研究生录取中的最佳匹配问题 国防科技大学 褚瑞 晏小波 张雄明
发布时间：2023-01-30 17:04:34 来源：文档文库
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研究生录取中的最佳匹配问题
褚瑞 晏小波 张雄明 国防科技大学
摘 要：本文将考生录取问题转化为图论中一个特定约束条件下双向二部图的最大权匹配问题。对于问题一，采用搜索法直接得到最优解，运算复杂度为O(MN。对于问题二，考虑是否满足稳定匹配条件的两种情况，采用Kuhn-Munkras算法和改进的Kuhn-Munkras算法分别求得最大满意度的解和极大满意度的解，前者的算法复杂度仅为O(Nlog2N。对于问题三，分两步解决。首先给出一种选优录取10个考生的方法，在此基础上提出了一种最大平衡策略，求出一组约束条件下的极大解。对于问题四，首先在充分考虑考生志愿和专业平衡的条件下，给出了5名导师和10名考生的选择策略，然后在此基础上采用虚拟导师节点的方法，转化为问题二中的情况进行求解。最后，我们分析上述各种策略的弊端，提出了虚拟节点的方法，有效消除了上述弊端，并将模型统一到问题二的情况中。本文的最终模型可扩展性好，算法复杂度低，较好的解决了本文提出的所有问题。
问题的重述
某学校Ｍ系计划招收10名计划内考生，依照有关规定由初试上线的前15名考生参加复试，专家组由8位专家组成。在复试过程中，要求每位专家对每个参加复试考生的以上５个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为A,B,C,D四个等级，并将其填入面试表内。所有参加复试考生的初试成绩、各位专家对考生的５个方面专长的评分如表（１）～表（8）所示。
该系现有10名导师拟招收考生，分为四个研究方向。导师的研究方向、专业学术水平（发表论文数、论文检索数、编(译著作数、科研项目数），以及对考生的期望要求见表(9。在这里导师和考生的基本情况都是公开的。要解决的问题是：
(1 首先，请你综合考虑考生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门确定10名考生的录取名单。然后，要求被录取的10名考生与10名导师之间做双向选择，即考生可根据自己的专业发展意愿（依次申报２个专业志愿，如表(10所示）、导师的基本情况和导师对考生的期望要求来选择导师；导师根据考生所报专业志愿、专家组对考生专长的评价和自己对考生的期望要求等来选择考生。请你给出一种10名考生和导师之间的最佳双向选择方案（并不要求一名导师只带一名考生），使师生双方的满意度最大。
(2 根据上面已录取的10名考生的专业志愿，如果每一位导师只能带一名考生，请你给出一种10名导师与10名考生双向选择的最佳方案，使得师生双方尽量都满意。
(3 如果由十位导师根据初试的成绩及专家组的面试评价和他们自己对考生的要求条件录取考生，那么，10名考生的新录取方案是什么？为简化问题，假设没有申报专业志愿，请你给出这10名考生各申报一名导师的策略和导师各选择一名考生的策略。相互选中的即为确定；对于剩下的导师和考生，再按上述办法进行双向选择，直至确定出每一名导师带一名考生的方案，使师生都尽量满意。
(4 学校在确定考生导师的过程中，要充分考虑考生的申报志愿情况。为此，学校要求根据10名导师和15名考生的综合情况选择5名导师招收考生，再让这5名导师在15名考生中择优录取10名考生。请你给出一种导师和考生的选择（录取）方案，以及每一名导师带２名考生的双向选择最佳策略。
(5 请你设计一种更能体现“双向选择”的考生录取方案，提供给主管部门参考，并说
1
明你的方案的优越性。
模型的假设
1． 考生和导师都是诚实的，在按策略选定录取方案时不会撒谎。
2． 考生填报的志愿要尽量满足，专业不对口将大大降低考生和导师的满意度。
符号系统
T, S: S表示所有导师组成的集合，T表示所有考生组成的集合。 N，M：分别表示系统中考生和导师的个数，N=|S|，M=|T|。
Ai＝(Ai1，Ai2，Ai3，Ai4，Ai5：考生i的复试成绩中的5项指标的成绩的归一化值向量。 Bi：考生i的复试综合成绩的归一化值。
i：考生i的初试成绩的综合归一化值。
W[i,j]NM：考生对导师的满意度矩阵，i,j表示当考生i被导师j录取时，考生i的满意度。
W[i,j]NM：导师对考生满意度的矩阵。i,j表示当考生i被导师j录取时，导师j的满意度。
ai 