高中数学对称问题分类
观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨,我问:“雨下得怎样?”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编的一首儿歌:“蓝天高,白云飘,鸟儿飞,树儿摇,太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情,幼儿不仅印象深刻,对雷雨前后气象变化的词语学得快,记得牢,而且会应用。我还在观察的基础上,引导幼儿联想,让他们与以往学的词语、生活经验联系起来,在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的,尖尖的,硬硬的,像医生用的手术刀―样,给大树开刀治病。通过联想,幼儿能够生动形象地描述观察对象。 对称问题是高中数学的重要内容之一,在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题,为使对称问题的知识系统化,本文特作以下归纳。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 一、点关于已知点或已知直线对称点问题
观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨,我问:“雨下得怎样?”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编的一首儿歌:“蓝天高,白云飘,鸟儿飞,树儿摇,太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情,幼儿不仅印象深刻,对雷雨前后气象变化的词语学得快,记得牢,而且会应用。我还在观察的基础上,引导幼儿联想,让他们与以往学的词语、生活经验联系起来,在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的,尖尖的,硬硬的,像医生用的手术刀―样,给大树开刀治病。通过联想,幼儿能够生动形象地描述观察对象。 1、设点P(x,y)关于点(a,b)对称点为P(x,y),
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 x=2a-x
唐宋或更早之前,针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目,其相应传授者称为“博士”,这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者,又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋,乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者;而后者则于西晋武帝时代即已设立了,主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问,其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席,也是当朝打眼的学官。至明清两代,只设国子监(国子学)一科的“助教”,其身价不谓显赫,也称得上朝廷要员。至此,无论是“博士”“讲师”,还是“教授”“助教”,其今日教师应具有的基本概念都具有了。 由中点坐标公式可得:y=2b-y
2、点P(x,y)关于直线L:Ax+By+C=O的对称点为
x=x-(Ax+By+C)
P(x,y)则
y=y-(AX+BY+C)
事实上:∵PPL及PP的中点在直线L上,可得:Ax+By=-Ax-By-2C
解此方程组可得结论。
(- )=-1(B0)
特别地,点P(x,y)关于
1、x轴和y轴的对称点分别为(x,-y)和(-x,y)
2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x,y)和(x,2a-y)
3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y,x)和(-y,-x)
例1 光线从A(3,4)发出后经过直线x-2y=0反射,再经过y轴反射,反射光线经过点B(1,5),求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解:如图,由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点
A(5,0),B关于y轴对称点B为(-1,5),直线AB的方程为5x+6y-25=0
`C(0, )
`直线BC的方程为:5x-6y+25=0
二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题
求已知曲线F(x,y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时,只须将曲线F(x,y)=O上任意一点(x,y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x,y)=0中相应的作称即得,由此我们得出以下结论。
1、曲线F(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x,2b-y)=0
2、曲线F(x,y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C),y-(Ax+By+C))=0
特别地,曲线F(x,y)=0关于
(1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x,-y)和F(-x,y)=0
(2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x,y)=0和F(x,2a-y)=0
(3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y,x)=0和F(-y,-x)=0
除此以外还有以下两个结论:对函数y=f(x)的图象而言,去掉y轴左边图象,保留y轴右边的图象,并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象;保留x轴上方图象,将x轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。
例2(全国高考试题)设曲线C的方程是y=x3-x。将C沿x轴y轴正向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1:
1)写出曲线C1的方程
2)证明曲线C与C1关于点A( , )对称。
(1)解 知C1的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s
(2)证明 在曲线C上任取一点B(a,b),设B1(a1,b1)是B关于A的对称点,由a=t-a1,b=s-b1,代入C的方程得:
s-b1=(t-a1)3-(t-a1)
`b1=(a1-t)3-(a1-t)+s
`B1(a1,b1)满足C1的方程
`B1在曲线C1上,反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上
`曲线C和C1关于a对称
我们用前面的结论来证:点P(x,y)关于A的对称点为P1(t-x,s-y),为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程,得:s-y=(t-x)3-(t-x)
`y=(x-t)3-(x-t)+s
此即为C1的方程,`C关于A的对称曲线即为C1。
三、曲线本身的对称问题
曲线F(x,y)=0为(中心或轴)对称曲线的充要条件是曲线F(x,y)=0上任意一点P(x,y)(关于对称中心或对称轴)的对称点的坐标替换曲线方程中相应的坐标后方程不变。
例如抛物线y2=-8x上任一点p(x,y)与x轴即y=0的对称点p(x,-y),其坐标也满足方程y2=-8x,`y2=-8x关于x轴对称。
例3 方程xy2-x2y=2x所表示的曲线:
A、关于y轴对称 B、关于直线x+y=0对称
C、关于原点对称 D、关于直线x-y=0对称
解:在方程中以-x换x,同时以-y换y得
(-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x,即xy2-x2y=2x方程不变
`曲线关于原点对称。
函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论:
1、函数f(x)定义线为R,a为常数,若对任意xR,均有f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于x=a对称。
这是因为a+x和a-x这两点分别列于a的左右两边并关于a对称,且其函数值相等,说明这两点关于直线x=a对称,由x的任意性可得结论。
例如对于f(x)若tR均有f(2+t)=f(2-t)则f(x)图象关于x=2对称。若将条件改为f(1+t)=f(3-t)或f(t)=f(4-t)结论又如何呢?第一式中令t=1+m则得f(2+m)=f(2-m);第二式中令t=2+m,也得f(2+m)=f(2-m),所以仍有同样结论即关于x=2对称,由此我们得出以下的更一般的结论:
2、函数f(x)定义域为R,a、b为常数,若对任意xR均有f(a+x)=f(b-x),则其图象关于直线x= 对称。
我们再来探讨以下问题:若将条件改为f(2+t)=-f(2-t)结论又如何呢?试想如果2改成0的话得f(t)=-f(t)这是奇函数,图象关于(0,0)成中心对称,现在是f(2+t)=-f(2-t)造成了平移,由此我们猜想,图象关于M(2,0)成中心对称。如图,取点A(2+t,f(2+t))其关于M(2,0)的对称点为A(2-x,-f(2+x))
∵-f(2+X)=f(2-x)`A的坐标为(2-x,f(2-x))显然在图象上
`图象关于M(2,0)成中心对称。
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。若将条件改为f(x)=-f(4-x)结论一样,推广至一般可得以下重要结论:
要练说,先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯:有的结巴重复,面红耳赤;有的声音极低,自讲自听;有的低头不语,扯衣服,扭身子。总之,说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键,面向全体,偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时,我总是笑脸相迎,声音亲切,动作亲昵,消除幼儿畏惧心理,让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中,改变过去老师讲学生听的传统的教学模式,取消了先举手后发言的约束,多采取自由讨论和谈话的形式,给每个幼儿较多的当众说话的机会,培养幼儿爱说话敢说话的兴趣,对一些说话有困难的幼儿,我总是认真地耐心地听,热情地帮助和鼓励他把话说完、说好,增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求,在说话训练中不断提高,我要求每个幼儿在说话时要仪态大方,口齿清楚,声音响亮,学会用眼神。对说得好的幼儿,即使是某一方面,我都抓住教育,提出表扬,并要其他幼儿模仿。长期坚持,不断训练,幼儿说话胆量也在不断提高。
要练说,先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯:有的结巴重复,面红耳赤;有的声音极低,自讲自听;有的低头不语,扯衣服,扭身子。总之,说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键,面向全体,偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时,我总是笑脸相迎,声音亲切,动作亲昵,消除幼儿畏惧心理,让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中,改变过去老师讲学生听的传统的教学模式,取消了先举手后发言的约束,多采取自由讨论和谈话的形式,给每个幼儿较多的当众说话的机会,培养幼儿爱说话敢说话的兴趣,对一些说话有困难的幼儿,我总是认真地耐心地听,热情地帮助和鼓励他把话说完、说好,增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求,在说话训练中不断提高,我要求每个幼儿在说话时要仪态大方,口齿清楚,声音响亮,学会用眼神。对说得好的幼儿,即使是某一方面,我都抓住教育,提出表扬,并要其他幼儿模仿。长期坚持,不断训练,幼儿说话胆量也在不断提高。3、f(X)定义域为R,a、b为常数,若对任意xR均有f(a+x)=-f(b-x),则其图象关于点M(,0)成中心对称。
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