[精品]云南省昆明市2016年中考数学试卷及答案解析（word版）

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2016年云南省昆明市中考数学试卷

一、填空题：每小题3分，共18分

1．﹣4的相反数为　　　　　　．

2．昆明市2016年参加初中学业水平考试的人数约有67300人，将数据67300用科学记数法表示为　　　　　　．

3．计算：﹣=　　　　　　．

4．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为　　　　　　．

5．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形EFGH的面积是　　　　　　．

6．如图，反比例函数y=（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为　　　　　　．

二、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

7．下面所给几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

8．某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表：

那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　）

A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85

9．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．无实数根 D．无法确定

10．不等式组的解集为（　　）

A．x≤2 B．x＜4 C．2≤x＜4 D．x≥2

11．下列运算正确的是（　　）

A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8C． =±3 D． =﹣2

12．如图，AB为⊙O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°，连接AD、OC、BC，下列结论不正确的是（　　）

A．EF∥CD B．△COB是等边三角形

C．CG=DG D．的长为π

13．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　）

A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣=D．﹣=

14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：

①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

三、综合题：共9题，满分70分

15．计算：20160﹣|﹣|++2sin45°．

16．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB

求证：AE=CE．

17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）

（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；

（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

18．某中学为了了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图；

（1）这次抽样调查的样本容量是　　　　　　，并补全条形图；

（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比为　　　　　　，在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为　　　　　　°；

（3）该校九年级学生有1500人，请你估计其中A等级的学生人数．

19．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．

（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；

（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．

20．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：word/media/image33_1.png≈1.414，word/media/image33_1.png≈1.732）

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21．（列方程（组）及不等式解应用题）

春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．

（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．

22．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

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23．如图1，对称轴为直线x=word/media/image40_1.png的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；

（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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2016年云南省昆明市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：每小题3分，共18分

1．﹣4的相反数为　4　．

【考点】相反数．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0即可求解．

【解答】解：﹣4的相反数是4．

故答案为：4．

2．昆明市2016年参加初中学业水平考试的人数约有67300人，将数据67300用科学记数法表示为　6.73×104　．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于67300有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．

【解答】解：67300=6.73×104，

故答案为：6.73×104．

3．计算：word/media/image43_1.png﹣word/media/image44_1.png=　word/media/image46_1.png　．

【考点】分式的加减法．

【分析】同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；再分解因式约分计算即可求解．

【解答】解：word/media/image43_1.png﹣word/media/image44_1.png

=word/media/image48_1.png

=word/media/image50_1.png

=word/media/image46_1.png．

故答案为：word/media/image46_1.png．

4．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为　40°　．

word/media/image52_1.png

【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．

【分析】由等腰三角形的性质证得E=∠F=20°，由三角形的外角定理证得∠CDF=∠E+∠F=40°，再由平行线的性质即可求得结论．

【解答】解：∵DE=DF，∠F=20°，

∴∠E=∠F=20°，

∴∠CDF=∠E+∠F=40°，

∵AB∥CE，

∴∠B=∠CDF=40°，

故答案为：40°．

5．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形EFGH的面积是　24　．

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【考点】中点四边形；矩形的性质．

【分析】先根据E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点得出AH=DH=BF=CF，AE=BE=DG=CG，故可得出△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，根据S四边形EFGH=S正方形﹣4S△AEH即可得出结论．

【解答】解：∵E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，

∴AH=DH=BF=CF=8，AE=BE=DG=CG=3．

在△AEH与△DGH中，

∵word/media/image56_1.png，

∴△AEH≌△DGH（SAS）．

同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，

∴S四边形EFGH=S正方形﹣4S△AEH=6×8﹣4×word/media/image40_1.png×3×4=48﹣24=24．

故答案为：24．

6．如图，反比例函数y=word/media/image40_1.png（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为　﹣word/media/image59_1.png　．

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【考点】反比例函数系数k的几何意义；平行线分线段成比例．

【分析】先设点B坐标为（a，b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值．

【解答】解：设点B坐标为（a，b），则DO=﹣a，BD=b

∵AC⊥x轴，BD⊥x轴

∴BD∥AC

∵OC=CD

∴CE=word/media/image40_1.pngBD=word/media/image40_1.pngb，CD=word/media/image40_1.pngDO=word/media/image63_1.pnga

∵四边形BDCE的面积为2

∴word/media/image40_1.png（BD+CE）×CD=2，即word/media/image40_1.png（b+word/media/image40_1.pngb）×（﹣word/media/image40_1.pnga）=2

∴ab=﹣word/media/image59_1.png

将B（a，b）代入反比例函数y=word/media/image40_1.png（k≠0），得

k=ab=﹣word/media/image59_1.png

故答案为：﹣word/media/image59_1.png

word/media/image60_1.png

二、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

7．下面所给几何体的俯视图是（　　）

word/media/image69_1.png

A．word/media/image71_1.png B．word/media/image73_1.png C．word/media/image73_1.png D．word/media/image74_1.png

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】直接利用俯视图的观察角度从上往下观察得出答案．

【解答】解：由几何体可得：圆锥的俯视图是圆，且有圆心．

故选：B．

8．某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表：

那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　）

A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85

【考点】众数；中位数．

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．

【解答】解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90；

排序后处于中间位置的那个数是90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90；

故选：A．

9．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．无实数根 D．无法确定

【考点】根的判别式．

【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．

【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，

△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，

∴该方程有两个相等的实数根．

故选B．

10．不等式组word/media/image76_1.png的解集为（　　）

A．x≤2 B．x＜4 C．2≤x＜4 D．x≥2

【考点】解一元一次不等式组．

【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集即可．

【解答】解：解不等式x﹣3＜1，得：x＜4，

解不等式3x+2≤4x，得：x≥2，

∴不等式组的解集为：2≤x＜4，

故选：C．

11．下列运算正确的是（　　）

A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8C．word/media/image33_1.png =±3 D．word/media/image79_1.png =﹣2

【考点】同底数幂的乘法；算术平方根；立方根；完全平方公式．

【分析】利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、（a﹣3）2=a2﹣6a+9，故错误；

B、a2•a4=a6，故错误；

C、word/media/image33_1.png=3，故错误；

D、word/media/image79_1.png=﹣2，故正确，

故选D．

12．如图，AB为⊙O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°，连接AD、OC、BC，下列结论不正确的是（　　）

word/media/image81_1.png

A．EF∥CD B．△COB是等边三角形

C．CG=DG D．word/media/image83_1.png的长为word/media/image40_1.pngπ

【考点】弧长的计算；切线的性质．

【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据垂径定理判断C；利用弧长公式计算出word/media/image83_1.png的长判断D．

【解答】解：∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，

∴AB⊥EF，又AB⊥CD，

∴EF∥CD，A正确；

∵AB⊥弦CD，

∴word/media/image83_1.png=word/media/image83_1.png，

∴∠COB=2∠A=60°，又OC=OD，

∴△COB是等边三角形，B正确；

∵AB⊥弦CD，

∴CG=DG，C正确；

word/media/image83_1.png的长为：word/media/image87_1.png =π，D错误，

故选：D．

13．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　）

A．word/media/image59_1.png﹣word/media/image59_1.png=20 B．word/media/image59_1.png﹣word/media/image59_1.png=20 C．word/media/image59_1.png﹣word/media/image59_1.png=word/media/image40_1.pngD．word/media/image59_1.png﹣word/media/image59_1.png=word/media/image40_1.png

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．

【解答】解：由题意可得，

word/media/image59_1.png﹣word/media/image59_1.png=word/media/image40_1.png，

故选C．

14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：

①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若word/media/image59_1.png=word/media/image40_1.png，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（　　）

word/media/image91_1.png

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF；

②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°；

③同②证明△EHF≌△DHC即可；

④若word/media/image59_1.png=word/media/image40_1.png，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=word/media/image95_1.pngx，CD=6x，则S△DHC=word/media/image40_1.png×HM×CD=3x2，S△EDH=word/media/image40_1.png×DH2=13x2．

【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，

∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，

∴△CFG为等腰直角三角形，

∴GF=FC，

∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，

∴EG=DF，故①正确；

②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

∴FH=CH，∠GFH=word/media/image40_1.png∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，word/media/image97_1.png，

∴△EHF≌△DHC（SAS），

∴∠HEF=∠HDC，

∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；

③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

∴FH=CH，∠GFH=word/media/image40_1.png∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，word/media/image97_1.png，

∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；

④∵word/media/image59_1.png=word/media/image40_1.png，

∴AE=2BE，

∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

∴FH=GH，∠FHG=90°，

∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，

在△EGH和△DFH中，word/media/image97_1.png，

∴△EGH≌△DFH（SAS），

∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，

∴△EHD为等腰直角三角形，

过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：

设HM=x，则DM=5x，DH=word/media/image95_1.pngx，CD=6x，

则S△DHC=word/media/image40_1.png×HM×CD=3x2，S△EDH=word/media/image40_1.png×DH2=13x2，

∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；

故选：D．

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三、综合题：共9题，满分70分

15．计算：20160﹣|﹣word/media/image33_1.png|+word/media/image108_1.png+2sin45°．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】分别根据零次幂、实数的绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值进行计算即可．

【解答】解：

20160﹣|﹣word/media/image33_1.png|+word/media/image108_1.png+2sin45°

=1﹣word/media/image33_1.png+（3﹣1）﹣1+2×word/media/image110_1.png

=1﹣word/media/image33_1.png+3+word/media/image33_1.png

=4．

16．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB

求证：AE=CE．

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【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．

【解答】证明：∵FC∥AB，

∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，

在△ADE和△CFE中，

word/media/image97_1.png，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴AE=CE．

17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）

（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；

（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

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【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；

（2））找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置，然后顺次连接即可；

（3）找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P．

【解答】解：（1）如图1所示：

（2）如图2所示：

（3）找出A的对称点A′（﹣3，﹣4），

连接BA′，与x轴交点即为P；

如图3所示：点P坐标为（2，0）．

word/media/image118_1.png

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word/media/image118_1.png

18．某中学为了了解九年级学生体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级，并依据测试成绩绘制了如下两幅尚不完整的统计图；

（1）这次抽样调查的样本容量是　50　，并补全条形图；

（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比为　8%　，在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为　28.8　°；

（3）该校九年级学生有1500人，请你估计其中A等级的学生人数．

word/media/image123_1.png

【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）由A等级的人数和其所占的百分比即可求出抽样调查的样本容量；求出B等级的人数即可全条形图；

（2）用B等级的人数除以总人数即可得到其占被调查人数的百分比；求出C等级所占的百分比，即可求出C等级所对应的圆心角；

（3）由扇形统计图可知A等级所占的百分比，进而可求出九年级学生其中A等级的学生人数．

【解答】解：

（1）由条形统计图和扇形统计图可知总人数=16÷32%=50人，所以B等级的人数=50﹣16﹣10﹣4=20人，

故答案为：50；

补全条形图如图所示：

word/media/image125_1.png

（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比=word/media/image59_1.png×100%=8%；

在扇形统计图中C等级所对应的圆心角=8%×360°=28.8°，

故答案为：8%，28.8；

（3）该校九年级学生有1500人，估计其中A等级的学生人数=1500×32%=480人．

19．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．

（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；

（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．

【考点】列表法与树状图法；概率公式．

【分析】先根据题意画树状图，再根据所得结果计算两个数字之和能被3整除的概率．

【解答】解：（1）树状图如下：

word/media/image128_1.png

（2）∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，

∴两个数字之和能被3整除的概率为word/media/image40_1.png，

即P（两个数字之和能被3整除）=word/media/image40_1.png．

20．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：word/media/image33_1.png≈1.414，word/media/image33_1.png≈1.732）

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【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE﹣CE．

【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．

则DE=BF=CH=10m，

在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，

∴DF=AF=70m．

在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，

∴CE=word/media/image134_1.png=word/media/image136_1.png=10word/media/image33_1.png（m），

∴BC=BE﹣CE=70﹣10word/media/image33_1.png≈70﹣17.32≈52.7（m）．

答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．

word/media/image36_1.png

21．（列方程（组）及不等式解应用题）

春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．

（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．

【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，根据“购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元”可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的单价；

（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据“甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍”可列出关于m的一元一次不等式，解不等式可得出m的取值范围，再设卖完A、B两种商品商场的利润为w，根据“总利润=甲商品单个利润×数量+乙商品单个利润×数量”即可得出w关于m的一次函数关系上，根据一次函数的性质结合m的取值范围即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，

依题意得：word/media/image140_1.png，解得：word/media/image142_1.png，

答：甲种商品每件的进价为30元，乙种商品每件的进价为70元．

（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，

由已知得：m≥4，

解得：m≥80．

设卖完A、B两种商品商场的利润为w，

则w=（40﹣30）m+（90﹣70）=﹣10m+2000，

∴当m=80时，w取最大值，最大利润为1200元．

故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进80件、乙商品购进20件，最大利润为1200元．

22．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

word/media/image38_1.png

【考点】切线的判定；平行四边形的性质；扇形面积的计算．

【分析】（1）欲证明CF是⊙O的切线，只要证明∠CDO=90°，只要证明△COD≌△COA即可．

（2）根据条件首先证明△OBD是等边三角形，∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°，推出DE=EC=BO=BD=OA由此根据S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD即可解决问题．

【解答】（1）证明：如图连接OD．

∵四边形OBEC是平行四边形，

∴OC∥BE，

∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠DOC=∠AOC，

在△COD和△COA中，

word/media/image97_1.png，

∴△COD≌△COA，

∴∠CAO=∠CDO=90°，

∴CF⊥OD，

∴CF是⊙O的切线．

（2）解：∵∠F=30°，∠ODF=90°，

∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，

∵OD=OB，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠DBO=60°，

∵∠DBO=∠F+∠FDB，

∴∠FDB=∠EDC=30°，

∵EC∥OB，

∴∠E=180°﹣∠OBD=120°，

∴∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°，

∴EC=ED=BO=DB，

∵EB=4，

∴OB=OD═OA=2，

在RT△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，

∴AC=OA•tan60°=2word/media/image33_1.png，

∴S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD=2×word/media/image40_1.png×2×2word/media/image33_1.png﹣word/media/image146_1.png=2word/media/image33_1.png﹣word/media/image148_1.png．

word/media/image150_1.png

23．如图1，对称轴为直线x=word/media/image40_1.png的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；

（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

word/media/image42_1.png

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；

（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．

【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），

把C（0，4）代入：4=﹣2a，

a=﹣2，

∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），

∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4；

（2）如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，

∴S=S梯形+S△PDB=word/media/image40_1.pngm（﹣2m2+2m+4+4）+word/media/image40_1.png（﹣2m2+2m+4）（2﹣m），

S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6，

∵﹣2＜0，

∴S有最大值，则S大=6；

（3）如图2，存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，

理由是：

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

把B（2，0）、C（0，4）代入得：word/media/image153_1.png，

解得：word/media/image155_1.png，

∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，

设M（a，﹣2a+4），

过A作AE⊥BC，垂足为E，

则AE的解析式为：y=word/media/image40_1.pngx+word/media/image40_1.png，

则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），

设Q（﹣x，0）（x＞0），

∵AE∥QM，

∴△ABE∽△QBM，

∴word/media/image157_1.png①，

由勾股定理得：x2+42=2×[a2+（﹣2a+4﹣4）2]②，

由①②得：a1=4（舍），a2=word/media/image40_1.png，

当a=word/media/image40_1.png时，x=word/media/image40_1.png，

∴Q（﹣word/media/image40_1.png，0）．

word/media/image160_1.png

word/media/image162_1.png

2016年7月12日

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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6ffc6ab70a4e767f5acfa1c7aa00b52acec79c02.html