1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解

一.直角坐标系

1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。它使直线上任意一点P都可以由惟一的实数来确定。

2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为、轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平面直角坐标系。它使平面上任意一点P都可以由惟一的二元有序实数对来确定。

3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为、、轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一点P都可以由惟一的三元有序实数对来确定。

事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对的集合一一对应；空间中所有点的集合与全体三元有序数对的集合一一对应.

二.平面直角坐标系中图形的平移变换

1.平移变换

在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为

图形F的平移。若以向量表示移动的方向和长度，我们也称图形F按向量平移．

在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为，向量，平移后的对应点为.

则有：

即有：.

因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由所确定的变换是一个平移变换。

因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在

平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。

例1.①.已知点按向量平移至点Q，求点Q的坐标；

②.求直线按向量平移后的方程。

一般地我们有如下关于平移变换的结论：

①.将点按向量平移，

所得点的坐标为：.

②.将曲线按向量平移，

所得曲线的方程为.

注：点按向量平移，

得点，即：；

直线按向量平移，

得直线，即：.

2.有关曲线平移的一般性结论

①.直线，按向量平移后得

直线. 过点.

②.曲线，按向量平移后得

曲线 中心为.

③.曲线，按向量平移后得

曲线 中心为.

④.曲线，按向量平移后得

曲线 中心为.

⑤.曲线，按向量平移后得

曲线 顶点为.

例2.说明方程表示什么曲线，求这个曲线的顶点、中心、焦点、渐近线和离心率.

三.平面直角坐标系中的伸缩变换

1. 伸缩变换

例3.我们已经知道，方程所表示的曲线可以看作由方程

所表示的曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的得

到的曲线；同理，将方程所表示的曲线上所有点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的2倍，也可以得到方程所表示的曲线. 这也就是说，方程所表示的曲线可以通过伸缩变换得到方程所表示的曲线．

实际上，设，则可以化为.

由，所确定的变换，是曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，也可以称为曲线按伸缩系数为2向着轴的伸缩变换(这里是变换前的点，是变换后的点)．

一般地，由，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为向着轴的伸缩变换(当>1时，表示伸长；当<1时，表示压缩)，即曲线上所

有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍(这里是变换前的点，是变换后的点).

同理，由，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为向着轴的伸缩变换(当>1时，表示伸长；当<1时，表示压缩)，即曲线上所

有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍(这里是变换前的点，是变换后的点).

由，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数向着轴和按伸缩系数向着轴的伸缩变换(当时，表示伸长，时，表示压缩；当时，表示伸长，当<1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标和纵坐标分别变为原来的倍和倍(这里是变换前的点，是变换后的点).

在伸缩变换中，曲线上任意两点间距离的不变性已不存在．那么缩变换有什么特征呢?

我们来考察直线与圆在伸缩变换作用下的变化．

例4.对下列曲线向着轴进行伸缩变换，伸缩系数是.

①.；

②..

(设是变换前的点，是变换后的点).

注：①.直线经过伸缩变换后的方程为，

它仍然表示一条直线；

②.圆经过伸缩变换后的方程为，它变为椭圆.

2.有关曲线伸缩变换的一般性结论

①.直线经过伸缩变换后，仍是直线．因此，在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变。

②.曲线在伸缩变换（或或）作用下（时表示拉伸，时表示压缩），所得曲线的方程为：

（或或）.

③.曲线上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）压缩为原来的，可得曲线

（或或，时表示压缩，时表示拉伸）.

例5.设曲线，，，

.

由曲线经过何种变换可以得到曲线、、.

例6.设是与的中点，经过伸缩变换后，它

们分别为，求证：是的中点．

(设是变换前的点，是变换后的点).

四.典型例题

1.两个定点的距离为4，点M到这两个定点的距离的平方和为16，

则点M的轨迹是 （ ）

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

2.将函数图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标拉伸为原来的2倍，得到的函数图象的解析式为 （ ）

A. B. C. D.

3.将点变换为点所用的伸缩变换公式是 （ ）

A. B. C. D.

4.①已知点按向量平移至点Q，求点Q的坐标;

②已知点按向量平移至点，求平移向量.

5.将对数函数曲线的横坐标拉伸为原来的2倍，

求所得曲线的方程.

6.在同一直角坐标系中，已知伸缩变换.

①.求点经过变换所得到的点的坐标；

②.点经过变换得到点，求点的坐标

③.求直线经过变换后所得到的直线的方程；

④.求双曲线经过变换后所得到的曲线的焦点坐标.

7.在平面直角坐标系中求将曲线变为曲线的伸缩变换.

8.方程表示何种曲线，求它的中心坐标、焦点坐标、准线方程、离心率．

五.课外练习

六.补充练习

1.将点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的，得到点的坐标为 （ ）

A. B. C. D.

2.曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为,

则曲线的方程为 （ ）

A. B.

C. D.

3.①已知点按向量平移至点Q，求点Q的坐标;

②已知点按向量平移至点，求向量.

4.写出曲线按向量平移后的方程.

①.；

②.

5.求下列方程所表示的曲线的顶点、焦点、中心及准线方程.

①.；

②..

6.对下列曲线向着轴进行伸缩变换，伸缩系数.

①.;

②.．

7.对曲线向着轴进行伸缩变换，伸缩系数.

8.在平面直角坐标系中求将曲线变为曲线

的伸缩变换.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6fff1bc7d5bbfd0a7956733b.html