二次根式教学设计

2.7.1二次根式

课题：二次根式

课型：新授课

教学目标：

知识与技能：

1、了解二次根式和最简二次根式的概念；

2、探索积的算术平方根和商的算术平方根；

3、会运用二次根式及的算术平方根和商的算术平方的性质将二次根式化简为最简二次根式。

过程与方法：

1、在学生原有的知识基础上，经历知识产生的过程，探索新知识。

2、通过计算，观察，猜想，归纳总结的过程得到二次根式的性质。

情感态度与价值观：

激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学的精神以及合作精神，树立创新意思。

重点：二次根式的概念、性质及二次根式的化简。

难点：理解（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．并用它们会进行二次根式的化简。

教学方法：小组合作，自助探究。

三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：第一环节创设情境，引入新课；第二环节：探究性质；

第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：布置作业。

第一环节：创设情境，引入新课：

活动内容，求出下列各值：

(1)在一个直角三角形行中，两条直角边的长度分别是1，2，那么斜边的长度________.

(2) 学校有一个正方形的花坛面积是11，则它的边长是_______.

(3) 一个正数的平方是7.2，则这个正数是________.

(4) 49除以121的算术平方根是_____

直角三角形的斜边长是c,一条直角边是b,则另一直角边长是________(其中b=24，c=25)

答案：，，，，（其中b=24,c=25），

处理方式：学生独立完成，引入新课。

设计意图：由生活中的数学引出新课要探究的数学问题。一是，使学生感知数学在生活中的应用，激发学生的求知欲，为下一环节奠定良好的基础。二是，加强前后知识间的联系，使学生认识到学习的必要性，从而增强学习的积极性，同时也顺利地引入了新课。

第二环节：探究学习，感悟新知：

活动内容1：观察下列各数，并思考下面的问题。

，，，，（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？

处理方式：以小组为单位让学生处分讨论回答 。只要学生回答的合情合理均给予肯定和鼓励。通过式子的特点介绍二次根式的概念。

学生答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。

介绍二次根式的概念。一般地，式子叫做二次根式。a叫做被开方数．强调条件：．

设计意图：学生通过观察并与小组成员的讨论这些式子的共同点，使学生能够形成二次根式的概念，初步感知二次根式的形。同时教会学生在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识，使学生学会学习。

练一练：1、请指出下列哪些是二次根式：

2、当x______时，二次根式在实数范围内有意义。

参考答案：1、（1）（3）（4）（5）是二次根式。2、≥3

处理方式：学生独立完成后进行交流，讨论，使学生对二次根式有一个较深刻，全面的认识。使学生认识到一个式子，是否为二次根式，关键看是否满足的形式。即二次根式应满足两个条件，第一，有二次根号，第二被开方数是非负数。

设计意图：通过练习让学生加强对二次根式定义的认识。第1题着眼于弄清二次根式的形式，巩固二次根式有意义的条件；第2题来考察学生对二次根式有意义的理解。让学生在练习中发现乐趣，掌握知识。

问题2：二次根式怎样进行运算呢？

这是我们本节课要解决的新问题．

意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．

活动内容2：

（一）内容：计算下列各式子，你能得到哪些猜想？

（1）＝　　　，＝　　　；

＝　　　　，＝；

处理方式：让学生完成题目后交流，发现算式的特点及规律。

设计意图：引导学生发现算式的特点及规律并产生猜想增强学生的求知欲。

（2）猜猜＝　　　　，＝　　　 也有类似的关系吗？你还能举出类似的例子吗？并用计算器验证。

设计意图：引导学生验证猜想得出规律，使学生获得成功的喜悦，并且收获了研究数学问题的探究方法。

问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？

问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？

处理方式：小组内交流展示，重点引导学生认识算式的特点及二次根式有意义的条件。小组总结出结论，（a≥0，b≥0）这里应强调ɑ，b的取值范围。

预设，如果不能得出ab的取值范围，教师应及时引导学生根据二次根式有意义的条件去发现。

设计意图：使学生经历“产生猜想...验证猜想...形成理论”的完整过程。再一次培养和提升学生的逻辑思维能力，使学生学会学习。

活动内容3：（多媒体展示）＝，＝； ＝，＝．

处理方式：以自主学习的方式。让学生用同样的方法完成本项活动的探究。

使学生明白：（a≥0， b＞0）．这里应强调ɑ，b的取值范围。

设计意图：让学生用同样的方法探究积的算术平方根和商的算术平方根的性质。目的是让学生独立完成本问题的探究，使学生新学的方法和思维得以检查和巩固。同时培养同学们的计算能力、语言表达能力和概括能力。

第三环节：知识巩固

活动1：有了积的算术平方根和商的算术平方根，你能顺利完成下列题目吗？

例1 化简（1）；（2）；（3）。

问题1、 观察化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？

问题2、化简要化到什么形式为止？

处理方式：学生小组交流做题过程，教师指导并通过计算，小组讨论。找出结果的共同特征，理解最简二次根式的概念。

设计意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.

师生共同总结：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。

注意：化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。

活动2：下列各式是最简二次根式吗？若不是，如何化简。

例2. 化简：

处理方式：先让学生判断上述各式是否是最简二次根式，并说一说为什么。然后学生分组完成上述各式的化简过程，老师指导，最后小组讨论。总结上述个体的化解方法。

注意：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号。

答案：

问题：你注意在例2中出现的 的化简方法了吗？

还可以这样化简：

总结：把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过程叫做分母有理化。

议一议：（1）你怎么发现含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？

（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。

处理方法：学生小组交流，得出具体的二次根式化简的方法，师生共同归纳总结。

学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．

设计目的：通过观察，交流使学生切实的理解并掌握二次根式化简的方法。

第四环节：当堂检测

处理方法：学生独立完成，部学生的练习结果进行展示，对错的地方及时纠正。

设计目的：检查学生对二次根式的化简的理解掌握情况。

第五环节：课堂小结

本节课主要内容：

（1）掌握并会运用公式：（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．

（2）理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结．

处理方法：同学之间交流本节课的学习收获和体会。教师帮助学生归纳必要的内容。

设计意图：1、通过小结让学生进一步把握重点，明确学习的方向，依照本节课的教学目标，引导学生自己小结本节课的知识要点。2、使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识。

第六环节：布置作业

习题2.9必做题：第1、2题

选做题：第3、4题

设计意图：分层作业，是不同同学得到不同的训练。

板书设计

1. 二次根式：一般地，式子叫做二次根式。a叫做被开方数．

2. 二次根式的性质：积的算数平方根等于算数平方根的积。

（a≥0，b≥0）

商的算术平方根等于算术平方根的商。

（a≥0，b＞0）．

3. 例1 化简（1）；（2）；（3）。

4. 最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。

5. 例2 化简

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