概率论与数理统计习题测验解答（第二版）李书刚编科学出版社

第一章 随机事件及其概率

1. 写出下列随机试验的样本空间：

（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；

（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；

（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；

（4）测量一汽车通过给定点的速度.

解 所求的样本空间如下

（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}

（2）S= {(x, y)| x2+y2<1}

（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10}

（4）S= {v |v>0}

2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：

（1）A发生，B和C不发生；

（2）A与B都发生，而C不发生；

（3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生；

（5）A、B、C不都发生；

（6）A、B、C至少有一个发生；

（7）A、B、C不多于一个发生；

（8）A、B、C至少有两个发生.

解 所求的事件表示如下

3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则

（1）事件AB 表示什么？

（2）在什么条件下ABC=C成立？

（3）在什么条件下关系式是正确的？

（4）在什么条件下成立？

解 所求的事件表示如下

（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员.

（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立.

（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式是正确的.

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，成立.

4．设P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，试求

解 由于 A-B = A – AB, P(A)=0.7 所以

P(A-B) = P(A-AB) = P(A)-P(AB) = 0.3,

所以 P(AB)=0.4, 故 = 1-0.4 = 0.6.

5. 对事件A、B和C，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝ ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 求A、B、C中至少有一个发生的概率.

解 由于故P(ABC) = 0

则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –p(bc) –p(ac)+p(abc)

6. 设盒中有α只红球和b只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：

A＝{两球颜色相同}，

B＝{两球颜色不同}.

解 由题意，基本事件总数为，有利于A的事件数为，有利于B的事件数为,

则

7. 若10件产品中有件正品，3件次品,

（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；

（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.

解 （1）设A={取得三件次品} 则

.

（2）设B={取到三个次品}, 则

.

8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：

（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；

（2）此人只会讲法语的概率.

解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语}

根据题意, 可得

(1)

(2)

9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：

（1） 取到的都是白子的概率；

（2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率；

（3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；

（4） 取到三颗棋子颜色相同的概率.

解

(1) 设A={取到的都是白子} 则

.

(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}

.

(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子}

.

(4) 设D={取到三颗子颜色相同}

.

10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？

（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？

解

(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则

(2)设所求的概率为P(B)

11. 将C，C，E，E，I，N，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的概率p.

解 由于两个C，两个E共有种排法，而基本事件总数为，因此有

12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率.

解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有中取法. 设A={4只手套都不配对}，则有

13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i只零件是不合格的概率为 ，i=1，2，3，若以x表示零件中合格品的个数，则P(x=2)为多少？

解 设Ai = {第i个零件不合格}，i=1,2,3, 则

所以

由于零件制造相互独立，有：

，

14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.

解 设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，Bi ={第i次击中目标}, i=1,2.

则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式

另外, 由于两次射击是独立的, 故

P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36

由加法公式

P((B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)－P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84

因此

P(B)= P(A)P((B1+B2)|A)=0.7×0.84 = 0.588

15. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.

解 设Ai ={一批产品中有i件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品},

C={产品中次品不超两件}, 由题意

由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式

由Bayes公式

故

16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.

解 设B={三件都是好的}，A1={损坏2%}, A2={损坏10%}, A1={损坏90%}，则A1, A2, A3是两两互斥, 且A1+ A2 +A3=Ω, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05.

因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13,

由全概率公式

由Bayes公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为

由于P( A1|B) 远大于P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.

17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：

（1）一次通过验收的概率α；

（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β.

解 设Hi={箱中实际有的次品数}, , A={通过验收}

则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：

(1)由全概率公式

(2)由Bayes公式 得

18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？

（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？

解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故

(1)

(2)

第二章 随机变量及其分布

1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X的分律.

解 X的分布率如下表所示：

2. 进行某种试验，设试验成功的概率为，失败的概率为，以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.

解 X的分布律为：

X取偶数的概率：

3. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数.求：

X＝max ()的分布律及P(X≤4)；

Y＝min ()的分布律及P(Y>3).

解 基本事件总数为：，

(1)X的分布律为：

P(X≤4)=P(3)+P(4)=0.4

(2)Y的分布律为

P(X>3) =0

4. C应取何值，函数f(k) =，k＝1，2，…，λ>0成为分布律？

解 由题意, , 即

解得：

5. 已知X的分布律

X －1 1 2

P

求：（1）X的分布函数；（2）；（3）.

解 (1) X的分布函数为

;

(2)

(3)

6. 设某运动员投篮投中的概率为P＝0.6，求一次投篮时投中次数X的分布函数，并作出其图形.

解 X的分布函数

7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p，求：

（1）三次射击中恰好命中两次的概率；

（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？

解 设A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则

(1) P(A) =

(2) P(B) =

8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：

（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；

（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率.

解

(1) P(X=6) =或者

P(X=6) = = 0.21487 – 0.11067 = 0.1042.

(2) P(X≤10) = 0.99716

9. 设随机变量X服从泊松分布，且P(X＝1)＝P(X＝2)，求P(X＝4)

解 由已知可得，

解得λ=2， (λ=0不合题意)

= 0.09

10. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率.

解 设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即X~B(1000, 0.003), 由于n比较大，p比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此

(1) P(X=2)

(2)

(3)

(4)

11. 设连续型随机变量X的分布函数为



求：（1）系数k；（2）P(0.25；（3）X的密度函数；（4）四次独立试验中有三次恰好在区间(0.25，0.75)内取值的概率.

解 (1) 由于当0≤x≤1时，有

F(x)=P(X≤x)=P(X<0)+P(0≤X≤x)=kx2

又F(1) =1, 所以k×12=1

因此k=1.

(2) P(0.25-F(0.25) = 0.752-0.252=0.5

(3) X的密度函数为

(4) 由(2)知，P(0.25， 故

P{四次独立试验中有三次在(0.25, 0.75)内} = .

12. 设连续型随机变量X的密度函数为

求：（1）系数k；（2）；（3）X的分布函数.

解 (1)由题意， , 因此

(2)

(3) X的分布函数

13. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z表示每天的耗电率(即用电量除以100万千瓦时)，它具有分布密度为

若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的？

解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：

P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=

如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：

P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=

14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分布，分布密度为

试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率.

解 设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布，设A={X≤200}，则

P(A)=

设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量}，则所求的概率为：

15. 设X为正态随机变量，且X～N(2，)，又P(2，求P(X<0)

解 由题意知

即

故

16. 设随机变量X服从正态分布N(10，4)，求a，使P(|X－10|<a) = 0.9.

解 由于

所以

查表可得， =1.65

即 a = 3.3

17. 设某台机器生产的螺栓的长度X服从正态分布N(10.05，0.062)，规定X在范围(10.05±0.12)厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率.

解 由题意，设P为合格的概率，则

则不合格的概率=1-P = 0.0456

18. 设随机变量X服从正态分布N(60，9)，求分点x1，x2，使X分别落在(－∞，x1)、(x1，x2)、(x2，+∞)的概率之比为3:4:5.

解 由题，

查表可得

解得, x1 = 57.99

查表可得

解得, x2 =60.63.

19. 已知测量误差X（米）服从正态分布N(7.5, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.98？

解 设一次测量的误差不超过10米的概率为p, 则由题可知

设 Y为n次独立重复测量误差不超过10米出现的次数，则Y~B(n, 0.5586)

于是 P(Y≥1)=1-P(X=0)=1-(1-0.5586)n≥0.98

0.4414n≤0.02, n≥ln(0.02)/ln(0.4414)

解得：n≥4.784

取n=5, 即，需要进行5次测量.

20. 设随机变量X的分布列为

X －2 0 2 3

P

试求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列.

解 (1) 2X的分布列如下

(2) x2的分布列

21. 设X服从N(0，1)分布，求Y＝｜X｜的密度函数.

解 y=|x|的反函数为 , 从而可得Y=|X|的密度函数为：

当y>0时，

当y≤0时，0

因此有

22. 若随机变量X的密度函数为

求Y＝的分布函数和密度函数.

解 y= 在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)= , y>1, h’(y)=

因此有

Y的分布函数为：

23. 设随机变量X的密度函数为

试求Y＝lnX的密度函数.

解 由于严格单调，其反函数为, 则

24. 设随机变量X服从N(μ,)分布，求Y＝的分布密度.

解 由于严格单调，其反函数为y>0, 则

0' altImg='d585d84163e1883388475f49d779ba41.png' w='367' h='99' class='_9'>

当时

因此

25. 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y＝在区间(0, 1)上服从均匀分布.

解 由于在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为：

并且，则当

当y≤0或y≥1时，=0.

因此Y在区间(0, 1)上服从均匀分布.

26. 把一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中正面出现的次数，Y表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布.

解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y的取值及概率分别为

P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1)=

P(X=1, Y=1)= P(X=0, Y=3)=

于是，（X，Y）的联合分布表如下：

27. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用X表示其中一级品件数，Y表示其中二级品件数，求：

（1）X与Y的联合概率分布；

（2）X、Y的边缘概率分布；

（3）X与Y相互独立吗？

解 根据题意，X只能取0，1，2，Y可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：

(1) 其中,

,可以计算出联合分布表如下

(2) X,Y的边缘分布如上表

(3) 由于P(X=0,Y=0)=0, 而P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y不相互独立.

28. 袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数分别为X和Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及概率P(X＋Y>6)

解 (1) X,Y可取的值都为2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分布为：

(2)　P(X+Y>6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)

=1/6+1/6+1/6=1/2.

29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为

,

求：（1）系数A、B及C； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X，Y的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机变量X与Y是否独立？

解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组：

解得：

(2)

(3) X与Y的边缘分布函数为：

X与Y的边缘概率密度为：

(4) 由(2),(3)可知：, 所以X，Y相互独立.

30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为

（1）求分布函数F(x, y)；

（2）求(X，Y)落在由x＝0，y＝0，x＋y＝1所围成的三角形区域G内的概率.

解 (1) 当x>0, y>0时，

否则，F(x, y) = 0.

(2) 由题意，所求的概率为

31. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为

求：（1）常数A；（2）X，Y的边缘概率密度；（3）.

解 (1) 由联合概率密度的性质，可得

解得 A=12.

(2) X, Y的边缘概率密度分别为：

(3)

32. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为

求 P(X＋Y≥1).

解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G中, 则

33. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度.

解 由于(X, Y)服从均匀分布，则G的面积A为：

,

(X, Y)的联合概率密度为：

.

X,Y的边缘概率密度为：

34. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0, 0.2)上服从均匀分布，Y的概率密度是

求：（1）X和Y和联合概率密度； （2）P(Y≤X).

解 由于X在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以

(1) 由于X，Y相互独立，因此X, Y的联合密度函数为：

(2) 由题意，所求的概率是由直线x=0, x=0.2, y=0, y=x所围的区域，

如右图所示， 因此

35. 设（X，Y）的联合概率密度为

求X与Y中至少有一个小于的概率.

解 所求的概率为

36. 设随机变量X与Y相互独立，且

X －1 1 3 Y －3 1

P P

求二维随机变量（X，Y）的联合分布律.

解 由独立性，计算如下表

37. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为

X 1 2 3

Y

1

2 a b c

（1）求常数a，b，c应满足的条件；

（2）设随机变量X与Y相互独立，求常数a，b，c.

解 由联合分布律的性质，有：

, 即 a + b + c =

又，X, Y相互独立，可得

从而可以得到：

38. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

求边缘分布函数与，并判断随机变量X与Y是否相互独立.

解 由题意, 边缘分布函数

下面计算FY(y)

可以看出，F(x,y)= Fx(x) FY(y), 因此，X，Y相互独立.

39. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

求边缘概率密度与，并判断随机变量X与Y是否相互独立.

解 先计算, 当x<1时,

当x≥1时,

再计算, 当y<1时,

当y≥1时,

可见, , 所以随机变量X, Y相互独立

40. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

求边缘概率密度与，并判断随机变量X与Y是否相互独立.

解 先计算, 当x<0或者x>1时,

当1≥x≥0时,

再计算, 当y<0或者y>1时,

当1≥y≥0时,

由于, 所以随机变量X,Y不独立

41. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

求随机变量Z＝X－2Y的分布密度.

解 先求Z的分布函数F(z)

当z<0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x-2y≤z}

求得

当z≥0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x-2y≤z}，

由此, 随机变量Z的分布函数为

因此, 得Z的密度函数为：

42. 设随机变量X和Y独立，X～，Y服从［－b，b］(b>0)上的均匀分布，求随机变量Z＝X＋Y的分布密度.

解 解法一 由题意，

令则

解法二

43. 设X服从参数为的指数分布，Y服从参数为的指数分布，且X与Y独立，求Z＝X＋Y的密度函数.

解 由题设，X~, Y~

并且，X，Y相互独立，则

由于仅在x>0时有非零值，仅当z-x>0，即z>x时有非零值，所以当z<0时，=0, 因此=0.

当z>0时，有0>z>x, 因此

44. 设（X，Y）的联合分布律为

X 0 1 2 3

Y

0 0 0.05 0.08 0.12

1 0.01 0.09 0.12 0.15

2 0.02 0.11 0.13 0.12

求：（1）Z＝X＋Y的分布律；（2）U＝max（X，Y）的分布律；（3）V＝min（X，Y）的分布律.

解 (1) X+Y的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有

P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0

P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06

P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19

P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35

P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28

P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12

Z=X+Y的分布如下

同理，U=max(X,Y)的分布如下 U∈{0,1,2,3}

同理，V=min(X,Y)的分布分别如下 V∈{0,1,2}

第三章 随机变量的数字特征

1. 随机变量X的分布列为

X －1 0 1 2

P

求E(X)，E(－X＋1)，E(X2)

解

或者

2. 一批零件中有9件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望.

解 设取得合格品之前已经取出的废品数为X, X的取值为0, 1, 2, 3, Ak表示取出废品数为k的事件， 则有：

3. 已知离散型随机变量X的可能取值为－1、0、1，E(X)＝0.1，E(X2)＝0.9，求P(X=-1)，P(X＝0)，P(X＝1).

解 根据题意得：

可以解得 P(X=-1)=0.4, P(X=1)=0.5,

P(X=0) = 1- P(X=-1)- P(X=1) = 1-0.4-0.5=0.1

4. 设随机变量X的密度函数为

求E(X).

解 由题意, ,

5. 设随机变量X的密度函数为

求E(2X)，E().

解

6. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间［a，b］上，求球的体积的数学期望.

解 由题意，球的直接D~U(a,b), 球的体积V=

因此，

7. 设随机变量X，Y的密度函数分别为

求E(X＋Y)，E(2X－3Y2).

解

8. 设随机函数X和Y相互独立，其密度函数为

求E(XY).

解 由于XY相互独立, 因此有

9. 设随机函数X的密度为

求E(X), D(X).

解

10. 设随机函数X服从瑞利(Rayleigh)分布, 其密度函数为

其中σ>0是常数，求E(X)，D(X).

解

11. 抛掷12颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差.

解 掷1颗骰子，点数的期望和方差分别为：

E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2

E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6

因此 D(X) = E(X2)-(E(X)) 2 = 35/12

掷12颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有：

E(X1+X2+…+X12)=12E(X) = 42

D(X1+X2+…+X12) =D(X1)+D(X2)+…+D(X12)=12D(X)=35

12. 将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X), D(X).

解 （1）直接求X的分布律有些困难，我们引进新的随机变量Xk

, 则有：

，Xk服0-1分布

因此：

（2）服从0-1分布，则有

故，E(X)=D(X)=1.

我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可以认定，X服从参数为1的泊松分布.

13. 在长为l的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及方差.

解 设所取的两点为X,Y, 则X,Y为独立同分布的随机变量, 其密度函数为

依题意有

D(X-Y) = E((X-Y)2)-(E(X-Y))2 =

14. 设随机变量X服从均匀分布，其密度函数为

求E(2X2)，D(2X2).

解

15. 设随机变量X的方差为2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率

的值.

解 由切比雪夫不等式, 取, 得

.

16. 在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，如果作100次独立试验，设事件A发生的次数为X，试利用切比雪夫不等式估计X在40到60之间取值的概率

解 由题意，X~B(100，0.5), 则E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25

根据切比雪夫不等式, 有

.

17. 设连续型随机变量X的一切可能值在区间［a，b］内，其密度函数为，证明：

（1）a≤E(X)≤b；

（2）.

解 (1) 由题意，a≤X≤b, 那么

则

由于

所以

(2) 解法(一)

即 ,

又

解法(二), 由于

18. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为

X 0 1

Y

1 0.1 0.2

2 0.2 0.4

求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)，及协方差矩阵.

解 由题设，

E(XY) = 0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.3+1×1×0.4 = 0.4

cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y) = 0.4-0.6×0.7 = -0.02

协方差矩阵为

19. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为

X

－1 0 1

Y

－1

0 0

1

试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.

解 由于

因此, 即X和Y是不相关的.

但由于,

因此X,Y不是相互独立的.

20. 设二维随机变量（X，Y）的密度函数为

求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)，及协方差矩阵.

解

又

同理可得 ,

协方差矩阵为

21. 已知随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)＝E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y)＝12，求(X, Y)的密度函数.

解 由题意,

则密度函数为

22. 设随机变量X和Y相互独立，且E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝D(Y)＝1，试求E((X＋Y)2).

解

由于

因此有

23. 设随机变量X和Y的方差分别为25，36，相关系数为0.4，试求D(X＋Y)，D(X－Y).

解 由题意，

D(X+Y)=2(cov(X,Y))+D(X)+D(Y) = 24+25+36=85

因为 cov(X, -Y) = -cov(X,Y) = -12

因此

D(X-Y) = 2(cov(X,-Y))+D(X)+D(-Y) = -24 + 25 + 36 = 37.

24. 设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0, σ2)，令U＝aX＋bY，V＝aX-bY，试求U和V的相关系数.

解 由于X，Y相互独立，则都服从N(0, σ2)

第四章 大数定律与中心极限定理

1. 设Xi，i＝1，2，…，50是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为λ＝0.02的泊松分布. 记X＝X1＋X2＋…+X50，试利用中心限定理计算P(X≥2).

解 由题意，E(Xi) = D(Xi) = λ=0.02，

由中心极限定理:随机变量近似服从标准正态分布

所以有:



2. 某计算机系统有100个终端，每个终端有2％的时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试分别用二项分布、泊松分布、中心极限定理，计算至少一个终端被使用的概率.

解 设X为被使用的终端数, 由题意, X~B(100, 0.02)

(1) 用二项分布计算

(2) 用泊松分布近似计算

因为 λ=np = 100×0.02 = 2, 查表得

0.1353 = 0.8647.

(3) 中心极限定近似计算

3. 一个部件包括10个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为2mm，均方差不0.05mm，规定部件总长度为20±0.1mm时为合格品，求该部件为合格产品的概率.

解 设Xi表示一部分的长度, i=1, 2, …, 10. 由于X1, X2, …, X10相互独立, 且E(Xi) =2, D(Xi)=0.052, 根据独立同分布中心极限定理，随机变量

近似地服从标准正态分布. 于是

4. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布.

(1) 若将1500个数相加，试求误差总和的绝对值超过15的概率；

(2) 多少个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率.

解 设Xi表示一个加数的误差，则Xi~U(-0.5, 0.5), E(Xi) =0, D(Xi)=1/12

(1) 根据独立同分布中心极限定理，随机变量

近似地服从标准正态分布. 于是

因此所求的概率为：

1-P(-15

(2) 由题意，设有n个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.90,X = nXi. 由独立同分布的中心极限定理，随机变量近似地服从标准正态分布. 则

= 0.90

查表得 =1.645,

解得：n=443

即443个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率

5. 为了确定事件A的概率，进行了一系列试验. 在100次试验中，事件A发生了36次，如果取频率0.36作为事件A的概率p的近似值，求误差小于0.05的概率.

解 (删除)

6. 一个复杂系统由10000个相互独立的部件组成，在系统运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少有89％的部件工作.

（1） 求系统的可靠度（系统正常运行的概率）；

（2） 上述系统由n个相互独立的部件组成，而且要求至少有87％的部件工作，才能使系统正常运行，问n至少为多在时，才能保证系统的可靠度达到97.72％？

解 设X表示正常工作的部件数，X~B(10000, 0.9),

(1) 所求的概率为, 由于n比较大，可以使用中心极限定理，由于，近似地有，X~N(9000, 900), 则

(2) 根据题意, 设X为正常工作的部件数，则

根据中心极限定理, 近似地有X~N(0.9n, 0.09n)

查表得 , n=400,

即, n至少为400时, 才能保证系统的可靠度达到97.72%.

7. 某单位有200台电话分机，每台分机有5％的时间要使用外线通话，假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线才能以90％以上的概率保证分机使用外线时不等待？

解 设X为某时刻需要使用外线的户数（分机数），显然X~(200, 0.05)，

E(X) = np = 10, D(X) = np(n-p) = 9.5.

设k是为要设置的外线的条数，要保证每个要使用外线的用户能够使用上外线，必须有k≥X. 根据题意应有：

这里n=200，较大，可使用中心极限定理，近似地有X~N(10, 9.5)：

经过查表，， 取k = 14

即至少14条外线时，才能保证要使用外线的用户都能使用外线的概率大于95%.

8. 设μn为n重伯努利试验中成功的次数，p为每次成功的概率，当n充分大时，试用棣莫弗－拉普拉斯定律证明

.

式中，p＋q＝1；是标准正态分布的分布函数.

证明 由题意，, , 当n很大时，近似服从正态分布，即, 或者使用标准化的随机变量：,

因此，由棣莫弗-拉普拉斯定理，有

=

9. 现有一大批种子，其中良种占，今在其中任选4000粒，试问在这些种子中，良种所占比例与之差小于1％的概率是多少？

解 设X为4000粒种子中良种粒数，则所求的概率为：

因为，X ~ B(4000, 0.25), 由棣莫弗-拉普拉斯定理，有

10. 一批种子中良种占，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？

解 设X为6000粒种子中良种粒数，设所求的差异为p, 则所求的概率为：

因为，X ~ B(6000, 1/6), E(X) = np = 1000, D(X) = np(1-p)= 2500/3, 由棣莫弗-拉普拉斯定理，有

因此

查表可得

解得

由于 所以, 良种的粒数大约落在区间(926, 1074)之间.

第五章 数理统计的基本概念

1. 在总体N(52，632)中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.

解 由题意，由定理1 (1),



2. 在总体N(80，202)中随机抽取一容量为100的样本，求样本均值与总体均值的绝对值大于3的概率是多少？

解 这里总体均值为μ=80, σ=20, n=100, 由定理1(1)

由题意得：

3. 求总体N(20，3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率.

解 由定理2(1),

由题意，所求的概率为

4. 设总体X的容量为10的样本观测值为4.5，2.0，0，1.0，1.5，3.4，4.5，6.5，5.0，0，3.5，4.0. 试分别计算样本均值与样本方差S2的值.

解

5. 样本均值与样本方差的简化计算如下：设样本值x1，x2，…，xn的平均值为和样本方差为，作变换，得到，它的平均值为，方差为，试证：，.

证明 ,

6. 对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的样本值为

1936，1697，3030，2424，2020，2909，1815，2020，2310．

采用下面简化计算法计算样本均值和样本方差. 即先作变换，再计算与，然后利用第5题中的公式获得和的数值.

解 做变换后，得到的样本值为：-61，-303，1030，424，20，-91，-185，20，310

7. 某地抽样调查了1995年6月30个工人月工资的数据，试画出它们的直方图，然后利用组中间值给出经验分布函数.

440 444 556 430 380 420 500 430 420 384

420 404 424 340 424 412 388 472 360 476

376 396 428 444 366 436 364 440 330 426

解 最小值,最大值, 故(a, b]可取为(329, 559], 将(a, b]分为长度为23的10个区间, 列出频数与频率表如下：

合计： 30 1

由于第6组与第9组频数为0，可将其与下一组合并。合并数据为8组，结果如下表：

根据表上数据作出直方图，如下图所示：

再用组中值的频率分布