一、选择题

1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()

A．有一个解

B．有两个解

C．至少有三个解

D．至少有两个解

[答案]C

[解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.

2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()

A．a、b、c都是奇数

B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数

C．a、b、c都是偶数

D．a、b、cxx至少有两个偶数

[答案]B

[解析]a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：

①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.

3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()

A．假设三内角都不大于60°

B．假设三内角都大于60°

C．假设三内角至多有一个大于60°

D．假设三内角至多有两个大于60°

[答案]B

[解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.

4．用反证法证明命题：

“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()

A．假设a，b，c都是偶数

B．假设a、b，c都不是偶数

C．假设a，b，c至多有一个偶数

D．假设a，b，c至多有两个偶数

[答案]B

[解析]“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．

5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是()

A．a

B．a≤b

C．a＝b

D．a≥b

[答案]B

[解析]“a>b”的否定应为“a＝b或a，即a≤b.故应选B.

6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()

A．一定是异面直线

B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

[答案]C

[解析]假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.

8．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()

A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行

B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直

C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交

D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面

[答案]B

[解析]对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m

则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一．

9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：

“是乙或丙获奖”，乙说：

“甲、丙都未获奖”，丙说：

“我获奖了”，xx说：

“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()

A．甲

B．乙

C．丙

D．xx

[答案]C

[解析]因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.

二、填空题

11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是____．

[答案]没有一个是三角形或四边形或五边形

[解析]“至少有一个”的否定是“没有一个”．

[解析]“至少有一个”的否定是“都不能”．

13．用反证法证明命题：

“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；

②所以一个三角形中不能有两个直角；

③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.

正确顺序的序号排列为______．

[答案]③①②

三、解答题

15．已知：

a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.

求证：

a>0，b>0，c>0.

[证明]用反证法：

假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，

可得c>－(a＋b)，

又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)

ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab

即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2

∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．

因此a>0，b>0，c>0成立．