中考数学压轴题轨迹问题

1．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG．

（1）设AE＝x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．

2．如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．AD＝2cm，BC＝6cm，AE＝4cm．点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M．若点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终为10cm2．设EP＝x cm，FQ＝y cm，解答下列问题：

（1）直接写出当x＝3时y的值；

（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当x取何值时，图形M成为等腰梯形图形M成为三角形

（4）直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．

（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；

（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少

（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形若能，求t的值；若不能，请说明理由；

（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长.

4.如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x秒．

（1）Q点的坐标为( , )（用含x的代数式表示）；

（2）当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？

（3）记PQ的中点为G．请你直接写出点G随点P，Q运动所经过的路线的长度．

5.如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一个动点(点C除外)，直线PM交AB的延长线于点D．

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；

(2)当△ADP是等腰三角形时，求m的值；

(3)设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点E作直线ME的垂线，垂足为H(如图2)．当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长(不写解答过程)．

6、问题探究：

（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．

（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．

问题解决：

（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△APB的面积（结果保留根号）．

7.已知：矩形纸片2BCD中，2B=26厘米，BC=厘米，点E在2D上，且2E=6厘米，点P是2B边上一动点．按如下操作：

步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如了1所示）；

步骤二，过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（手图9所示）

（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE（填“＞”、“=”、“＜”号）；

（2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：

①当点P在A点时，P3与MN交于点55，Q1点的坐标是（ ， ）；

②当PA=6厘米时，PT与MN交于点r2，Q2点的坐标是（ ， ）；

③当PA=d2厘米时，在图3中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交点Q3的坐标；

（3）点P在运动过程，PT与MN形成一系列着交点Q1，Q2，Q3，…观察、猜想：众的的交点形成的图象是什么并直接写出该图象的函数表达式．

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