2020高考数学一轮复习第3章热点探究课2三角函数与解三角形中的高考热点问题教师用书7

热点探究课(二)　三角函数与解三角形中的高考热点问题

[命题解读]　从近五年浙江卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．

热点1　三角函数的图象与性质(答题模板)

要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．

word/media/image1.gif　(本小题满分14分)已知函数f(x)＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngsinca2f9207fe0aefb414f1ab72f3418cc1.png·cosca2f9207fe0aefb414f1ab72f3418cc1.png－sin(x＋π)．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若将f(x)的图象向右平移b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值. 【导学号：51062131】

[思路点拨]　(1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f(x)化为正弦型函数，然后求其周期．

(2)先利用平移变换求出g(x)的解析式，再求其在给定区间上的最值．

[规范解答]　(1)f(x)＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngsinca2f9207fe0aefb414f1ab72f3418cc1.png·cosca2f9207fe0aefb414f1ab72f3418cc1.png－sin(x＋π)3分

＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngcos x＋sin x＝2sin5e8b68df6a2121919a3d1fa3c4c32242.png，5分

于是T＝45c98218e99ca4e2bfd75875d727f6b6.png＝2π.6分

(2)由已知得g(x)＝fae712b10a646fdedd15c7450dd092fba.png＝2sin1948fe352ccf0cbd5dbcffadb734aea8.png.8分

∵x∈[0，π]，∴x＋b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png∈280f0fd43cfedf72002610ef996d53f7.png，

∴sin1948fe352ccf0cbd5dbcffadb734aea8.png∈4f0b4ceafebc38a76f3ce715f17e5de0.png，10分

∴g(x)＝2sin1948fe352ccf0cbd5dbcffadb734aea8.png∈[－1,2].13分

故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.14分

[答题模板]　解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为：

第一步(化简)：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式．

第二步(用辅助角公式)：构造f(x)＝8e3f008d2c208953892f5550faaf99ab.png·564305a71b82f681c45a1ea88aa9d15c.png.

第三步(求性质)：利用f(x)＝8e3f008d2c208953892f5550faaf99ab.pngsin(x＋φ)研究三角函数的性质．

第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．

[温馨提示]　1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式asin α＋bcos α＝8e3f008d2c208953892f5550faaf99ab.png sin (α＋φ)4712b3d6599bba232eeff105192805f7.png，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.

2．求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．

[对点训练1]　(2017·石家庄模拟)已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A，B，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png时，f(x)max＝2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)在闭区间53111ae5484c55987f4dd9c9a2e05b84.png上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．

[解]　(1)因为f(x)＝d6c67ddd30b5241f1c15e95df675d6aa.pngsin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知3a0e0b4365a970a6cf10b135e8b247f0.png＝2，ω＝π.2分

又因为当x＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png时，f(x)max＝2，知6845c991f6b551af3c2dc80469cd280e.pngπ＋φ＝2kπ＋cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png(k∈Z)，φ＝2kπ＋b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png(k∈Z)，4分

所以f(x)＝2sin8fc9213d5915d6b174a64384a1a3afa0.png＝2sin163a2ede3fee98bed1faf7730269f1ac.png(k∈Z)．

故f(x)的解析式为f(x)＝2sin163a2ede3fee98bed1faf7730269f1ac.png.6分

(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png＝kπ＋cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png(k∈Z)，解得x＝k＋7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png(k∈Z).9分

由14e8696940f8508f400b746091b5f430.png≤k＋7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png≤d7b4ea951afe0dacb162f33d8eeb595c.png，解得55cbdc991e36a97f5f406ba7cd63994d.png≤k≤961cfe3c476ed2cf34be93539b26d6ed.png，11分

又k∈Z，知k＝5，13分

由此可知在闭区间53111ae5484c55987f4dd9c9a2e05b84.png上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝3235a618ff9c26464735f8c023458a61.png.14分

热点2　解三角形

从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．

word/media/image1.gif　△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

(1)求af5575be5da2c7812b42ca431ffdf2e2.png；

(2)若AD＝1，DC＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png，求BD和AC的长．

[解]　(1)S△ABD＝fbec2606359bbf700bc78536aa8d00f4.pngAB·ADsin∠BAD，

S△ADC＝fbec2606359bbf700bc78536aa8d00f4.pngAC·ADsin∠CAD.2分

因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.

由正弦定理，得af5575be5da2c7812b42ca431ffdf2e2.png＝bee5e06d61bca23f58f564faea15680a.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.6分

(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝b4116f43c515fa18db372c0ff111db43.png.8分

在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.12分

故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.

由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1.14分

[规律方法]　解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．

[对点训练2]　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngbsin A.

(1)求B；

(2)若cos A＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，求sin C的值．

[解]　(1)在△ABC中，由32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png，

可得asin B＝bsin A．2分

又由asin 2B＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngbsin A，得

2asin Bcos B＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngbsin A＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngasin B，

所以cos B＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png，得B＝b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png.6分

(2)由cos A＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，可得sin A＝4dbfc97e385e7132fc528e17dfdb3b8d.png，则

sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sincc3667126fb63ac09c7058e6843d0677.png

＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.pngsin A＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngcos A＝5d40640fd256b7286a791c0e6110005d.png.14分

热点3　三角恒等变换与解三角形的综合问题

以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．

word/media/image1.gif　(2017·浙江高考冲刺卷(二))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A－cos A＝－6e0dd02400ce63812787037cecb2f801.png，cos B＝ecae01a1759949383660adc0223f5985.png.

(1)求角C；

(2)若△ABC的面积为2，求a的值. 【导学号：51062132】

[解]　(1)∵sin A－cos A＝－6e0dd02400ce63812787037cecb2f801.png，

∴1－2sin Acos A＝914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.png，2分

∴2sin Acos A＝2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png，∴A为锐角．

∴sin A＋cos A＝267a2a3cc927b1fd04a9e3d915c89679.png＝60608a305fdfae4276d762e34d82a16f.png.3分

由a90ee8d50e380e81c8a1ee96ab78183f.png得5ea57d60024c4dcf4a56951dca6aa53c.png

∵cos B＝ecae01a1759949383660adc0223f5985.png，∴B为锐角，∴sin B＝8aefdfcce27374b35c48acca63a2dfab.png＝2ad23a572bfb43004b8eb1f4856c58e6.png.

则cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png，

而0<C<π，∴C＝aa8ee001c5caf4b01be5866c2c7088f8.png.8分

(2)由正弦定理得46a63e73981fdc69f8ec933364ecdd7a.png＝d30d94264e1cb714fed66f011bbf4e65.png＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，则b＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.pnga.

由(1)得sin C＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png，

△ABC的面积S＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngabsin C＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×a×1553867a52c684e18d473467563ea33b.pnga×193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnga2＝2，∴a＝2.14分

[规律方法]　1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．

2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．

[对点训练3]　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan deaf13ab3ad74bbe7ac9ad6d67b1841c.png＝2.

(1)求244588bbe715331b1f36b42092d229b7.png的值；

(2)若B＝6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png，a＝3，求△ABC的面积．

[解]　(1)由tandeaf13ab3ad74bbe7ac9ad6d67b1841c.png＝2，得tan A＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，

所以244588bbe715331b1f36b42092d229b7.png＝c3b7fdcd9afd73998a801f97c07a5206.png＝914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.png.5分

(2)由tan A＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，A∈(0，π)，得

sin A＝3a3bac3ec04c253bff1e4fb16eae2159.png，cos A＝63890c8ff90b432078c231cbfa077354.png.8分

由a＝3，B＝6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png及正弦定理32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝4532e33590da37c58474922e01b8465d.png，得b＝3a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png.11分

由sin C＝sin(A＋B)＝sin6e23cf4b8b08831fea3b93a7637ff0f9.png，得sin C＝ecae01a1759949383660adc0223f5985.png.

设△ABC的面积为S，则S＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngabsin C＝9.14分

热点探究训练(二)

三角函数与解三角形中的高考热点问题

1．在△ABC中，AC＝6，cos B＝328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，C＝6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png.

(1)求AB的长；

(2)求cosa959ddb474c1eb86ffcfcabe73391b81.png的值．

[解]　(1)因为cos B＝328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，0<B<π，

所以sin B＝8aefdfcce27374b35c48acca63a2dfab.png＝ef33b0041f16716bded9dff59901ba77.png＝2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png.2分

由正弦定理知8e4e0263ee8f7a43b89374f8e933dcbc.png＝0aea14adde3ad7b31e8570b8d835d586.png，

所以AB＝f0afd7f90ed50bd6a9b32c19662953ca.png＝75f0d2636ca9b67edd48161a2ccb8cf5.png＝51553867a52c684e18d473467563ea33b.png.6分

(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，

于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos933387615d02ff18d2cae86feb8888d0.png

＝－cos Bcos 6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png＋sin Bsin 6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png.9分

又cos B＝328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，sin B＝2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png，

故cos A＝－328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png×193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png＋2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png×193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png＝－f27d09b7e5a7e935848e70f53579bd30.png.12分

因为0<A<π，所以sin A＝f7aa45b814e2d267124f674bfb190f06.png＝abd996676ff6268f41ec153b87b591f2.png.

因此，cosa959ddb474c1eb86ffcfcabe73391b81.png＝cos Acos b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png＋sin Asin b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png

＝－f27d09b7e5a7e935848e70f53579bd30.png×b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png＋abd996676ff6268f41ec153b87b591f2.png×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png＝32fd0aead84bdb3d14ef4d41e146414c.png.14分

2．设f(x)＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngsin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求gb8290d24cbc7cca888e7c5d728d8ac92.png的值.

【导学号：51062133】

[解]　(1)f(x)＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngsin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2

＝29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngsin2x－(1－2sin xcos x)

＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png(1－cos 2x)＋sin 2x－1

＝sin 2x－9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngcos 2x＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－1

＝2sinf3b18369b80bb73d07519eec60dab789.png＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－1，4分

由2kπ－cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png≤2x－5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png≤2kπ＋cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png(k∈Z)，

得kπ－e4ca3275ee4385ac97d838fdbe9e589a.png≤x≤kπ＋7292d88656ce597293579424800c5d68.png(k∈Z)，

所以f(x)的单调递增区间是1feb26836dbc29ba3262424140f9398c.png(k∈Z)4aea7b777e15de1dfb04373646954b9a.png.7分

(2)由(1)知f(x)＝2sinf3b18369b80bb73d07519eec60dab789.png＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－1，9分

把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin3d165b9dd4f624cad79a1b5378fd3b76.png＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－1的图象，

再把得到的图象向左平移5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png个单位，

得到y＝2sin x＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－1的图象，

即g(x)＝2sin x＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－1，

所以gb8290d24cbc7cca888e7c5d728d8ac92.png＝2sin b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－1＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.14分

3．设f(x)＝sin xcos x－cos2ced00e08b55878cc17542ded373ccf78.png.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f8870e9937407883e4bb8d35218e3b18c.png＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．

[解]　(1)由题意知f(x)＝4fb77e011b33c59d73e48c90b04f1b58.png－1aaaf708e278366e2b271e874c91581e.png

＝4fb77e011b33c59d73e48c90b04f1b58.png－a89d29a1b8d019e9a82c127c7035e0b5.png＝sin 2x－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.2分

由－cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png＋2kπ≤2x≤cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png＋2kπ，k∈Z，

可得－6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png＋kπ≤x≤6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png＋kπ，k∈Z；3分

由cf2f35d54ae29874f3f2252ef142701d.png＋2kπ≤2x≤52b84cc47232834378729c825b2f667b.png＋2kπ，k∈Z，

可得6e39d14a87b7a35bb9cf5152ecd1ae21.png＋kπ≤x≤aa8ee001c5caf4b01be5866c2c7088f8.png＋kπ，k∈Z.6分

所以f(x)的单调递增区间是b7fed069ee49c5f4f8d4bbd41cc842ec.png(k∈Z)，7分

单调递减区间是f7b45eb9a254e57b2ea61408d86155d7.png(k∈Z)．

(2)由f8870e9937407883e4bb8d35218e3b18c.png＝sin A－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png＝0，得sin A＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，

由题意知A为锐角，所以cos A＝b702758df4d9b7bf8fe7a0882928ea08.png.9分

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，

可得1＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngbc＝b2＋c2≥2bc，12分

即bc≤2＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，当且仅当b＝c时等号成立．

因此df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngbcsin A≤d70b7acd5478be932a7794ec1156aa78.png.

所以△ABC面积的最大值为d70b7acd5478be932a7794ec1156aa78.png.14分

4．(2017·浙江名校交流卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2d700d62801963d5eafcfc8268161c3d.png＝2e34317d1e4b9fc3912092f4e5b249a1.png.

(1)求角C的大小；

(2)若c＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，求使△ABC周长最大时a，b的值．

[解]　(1)∵2d700d62801963d5eafcfc8268161c3d.png＝2e34317d1e4b9fc3912092f4e5b249a1.png，

∴2dffaf175c0e582c093b1a3dcf8e7d88.png＝2e34317d1e4b9fc3912092f4e5b249a1.png，

∴2sin Acos C＋sin Bcos C＋sin Ccos B＝0，

∴2sin Acos C＋sin A＝0，4分

又sin A≠0，∴cos C＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，∴C＝6866f5f55bcdb05fc3c4a4512c010e8b.png.6分

(2)∵ca4505e99f4f45bc97a810c3dbf7981d.png＝32d68671299269b87e1e61df1a8d70cf.png＝24dd3dfa5e95a1f645ceec1d4632e53c.png，

∴a＝2sin A，b＝2sinc05688e5b9517fa797eedbf9f85172f9.png，10分

∴△ABC的周长＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＋2sin A＋2sinc05688e5b9517fa797eedbf9f85172f9.png＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＋sin A＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngcos A＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＋2sin600f6530f234f3e10ed1b46798889d29.png，∴当A＝b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png时，△ABC的周长最大，此时a＝b＝1.14分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/648a03f8d3f34693daef5ef7ba0d4a7302766ce7.html