第4章 相似三角形
一、选择题
1.下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A. 4cm、2cm、1cm、3cm B. 1cm、2cm、3cm、5cmC. 3cm、4cm、5cm、6cm D. 1cm、2cm、2cm、4cm
2.身高为165cm的小冰在中午时影长为55cm，小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为（ ）
A. 185cm B. 180cm
C. 170cm
D. 160cm
3.如果把三角形的三边按一定的比例扩大，则下列说法正确的是（）
A. 三角形的形状不变，三边的比变大 B. 三角形的形状变，三边的比变大C. 三角形的形状变，三边的比不变
D. 三角形的形状不变，三边的比不变
4.如果△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，则它们对应边上的高之比为（ ）
A. 2：3 B. 4：9
C. 3：5
D. 9：4
5.若△ABC∽△DEF，AB：DE=2：1且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 32
6.如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△BCF的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
7.如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A. 5：8 B. 3：4
C. 9：16
D. 1：2
8.如图，身高为1.6m的吴格霆想测量学校旗杆的高度，当她站在C处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2.0m，BC=8.0m，则旗杆的高度是（ ）
A. 6.4m B. 7.0m
C. 8.0m
D. 9.0m
9.若一个图形的面积为2，那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（ ）
A. 8 B. 6
C. 4
D. 2
10.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （﹣1，2） B. （﹣9，18）
C. （﹣9，18）或（9，﹣18）
D. （﹣1，2）或（1，﹣2）
二、填空题
11.若 ， 则
的值等于________
12.如图，已知△ABC∽△DEF，且相似比为k，则k=________，直线y=kx+k的图象必经过________象限．
13.如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为________．
14.如果两个相似三角形的相似比是2：3，较小三角形的面积为4cm2 ， 那么较大三角形的面积为________cm2 ．
15.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ C=∠ F=90°，当AC=3，AB=5，DE=10，EF=8时，Rt△ABC和Rt△DEF是________ 的．（填“相似”或者“不相似”）
16.如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=2，MB=4，BC=6，则MN的长为________．
17.如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1________S2 ． （填“＞”“=”或“＜”）
18.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为________ ．
三、解答题
19.在比例尺为1：10000的地图上，有甲、乙两个相似三角形区域，其周长分别为10cm和15cm．
（1）求它们的面积比；
（2）若在地图上量得甲的面积为16cm2 ， 则乙所表示的实际区域的面积是多少平方米？
20.如图，点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果满足 ，那么我们称点C是线段 AB的黄金分割点，若AB=1，求AC的长．
21.如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．求证：△ADE∽△ACB．
22.如图，已知△DEO与△ABO是位似图形，△OEF与△OBC是位似图形．求证：OD•OC=OF•OA．
23.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，且对角线BD⊥DC，试问：
（1）△ABD与△DCB相似吗？请说明理由．
（2）若AD＝2，BC＝8，请求出BD的长．
24.．如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2=PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．
（1）求证：△PAE∽△PEC；
（2）求证：PE为⊙O的切线；
（3）若∠B=30°，AP=AC，求证：DO=DP．
参考答案
一、选择题
1. D 2. B 3. D 4. A 5. C 6. B 7. A 8. C 9. A 10. D
二、填空题
11. 12.
；一、二、三 13.2 14.9
15.相似 16.2 17.= 18.1：4
三、解答题
19.（1）解： =（
）2=
（2）解：∵
=
，S甲=16cm2 ， ∴S乙=36cm2 ， 又∵比例尺是1：10000，∴S实际=36×108=3.6×109cm2=3.6×105m2 ．
20.解：设AC=x，则BC=1﹣x， 由 得，
，化简得：x2+x﹣1=0，解得：
（负值舍去），答：AC的长为
21.证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，∴ =
=
，
=
=
，∴
=
，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．
22.解：∵△DEO与△ABO是位似图形，△OEF与△OBC是位似图形，∴=
，∴OD•OC=OF•OA．
23.（1）解：相似．理由：∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°，而∠BAD＝90°，
∴∠BDC＝∠BAD.又∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴△ABD∽△DCB.（2）解：∵△ABD∽△DCB，∴ ＝
，而AD＝2，BC＝8，∴
＝
，
∴DB2＝16，∴BD＝4
24. （1）解：∵PE2=PA•PC，
∴ ，
∵∠APE=∠EPC，
∴△PAE∽△PEC；（2）如图1，
连接BE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠OBE=∠PCE，
∴∠OEB=∠PCE，
∵△PAE∽△PEC，
∴∠PEA=∠PCE，
∴∠PEA=∠OEB，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠OEB+∠OEA=90°，
∵∠PEA+∠OEA=90°，
∴∠OEP=90°，
∵点E在⊙O上，
∴PE是⊙O的切线；（3）如图，
过点O作OM⊥AC于M，
∴AM= AC，
∵BC⊥AC，
∴OM∥BC，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOM=30°，
∴OM= AM=
AC，
∵AP= AC，
∴OM= AP，
∵PC=AC+AP=2AP+AP=3AP，
∴PE2=PA×PC=PA×3PA，
∴PE= PA，
∴OM=PE，
∵∠PED=∠OMD=90°，∠ODM=∠PDE，
∴△ODM≌△PDE，
∴OD=DP．
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