奥数第七讲 代数式的求值

第七讲 代数式的求值

　　代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．

　　1．利用因式分解方法求值

　　因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．

　　分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．

　　解 已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以

　　6x4+15x3+10x2

　　=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1

　　=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1

　　=0+1=1．

　　说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．

　　例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：

　　a2+b2+c2=1，①

　　求a+b+c的值．

　　解 将②式因式分解变形如下

　　即

　　所以

　　a+b+c=0或bc+ac+ab=0．

　　若bc+ac+ab=0，则

　　(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)

　　　　　　=a2+b2+c2=1，

　　所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．

　　说明 本题也可以用如下方法对②式变形：

　　即

　　前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．

　　2．利用乘法公式求值

　　例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．

　　解 因为x+y=m，所以

　　m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，

　　所以

　　求x2+6xy+y2的值．

　　分析 将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．

　　解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy

　　　　　　　 =(x+y)2+4xy

　　3．设参数法与换元法求值

　　如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．

　　分析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．

　　x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．

　　所以

　　x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．

　　u+v+w=1，①

　　由②有

　　把①两边平方得

　　u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，

　　所以u2+v2+w2=1，

　　即

　　两边平方有

　　所以

　　4．利用非负数的性质求值

　　若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．

　　例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求yx的值．

　　分析与解 x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．

　　因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以

　　x2-4x＋4＋|3x-y|=0，

　　即 (x-2)2+|3x-y|=0．

　　所以 yx=62=36．

　　例9 未知数x，y满足

　　(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0， 其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．

　　分析与解 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．

　　将已知等式变形为

　　m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，

　　(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0．

　　5．利用分式、根式的性质求值

　　分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．

　　例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：

　　分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．

　　解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．

　　同理

　　分析 计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．

　　同样(但请注意算术根！)

　　将①，②代入原式有

练习六

　　2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．

　　3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．

　　5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．

　　8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．

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