上海黄浦区2019年高三上学期期终基础学业测评试题（数学理）

上海黄浦区2019年高三上学期期终基础学业测评试题（数学理）

数学 (理)

(2018年1月5日)

考生注意：

1、每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2、答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3、本试卷共23道试题，总分值150分；考试时间120分钟、

说明：未标明文理科的试题是文科理科学生都要解答的试题。

一、填空题(本大题总分值56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否那么一律得零分、

１、全集word/media/image1_1.png，集合word/media/image2_1.png，word/media/image3_1.png，那么word/media/image4_1.png＝　　　、

２、函数word/media/image5_1.png的定义域是　　　　　　　　　　　　　、

3、word/media/image6_1.png的二项展开式中含word/media/image7_1.png的项是　　 　　　〔word/media/image8_1.png的系数用数值表示〕、

4、不等式word/media/image9_1.png的解集是　　　　　　　　　　　　　　、

５、关于word/media/image10_1.png的方程word/media/image11_1.png(word/media/image12_1.png是虚数单位)的解是word/media/image13_1.png＝　　　 　　　、

６、函数word/media/image14_1.png的单调增区间是　　　　　　　　　　、

7、(理科)无穷等比数列word/media/image15_1.png(word/media/image16_1.png)的前word/media/image17_1.png项的和是word/media/image18_1.png，且word/media/image19_1.png，那么首项word/media/image20_1.png的取值范围是 、

８、假设word/media/image21_1.png，那么 .

9、函数word/media/image23_1.png的图像如图１所示，那么word/media/image24_1.png＝ 、

10、一个算法的程序框图如图2所示，那么该程序运行后输出的结果是 、

11、(理科)直三棱柱word/media/image26_1.png的棱word/media/image27_1.png，word/media/image28_1.png，如图3所示，那么异面直线word/media/image29_1.png与word/media/image30_1.png所成的角是　 　　(结果用反三角函数值表示)、

12、点word/media/image31_1.png、word/media/image32_1.png，假设直线与线段word/media/image34_1.png相交(包含端点的情况)，那么实数word/media/image35_1.png的取值范围是 　　　　 、

13、一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个)，经过充分混合后，现从中任意摸出3个球，那么至少得到１个白球的概率是 (用数值作答)、

14、(理科)函数word/media/image36_1.pngword/media/image37_1.png是非零常数，关于word/media/image38_1.png的方程word/media/image39_1.png有且仅有三个不同的实数根，假设word/media/image40_1.png分别是三个根中的最小根和最大根，那么word/media/image41_1.png= 、

二、选择题(本大题总分值16分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否那么一律得零分、

15、假设word/media/image42_1.png，且，那么以下不等式中能恒成立的是　　　　　　　　　[答]( )

A、word/media/image44_1.png、 B、word/media/image45_1.png 、 C、word/media/image46_1.png 、 D、word/media/image47_1.png、

16、圆word/media/image48_1.png与直线word/media/image49_1.png的位置关系是 [答]( )

A、直线与圆相交但不过圆心. B、 相切. C、直线与圆相交且过圆心. D、 相离.

17、函数word/media/image50_1.png(word/media/image51_1.png为常数)是奇函数，那么word/media/image52_1.png的反函数是 [答]( )

A、word/media/image53_1.png 、 　　 B、、

C、word/media/image55_1.png、 D、word/media/image56_1.png、

(1)假设直线word/media/image57_1.png上有两个点到平面word/media/image58_1.png的距离相等，那么直线word/media/image59_1.png；

(2)“平面word/media/image60_1.png上有四个不共线的点到平面word/media/image58_1.png的距离相等”的充要条件是“平面word/media/image61_1.png”；

(3)假设一个球的表面积是word/media/image62_1.png，那么它的体积word/media/image63_1.png；

(4)假设从总体中随机抽取的样本为，那么该总体均值的点估计值是word/media/image65_1.png、那么其中正确命题的序号是[答]()

A、(1)、(2)、(3)、B、(1)、(2)、(4)、C、(3)、(4)、D、(2)、(3)、

三、解答题(本大题总分值78分)本大题共有5题，解答以下各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤、

19、(此题总分值14分)此题共有2个小题，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分、

(理科)四棱锥word/media/image66_1.png的底面word/media/image67_1.png是直角梯形，word/media/image68_1.png，word/media/image69_1.png，

侧面word/media/image70_1.png为正三角形，word/media/image71_1.png，word/media/image72_1.png、如图4所示、

(1)证明：word/media/image73_1.png平面word/media/image74_1.png；

(2)求四棱锥word/media/image76_1.png的体积word/media/image77_1.png、

20、(此题总分值12分)此题共有2个小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值7分、

要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素word/media/image78_1.png的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的word/media/image78_1.png，动植物死亡后，停止了新陈代谢，word/media/image78_1.png不再产生，且原有的word/media/image78_1.png含量的衰变经过5570年(word/media/image78_1.png的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半、假设word/media/image78_1.png的原始含量为word/media/image79_1.png，那么经过word/media/image80_1.png年后的残余量word/media/image81_1.png与word/media/image79_1.png之间满足word/media/image82_1.png、

(1)求实数word/media/image83_1.png的值；

(2)测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中word/media/image78_1.png的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代(精确到100年)、

21、(此题总分值16分)此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值10分、

两点word/media/image84_1.png、word/media/image85_1.png，点是直角坐标平面上的动点，假设将点word/media/image87_1.png的横坐标保持不变、纵坐标扩大到word/media/image88_1.png倍后得到点word/media/image89_1.png满足word/media/image90_1.png、

(1)求动点word/media/image91_1.png所在曲线word/media/image92_1.png的轨迹方程；

(2)(理科)过点word/media/image93_1.png作斜率为word/media/image94_1.png的直线word/media/image95_1.png交曲线word/media/image96_1.png于word/media/image97_1.png两点，且满足，又点word/media/image99_1.png关于原点O的对称点为点word/media/image100_1.png，试问四点word/media/image101_1.png是否共圆，假设共圆，求出圆心坐标和半径；假设不共圆，请说明理由、

(文科)过点word/media/image93_1.png作斜率为word/media/image94_1.png的直线word/media/image95_1.png交曲线word/media/image96_1.png于word/media/image97_1.png两点，且满足(O为坐标原点)，试判断点word/media/image99_1.png是否在曲线word/media/image102_1.png上，并说明理由、

22、(此题总分值18分)此题共有3个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分、

函数word/media/image103_1.png、

(1)试说明函数word/media/image104_1.png的图像是由函数word/media/image105_1.png的图像经过怎样的变换得到的；

(2)(理科)假设函数word/media/image106_1.png，试判断函数word/media/image107_1.png的奇偶性，并用反证法证明函数word/media/image107_1.png的最小正周期是；

(3)求函数word/media/image109_1.png的单调区间和值域、

23、(此题总分值18分)此题共有3个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分、

word/media/image110_1.png，且word/media/image111_1.png，word/media/image112_1.png，数列word/media/image113_1.png、word/media/image114_1.png满足word/media/image115_1.png，word/media/image116_1.png，word/media/image117_1.png，word/media/image118_1.png、

(1)求证数列是等比数列；

(2)(理科)求数列word/media/image120_1.png的通项公式word/media/image121_1.png；

(3)(理科)假设word/media/image122_1.png满足word/media/image123_1.png，word/media/image124_1.png，word/media/image125_1.png，试用数学归纳法证明：

word/media/image126_1.png、

数学(理)参考答案

(2017年1月5日)

说明：

1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。

2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原那么上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

【一】填空题

1、word/media/image127_1.png；8、word/media/image128_1.png；

2、；9、word/media/image130_1.png ；

3、word/media/image131_1.png；10、word/media/image132_1.png；

4、word/media/image133_1.png；11、(理)word/media/image134_1.png，

5、word/media/image135_1.png；12、word/media/image136_1.png；

6、word/media/image137_1.png；13、word/media/image138_1.png；

7、(理)word/media/image139_1.png，；14、(理)，、

【二】选择题：15、D16、B17、A18、C

【三】解答题

19、(此题总分值14分)

证明(1)word/media/image141_1.png直角梯形word/media/image142_1.png的word/media/image143_1.png，word/media/image144_1.png，又word/media/image145_1.png，word/media/image146_1.png，

∴word/media/image147_1.png、

∴在△word/media/image148_1.png和△word/media/image149_1.png中，有，word/media/image151_1.png、

∴word/media/image152_1.png且word/media/image153_1.png、

∴word/media/image154_1.png、

解(理科)(2)设顶点word/media/image155_1.png到底面word/media/image156_1.png的距离为word/media/image157_1.png、结合几何体，可知word/media/image158_1.png、

又word/media/image159_1.png，word/media/image160_1.png，

于是，，解得word/media/image162_1.png、

所以word/media/image163_1.png、

20、(此题总分值12分)

解(1)由题意可知，当word/media/image164_1.png时，word/media/image165_1.png，即word/media/image166_1.png，

解得word/media/image167_1.png、

(2)∵古墓中女尸word/media/image168_1.png的残余量约占原始含量的76.7%，

∴word/media/image169_1.png，即word/media/image170_1.png，

解得、

∴由此可推测古墓约是2100多年前的遗址、

21、(此题总分值16分)

解(1)依据题意，有word/media/image172_1.png、

∵word/media/image173_1.png，

∴word/media/image174_1.png、

∴动点P所在曲线C的轨迹方程是word/media/image175_1.png、

(2)(理科)因直线word/media/image176_1.png过点word/media/image177_1.png，且斜率为word/media/image178_1.png，

故有word/media/image179_1.png、联立方程组word/media/image180_1.png，得word/media/image181_1.png、

设两曲线的交点为、word/media/image183_1.png，可算得word/media/image184_1.png、

又word/media/image185_1.png，点word/media/image186_1.png与点word/media/image187_1.png关于原点对称，

于是，可得点word/media/image188_1.png、word/media/image189_1.png、

假设线段word/media/image190_1.png、word/media/image191_1.png的中垂线分别为word/media/image192_1.png和word/media/image193_1.png，那么有word/media/image194_1.png，word/media/image195_1.png、

联立方程组，解得word/media/image192_1.png和word/media/image193_1.png的交点为word/media/image197_1.png、

因此，可算得word/media/image198_1.png，

word/media/image199_1.png、

所以，四点word/media/image200_1.png共圆，圆心坐标为word/media/image197_1.png，半径为word/media/image201_1.png、

22、(此题总分值16分)

解(1)∵word/media/image202_1.png

word/media/image203_1.png，

∴word/media/image204_1.png、

∴函数word/media/image205_1.png的图像可由word/media/image206_1.png的图像按如下方式变换得到：

①将函数word/media/image206_1.png的图像向右平移个单位，得到函数word/media/image208_1.png的图像；

②将函数word/media/image208_1.png的图像上所有点的横坐标缩短到原来的word/media/image209_1.png倍(纵坐标不变)，得到函数word/media/image210_1.png的图像；

③将函数word/media/image210_1.png的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数word/media/image204_1.png的图像、

(说明：横坐标先放缩，再平移也可、即将函数word/media/image206_1.png的图像上所有点的横坐标缩短到原来的word/media/image209_1.png倍(纵坐标不变)，得到函数word/media/image211_1.png，再将函数word/media/image211_1.png的图像向右平移word/media/image212_1.png个单位，得到函数word/media/image210_1.png的图像，最后将函数word/media/image210_1.png的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数word/media/image204_1.png的图像、)

(2)(理科)由(1)知，word/media/image204_1.png，

∴word/media/image213_1.png、

又对任意word/media/image214_1.png，有word/media/image215_1.png，

∴函数word/media/image216_1.png是偶函数、

∵，

∴word/media/image218_1.png是周期函数，word/media/image219_1.png是它的一个周期、

现用反证法证明word/media/image219_1.png是函数word/media/image218_1.png的最小正周期。

反证法：假设word/media/image219_1.png不是函数word/media/image220_1.png的最小正周期，设word/media/image221_1.png是word/media/image222_1.png的最小正周期、

那么word/media/image223_1.png，即word/media/image224_1.png、

令word/media/image225_1.png，得word/media/image226_1.png，两边平方后化简，得word/media/image227_1.png，这与(word/media/image229_1.png)矛盾、因此，假设不成立、

所以，函数word/media/image218_1.png的最小正周期是word/media/image230_1.png、

(3)(理科)先求函数word/media/image231_1.png在一个周期word/media/image232_1.png内的单调区间和函数值的取值范围。

当word/media/image233_1.png时，word/media/image234_1.png，且word/media/image235_1.png、

易知，此时函数word/media/image236_1.png的单调增区间是word/media/image237_1.png，单调减区间是；

函数的取值范围是word/media/image239_1.png、

因此，依据周期函数的性质，可知函数word/media/image240_1.png的单调增区间是

word/media/image241_1.png；单调减区间是word/media/image242_1.png；

函数word/media/image243_1.png的值域是word/media/image244_1.png、

23、(此题总分值18分)

证明(1)∵word/media/image245_1.png，

∴word/media/image246_1.png,word/media/image247_1.png.

∵word/media/image117_1.png，word/media/image118_1.png，

∴word/media/image248_1.png

word/media/image249_1.png

word/media/image250_1.png

word/media/image251_1.png、

又word/media/image252_1.png，

∴数列word/media/image253_1.png是公比为3，首项为word/media/image254_1.png的等比数列、

解(2)(理科)依据(1)可以，得word/media/image255_1.png、

于是，有word/media/image256_1.png，即word/media/image257_1.png、

因此，数列word/media/image258_1.png是首项为，公差为1的等差数列、

故word/media/image260_1.png、

所以数列word/media/image261_1.png的通项公式是word/media/image262_1.png、

(3)〔理科〕用数学归纳法证明：word/media/image126_1.png

(i)当word/media/image263_1.png时，左边word/media/image264_1.png，右边word/media/image265_1.png，

即左边=右边，所以当word/media/image263_1.png时结论成立、

(ii)假设当word/media/image266_1.png时，结论成立，即word/media/image267_1.png、

当word/media/image268_1.png时，左边word/media/image269_1.png

word/media/image270_1.png

word/media/image271_1.pngword/media/image272_1.png，

右边word/media/image273_1.png、

即左边＝右边，因此，当word/media/image268_1.png时，结论也成立、

根据(i)、(ii)可以断定，word/media/image274_1.png对word/media/image275_1.png的正整数都成立、

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/69dc23a6b94ae45c3b3567ec102de2bd9705dec4.html