概率为0.35. ………

（2）设甲运动员击中9环为事件，击中10环为事件

则甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率

…………

甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率

答：甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率为0.992. …………

（3）的可能取值是0，1，2，3

所以的分布列是

…………

. …………

题组一（1月份更新）

一、选择题

1、（2009杭州二中第六次月考）从正方体的8个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条,则这两条直线是异面直线的概率是 （ ）

A． B． C． D．

答案 B

2、（2009杭州高中第六次月考）从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是（ ）

A． B． C． D．

答案 D

3、（2009金华十校3月模拟）同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于

A B C D

答案 C

二、填空题

1、（2009上海十四校联考）在集合中任取一个元素，所取元素

恰好满足方程的概率是

答案

2、（2009上海八校联考）已知集合，，（可以等于)，从集合中任取一元素，则该元素的模为的概率为______________。

答案

3、（2009杭州学军中学第七次月考）在边长为2的正三角形ABC内任取一点P, 则使点P到三个顶点的距离至少有一个

小于1的概率是_____

答案

4、（2009上海奉贤区模拟考）在1，2，3，4，5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是 。（用分数表示）答案

5、（2009冠龙高级中学3月月考文）某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意

选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是 。

答案

6、（2009台州市第一次调研）一堆除颜色外其它特征都相同的红白两种颜色的球若干个，已知红球的个数比白球多，

但比白球的2倍少，若把每一个白球都记作数值2，每一个红球都记作数值3，则所有球的数值的总和等于60.现从中任取一个球，则取到红球的概率等于 .

答案

7、（2009冠龙高级中学3月月考理甲、乙两人各进行一次射击如果两人击中目标的概率都是0.6，则其中恰有一人击中目标的概率是 。

答案

8、（2009上海普陀区）正方体骰子六个表面分别刻有的点数. 现同时掷了两枚骰子，则得到的点数之和大于10的概率为 .

答案 ；

9、（2009上海青浦区）市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元．如果小王购买了10注彩票，那么他的期望收益是 元．

答案 元

三、解答题

1、（2009昆明市期末）某大学毕业生响应国家号召，到某村参加村委会主任应聘考核。考核依次分为笔试、面试、试用共三轮进行，规定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核，否则将被淘汰，三轮考核都通过才能被正式录用。设该大学毕业生通过三轮考核的概率分别为，

且各轮考核通过与否相互独立

（Ⅰ）求该大学毕业生未进入第三轮考核的概率；

（Ⅱ）设该大学毕业生在应聘考核中考核次数为ξ，求ξ的数学期望和方差。

（解：Ⅰ）记“该大学生通过第一轮笔试”为事件A，

“该大学生通过第二轮面试”为事件B，

“该大学生通过第三轮试用”为事件C。

则

那么该大学生未进入第三轮考核的概率是

············6分

（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3.

P(ξ=1)=P()=1-P(A)=

P(ξ=2)=P()=P(A)(1-P(B))=

P(ξ=3)=

或P(ξ=3)= ···································9分

ξ的数学期望·····························11分

ξ的方差··········12分

2、（2009杭州二中第六次月考）一个袋子内装有若干个黑球，个白球，个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取个球，每取得一个黑球得分，每取一个白球得分，每取一个红球得分，已知得分的概率为，用随机变量表示取个球的总得分．

（Ⅰ）求袋子内黑球的个数；

（Ⅱ）求的分布列与期望．

解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n，则

化简得：，解得或（舍去），即有4个黑球

（Ⅱ）

∴的分布列为

3、（2009上海卢湾区4月模考）袋中有8个颜色不同，其它都相同的球，其中1个为黑球，3个为白球，4个为红球

（1）若从袋中一次摸出2个球，求所摸出的2个球恰为异色球的概率；

（2）若从袋中一次摸出3个球，且所摸得的3球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时得到红球的个数为，求随机变量的概率分布律，并求的数学期望和方差.

解：（1）摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为，故所求概率为； （6分）

（2）符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个白球，共有种不同摸法，一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其它颜色球，共有种不同摸法，一种是所摸得的3球均为红球，共有种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有种.

由题意随机变量的取值可以为，，. 得随机变量的概率分布律为：

， （13分）

. （14分）

4、（2009上海卢湾区一模）(理)袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：.

(1)随机变量的概率分布律；(2)随机变量的数学期望与方差.

(文)袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机地摸球，求：

(1)红色球与黄色球恰好相等的概率(用分数表示结果)

(2)红色球多于黄色球的不同摸法的和数.

(理)解：(1)随机变量可取的值为

得随机变量的概率分布律为：

(2)随机变量的数学期望为：；