知识要点-两条直线的位置关系

第2讲 两条直线的位置关系

★知识梳理★

1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)

若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直.

已知直线word/media/image3_1.png,word/media/image4_1.png,

若word/media/image5_1.png,与word/media/image6_1.png相交,则word/media/image7_1.png ; 若word/media/image8_1.png,则word/media/image9_1.png ;

若word/media/image5_1.png//word/media/image10_1.png,则word/media/image11_1.png且word/media/image12_1.png; 若word/media/image5_1.png与word/media/image13_1.png重合,则word/media/image14_1.png且word/media/image15_1.png

2.几个公式

已知两点word/media/image16_1.png,则 word/media/image17_1.pngword/media/image18_1.png

设点word/media/image19_1.png，直线word/media/image20_1.png点word/media/image21_1.png到直线word/media/image22_1.png的距离为word/media/image23_1.pngword/media/image24_1.png

③设直线word/media/image25_1.pngword/media/image26_1.png

则word/media/image5_1.png与word/media/image13_1.png间的距离word/media/image27_1.pngword/media/image28_1.png

3.直线系

与直线word/media/image29_1.png平行的直线系方程为word/media/image30_1.png;

与直线word/media/image29_1.png垂直的直线系方程为word/media/image31_1.png;

③过两直线word/media/image32_1.png的交点的直线系方程为word/media/image33_1.png

★重难点突破★

重点:掌握两条直线的平行与垂直的充要条件；掌握两点之间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线之间的距离.

难点:判断两条直线位置关系时的分类讨论以及综合运用平行与垂直的充要条件、距离公式解题

重难点:综合运用平行与垂直的充要条件和三个距离公式,进行合理转化之后求直线方程

（1）在判断两条直线的位置关系时的分类讨论, 要防止因考虑不周造成的增解与漏解,关键是要树立检验的意识.

要考虑斜率存在与斜率不存在两种情形;

要考虑两条直线平行时不能重合;

问题1:已知直线word/media/image34_1.png，word/media/image35_1.png，m为何值时，word/media/image36_1.png与word/media/image37_1.png平行

点拨：当m=0时word/media/image38_1.pngword/media/image37_1.png，

当word/media/image39_1.png时，word/media/image36_1.png的斜率为word/media/image40_1.png，word/media/image37_1.png的斜率为word/media/image41_1.png

由word/media/image42_1.pngword/media/image43_1.png得word/media/image44_1.png或word/media/image45_1.png，word/media/image46_1.png时word/media/image36_1.png与word/media/image37_1.png重合，word/media/image47_1.png时word/media/image38_1.pngword/media/image37_1.png

（2）在分析题意,寻找解题思路时,要充分利用数形结合思想,将问题转化,化繁为简,有效降低运算量.

问题2:已知点P（2，1）求过P点与原点距离最大的直线word/media/image48_1.png的方程

点拨: 过P点与原点距离最大的直线word/media/image48_1.png为垂直于直线word/media/image49_1.png的直线,word/media/image50_1.png直线word/media/image48_1.png的斜率为-2, word/media/image51_1.png直线word/media/image48_1.png的方程为word/media/image52_1.png,即word/media/image53_1.png

（3）在使用点到直线的距离公式和两条直线的距离公式时,应先将直线方程化为一般式,使用两条直线的距离公式,还要使两直线方程中的word/media/image54_1.png的系数对应相等

问题2：求直线word/media/image55_1.png与word/media/image56_1.png的距离

点拨：将word/media/image36_1.png的方程化为word/media/image57_1.png，则两直线的距离为word/media/image58_1.png

(4)处理动直线过定点问题的常用的方法: ①将直线方程化为点斜式②化为过两条直线的交点的直线系方程③特殊入手,先求其中两条直线的交点,再验证动直线恒过交点④从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立。

问题3:求证:直线word/media/image59_1.png恒过某定点，并求该定点的坐标.

将直线方程化为word/media/image60_1.png

若直线过定点word/media/image61_1.png，则word/media/image62_1.png

上式对word/media/image63_1.png恒成立，word/media/image64_1.png，word/media/image65_1.png，word/media/image66_1.png该直线必过定点word/media/image67_1.png

★热点考点题型探析★

考点1:两直线的平行与垂直关系

题型: 判断两条直线平行与垂直

[例1 ] 已知直线word/media/image68_1.png ：3mx+8y+3m-10=0 和 word/media/image69_1.png： x+6my-4=0 问 m为何值时 （1）word/media/image68_1.png与word/media/image69_1.png相交（2）word/media/image68_1.png与word/media/image69_1.png平行（3）word/media/image68_1.png与word/media/image69_1.png垂直;

[解析]当word/media/image70_1.png时word/media/image71_1.png；word/media/image72_1.png ， word/media/image68_1.png与word/media/image69_1.png垂直

当word/media/image73_1.png时word/media/image74_1.png

由 word/media/image75_1.png，而word/media/image76_1.png无解

综上所述（1）word/media/image77_1.png时word/media/image68_1.png与word/media/image69_1.png相交（2）word/media/image78_1.pngword/media/image68_1.png与word/media/image69_1.png平行（3）word/media/image79_1.png时word/media/image68_1.png与word/media/image69_1.png垂直

【名师指引】判断两条直线的位置关系，一般要分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，平时要培养分类讨论的“意识”

[例2 ] 已知word/media/image80_1.png△word/media/image81_1.png三边的方程为：word/media/image82_1.png，word/media/image83_1.png，word/media/image84_1.png；

（1）判断三角形的形状；

（2）当word/media/image85_1.png边上的高为1时，求word/media/image86_1.png的值。

【解题思路】（1）三边所在直线的斜率是定值,三个内角的大小是定值,可从计算斜率入手;

(2)word/media/image85_1.png边上的高为1,即点word/media/image87_1.png到直线word/media/image85_1.png的距离为1，由此可得关于m的方程.

解析： （1）直线word/media/image88_1.png的斜率为word/media/image89_1.png，直线word/media/image90_1.png的斜率为word/media/image91_1.png，

所以word/media/image92_1.png，所以直线word/media/image93_1.png与word/media/image94_1.png互相垂直，

因此△word/media/image81_1.png为直角三角形

（2）解方程组word/media/image95_1.png，得word/media/image96_1.png，即word/media/image97_1.png

由点到直线的距离公式得 word/media/image98_1.png ，

当word/media/image99_1.png时，word/media/image100_1.png，即word/media/image101_1.png，解得word/media/image102_1.png或word/media/image103_1.png

【名师指引】（1）一般地，若两条直线的方向（斜率、倾斜角、方向向量）确定，则两条直线的夹角确定（2）在三角形中求直线方程，经常会结合三角形的高、角平分线、中线

【新题导练】

1.已知直线word/media/image104_1.png，直线word/media/image105_1.png，则“word/media/image106_1.png”是“直线word/media/image107_1.png”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[解析]B

2.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（ ）

word/media/image108_1.pngA．0 B．-8 C．2 D.10

[解析]设所求的直线word/media/image109_1.png，则那么m=-8，选 B

3. “m=word/media/image110_1.png”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的( )

A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

[解析]当m=word/media/image110_1.png或-2时，两条直线垂直，所以m=word/media/image110_1.png是两条直线垂直的充分不必要条件，选 B

[点评]还要考虑斜率不存在的情形

4. (山东省枣庄市2008届高三第一次调研考试)

已知直线l的倾斜角为word/media/image111_1.png，直线l1经过点word/media/image112_1.png垂直，直线l2：word/media/image113_1.png等于 （ ）

A．－4 B．－2 C．0 D．2

[解析] B [word/media/image114_1.png,又word/media/image115_1.png]

考点2 点到直线的距离

题型:利用两个距离公式解决有关问题

[例3 ] 已知直线word/media/image116_1.png及点word/media/image117_1.png

（1）证明直线word/media/image118_1.png过某定点，并求该定点的坐标

（2）当点word/media/image119_1.png到直线word/media/image118_1.png的距离最大时，求直线word/media/image118_1.png的方程

【解题思路】分离参数word/media/image120_1.png求定点坐标;寻找word/media/image119_1.png到直线word/media/image118_1.png的距离最大时，直线word/media/image118_1.png满足的条件

解析：（1）将直线word/media/image118_1.png的方程化为：word/media/image121_1.png，

word/media/image66_1.png无论word/media/image122_1.png如何变化，该直线系都恒过直线word/media/image123_1.png与直线word/media/image124_1.png的交点，

由word/media/image125_1.png得word/media/image126_1.png，word/media/image66_1.png直线word/media/image118_1.png过定点word/media/image127_1.png

（2）当word/media/image128_1.png时点word/media/image119_1.png到直线word/media/image118_1.png的距离最大，此时直线word/media/image118_1.png的斜率为-5，word/media/image66_1.png直线word/media/image118_1.png的方程为word/media/image129_1.png即word/media/image130_1.png

【名师指引】（1）斜率不定的动直线，都应考虑是否过定点

（2）处理解析几何的最值问题，一般方法有：函数法；几何法

[例4 ] 已知三条直线word/media/image131_1.png word/media/image132_1.png word/media/image133_1.png ，若word/media/image68_1.png与word/media/image69_1.png的距离是word/media/image134_1.png

（1）求a的值

（2）能否找到一点P使得P同时满足下列三个条件①P是第一象限的点；②P点到word/media/image68_1.png的距离是P点到word/media/image69_1.png的距离的word/media/image135_1.png③P点到word/media/image68_1.png的距离与P点到word/media/image136_1.png的距离的之比是word/media/image137_1.png；若能，求P点坐标；若不能，说明理由。

【解题思路】由三个条件可列三个方程或不等式，最终归结为混合组是否有解的问题

[解析]（1）word/media/image138_1.png

(2)设word/media/image139_1.png同时满足三个条件

由②得：设word/media/image139_1.png在word/media/image140_1.png上word/media/image141_1.png

则有word/media/image142_1.png------------（1）

由③得：word/media/image143_1.png

word/media/image144_1.png--------------（2）

由①得 word/media/image145_1.png ----------------（3）

解由（1）（2）（3）联立的混合组得 word/media/image146_1.png 所以word/media/image147_1.png

【名师指引】（1）在条件比较多时，思路要理顺；（2）解混合组时，一般是先解方程，再验证不等式成立

【新题导练】

6. 点word/media/image148_1.png到直线word/media/image149_1.png的距离的最小值等于

[解析]word/media/image150_1.png

7. 与直线word/media/image151_1.png的距离为word/media/image152_1.png的直线方程为

[解析] word/media/image153_1.png或word/media/image154_1.png

8. 两平行直线word/media/image68_1.png，word/media/image69_1.png分别过点P（-1，3），Q（2，-1）它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则之word/media/image68_1.png，word/media/image69_1.png间的距离的取值范围是（ ）

A．word/media/image155_1.png B.（0，5） C.word/media/image156_1.png D.word/media/image157_1.png

[解析]最大值为P，Q的距离，即5，选C

9.求过原点且与两定点word/media/image158_1.png距离相等的直线word/media/image159_1.png的方程

[解析] 直线word/media/image159_1.png过线段AB的中点或平行于直线AB，故方程为word/media/image160_1.png或word/media/image161_1.png

考点3 直线系

题型1:运用直线系求直线方程

[例5 ]求过直线word/media/image162_1.png和word/media/image163_1.png的交点，且与直线word/media/image164_1.png垂直的直线方程和平行的直线方程。

【解题思路】可直接求交点，也可用直线系求解

[解析]解法一.设与直线word/media/image164_1.png垂直的直线方程为word/media/image165_1.png

设与直线word/media/image164_1.png平行的直线方程为word/media/image166_1.png联立方程得word/media/image68_1.png与word/media/image69_1.png的交点（1，-1） 代入求得 m=-5，n=3

解法二.设与直线为word/media/image167_1.png 由条件分别求得word/media/image168_1.png和word/media/image169_1.png化简得word/media/image170_1.png和word/media/image171_1.png

【名师指引】（1）使用直线系方程可以回避解方程组，从而达到减少运算量的目的

（2）注意直线系word/media/image167_1.png不表示直线word/media/image163_1.png，这是一个容易丢解的地方

题型2:动直线过定点问题

[例6 ]已知圆word/media/image172_1.pngword/media/image173_1.pngword/media/image174_1.png，直线word/media/image175_1.pngword/media/image176_1.pngword/media/image177_1.pngword/media/image178_1.png

word/media/image179_1.png⑴证明不取何值，直线word/media/image48_1.png过定点 ⑵证明直线word/media/image48_1.png恒与圆C相交

[解析](1)直线化为：word/media/image180_1.png故直线是经过word/media/image181_1.png和word/media/image182_1.png交点（3，1）的直线系，故过定点（3，1）

（2）因为word/media/image183_1.png 所以（3,1）为圆内的点。故直线word/media/image48_1.png恒与圆C相交

【名师指引】在处理动直线过定点问题时，分离参数，转化为过两条定直线的交点的直线系是简单易行的方法

【新题导练】

10、方程word/media/image184_1.png所确定的直线必经过点

A．（2，2） B.（-2，2） C.（-6，2） D.（3，-6）

[解析]代入验证，选A

11.已知为m实数，直线word/media/image48_1.png：（2m+1）x+（1-m）y-（4m+5）=0， P（7，0），求点P到直线word/media/image48_1.png的距离d的取值范围。

[解析] 直线word/media/image48_1.png过定点word/media/image185_1.png，d的最大值为点P、Q的距离，因点P、Q的距离为word/media/image186_1.png，故d的取值范围是word/media/image187_1.png

12.直线word/media/image188_1.png经过直线word/media/image189_1.png的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线word/media/image188_1.png的方程

解析：设直线word/media/image188_1.png方程为word/media/image190_1.pngword/media/image191_1.png,

化简得:word/media/image192_1.png

word/media/image193_1.png直线word/media/image188_1.png与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，word/media/image194_1.png直线word/media/image188_1.png的斜率为word/media/image195_1.png

word/media/image196_1.png,解得:word/media/image197_1.png或word/media/image198_1.png

代入并化简得直线word/media/image188_1.png的方程为word/media/image199_1.png或word/media/image200_1.png

★抢分频道★

基础巩固训练

1、若过点word/media/image201_1.png和word/media/image202_1.png的直线与直线word/media/image203_1.png平行,则word/media/image204_1.png的值为

A．6 B．word/media/image205_1.png C．2 D．word/media/image206_1.png

[解析]word/media/image207_1.png，word/media/image208_1.png

2、已知三条直线word/media/image209_1.png和word/media/image210_1.png围成一个直角三角形，则word/media/image211_1.png的值是

A． word/media/image212_1.png或word/media/image213_1.png B．-1或word/media/image214_1.png C．0或-1或word/media/image215_1.png D．0或word/media/image212_1.png或word/media/image213_1.png

[解析] C[直线word/media/image209_1.png垂直时，word/media/image216_1.png，但word/media/image217_1.png时后两条直线重合，又word/media/image218_1.png时后两条直线垂直，故选C]

3、若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）

A．[，) B．(，) C．(，) D．[，)

[解析]B．[直线2x＋3y－6＝0与x轴、y轴交于（0，2）、（3，0）将两点坐标代入可得答案]

4、点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（ ）

A. [0，5] B. [0，10] C. [5，10] D. [5，15]

解：B. 由word/media/image223_1.png得word/media/image224_1.png，word/media/image225_1.png点P到坐标原点距离的取值范围是[0，10]

5、设word/media/image226_1.png ,word/media/image227_1.png,若word/media/image228_1.png仅有两个元素,则实数word/media/image229_1.png的取值范围是

[解析]word/media/image230_1.png, 数形结合，注意到直线word/media/image231_1.png的斜率为1，当word/media/image232_1.png时直线word/media/image231_1.png与word/media/image233_1.png不可能有两个交点

6、求经过直线word/media/image234_1.png和word/media/image235_1.png的交点，且与原点距离为word/media/image236_1.png的直线方程

[解析]解方程组word/media/image237_1.png得交点坐标为（-1，-1），

设直线方程为word/media/image238_1.png即word/media/image239_1.png

word/media/image240_1.png，解得word/media/image241_1.png

word/media/image242_1.png所求直线方程为word/media/image243_1.png

综合提高训练

7、已知直线word/media/image244_1.png与word/media/image245_1.png轴word/media/image246_1.png轴正半轴所围成的四边形有外接圆，则word/media/image247_1.png ，word/media/image248_1.png的取值范围是

[解析]由题意知word/media/image249_1.png

直线word/media/image250_1.png与坐标轴交于点word/media/image251_1.png和word/media/image252_1.png，word/media/image253_1.png直线word/media/image250_1.png与线段word/media/image254_1.png（不含端点）相交，

画图易得word/media/image248_1.png的取值范围是word/media/image255_1.png

8、已知两直线word/media/image256_1.png,求分别满足下列条件的word/media/image257_1.png、word/media/image258_1.png的值．

（1）直线word/media/image259_1.png过点word/media/image260_1.png，并且直线word/media/image259_1.png与直线word/media/image261_1.png垂直；

（2）直线word/media/image259_1.png与直线word/media/image261_1.png平行，并且坐标原点到word/media/image259_1.png、word/media/image261_1.png的距离相等．

[解析]解：（1）word/media/image262_1.png

即word/media/image263_1.png ①

又点word/media/image260_1.png在word/media/image259_1.png上， word/media/image264_1.png ②

由①②解得： word/media/image265_1.png

（2）word/media/image266_1.png∥word/media/image267_1.png且word/media/image267_1.png的斜率为word/media/image268_1.png. ∴word/media/image259_1.png的斜率也存在，即word/media/image269_1.png，word/media/image270_1.png.

故word/media/image259_1.png和word/media/image261_1.png的方程可分别表示为：word/media/image271_1.pngword/media/image272_1.png

∵原点到word/media/image259_1.png和word/media/image261_1.png的距离相等. ∴word/media/image273_1.png，解得：word/media/image274_1.png或word/media/image275_1.png.

因此word/media/image276_1.png或word/media/image277_1.png.

9、（华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试（三））如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|=3米，|AD|=2米.

（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AM的长应在什么范围内？

（Ⅱ）当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.

以AM、AN分别为x、y轴建立直角坐标系，

[解析]

（Ⅰ）以A为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，则word/media/image279_1.png

由C在直线MN上得 word/media/image280_1.png

∴word/media/image281_1.png

word/media/image282_1.png

∴AM的长取值范围是（3，4）word/media/image283_1.png

（Ⅱ）由（Ⅰ）知word/media/image284_1.pngword/media/image285_1.png，即word/media/image286_1.png

当且仅当word/media/image287_1.png即word/media/image288_1.png时取等号

所以word/media/image288_1.png时，矩形AMPN的面积取得最小值24

10.已知点A（1,4），B（6,2），试问在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由。

[解析]AB=word/media/image289_1.png，直线AB的方程为word/media/image290_1.png，即word/media/image291_1.png，假设在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得三角形ABC的面积等于14，设C的坐标为word/media/image292_1.png，则一方面有m-3n+3=0①，另一方面点C到直线AB的距离为word/media/image293_1.png，由于三角形ABC的面积等于14，则word/media/image294_1.png，word/media/image295_1.png，即word/media/image296_1.png②或word/media/image297_1.png③.联立①②解得word/media/image298_1.png，word/media/image299_1.png；联立①③解得word/media/image300_1.png，word/media/image301_1.png.综上，在直线x-3y+3=0上存在点Cword/media/image302_1.png或word/media/image303_1.png，使得三角形ABC的面积等于14.

参考例题：

1. 将一块直角三角板word/media/image305_1.png（word/media/image306_1.png角）置于直角坐标系中，已知word/media/image307_1.png，点word/media/image308_1.png是三角板内一点，现因三角板中部分受损坏（word/media/image309_1.png），要把损坏的部分锯掉，可用经过word/media/image310_1.png的任意一直线word/media/image311_1.png将其锯成word/media/image312_1.png，问如何确定直线word/media/image311_1.png的斜率，才能使锯成的word/media/image312_1.png的面积最大？

分析：用点斜式设出直线word/media/image311_1.png的方程，直线word/media/image311_1.png与直线word/media/image313_1.png

的交点可求出，word/media/image312_1.png的面积线段word/media/image314_1.png的长度和点word/media/image315_1.png到

直线word/media/image316_1.png的距离来表示

解析：由图知word/media/image317_1.png，word/media/image318_1.png

设直线word/media/image311_1.png的斜率为word/media/image319_1.png，直线word/media/image311_1.png与word/media/image309_1.png不能相交，所以word/media/image320_1.png

直线word/media/image311_1.png的方程为word/media/image321_1.png，

令word/media/image322_1.png得word/media/image323_1.png

令word/media/image324_1.png得word/media/image325_1.png

word/media/image326_1.png,点word/media/image315_1.png到直线word/media/image316_1.png的距离为word/media/image327_1.png

word/media/image328_1.pngword/media/image329_1.pngword/media/image330_1.pngword/media/image331_1.png

而函数word/media/image332_1.png在word/media/image333_1.png上是增函数，

故当word/media/image334_1.pngword/media/image335_1.png取得最大值word/media/image336_1.png

2.已知点word/media/image337_1.png，在直线word/media/image338_1.png上求一点P，使word/media/image339_1.png最小.

解：由题意知，点A、B在直线word/media/image340_1.png的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点word/media/image341_1.png关于直线word/media/image340_1.png的对称点word/media/image342_1.png，然后连结word/media/image343_1.png，则直线word/media/image344_1.png与word/media/image340_1.png的交点P为所求.事实上，设点word/media/image345_1.png是word/media/image340_1.png上异于P的点，则word/media/image346_1.png.

设word/media/image347_1.png，则word/media/image348_1.png，解得word/media/image349_1.png，∴word/media/image350_1.png，∴直线word/media/image344_1.png的方程为word/media/image351_1.png.由word/media/image352_1.png，解得word/media/image353_1.png，∴word/media/image354_1.png.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/66529159effdc8d376eeaeaad1f34693daef10b5.html