上海民办尚德实验学校数学九年级上册期末试题和答案

上海民办尚德实验学校数学九年级上册期末试题和答案

一、选择题

1．关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

2．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（ ）

A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 72

3．如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC＝（　　）

A．60° B．65° C．70° D．80°

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD⊥AB于D，设∠ACD=α，则cosα的值为（ ）

A． B． C． D．

5．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（ ）

A．42 B．45 C．46 D．48

6．函数y=(x+1)2-2的最小值是（ ）

A．1 B．－1 C．2 D．－2

7．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）

A． B． C． D．

8．下列方程是一元二次方程的是（ ）

A． B． C． D．

9．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（ ）

A．c＝0 B．c＝1 C．c＝0或c＝1 D．c＝0或c＝﹣1

10．二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：

则下列判断中正确的是（　　）

A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴

C．当x=﹣1时y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间

11．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）

A．2 B． C． D．

12．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝130°，则∠AOB的度数为（　　）

A．50° B．80° C．100° D．110°

13．若二次函数y＝x2+4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n的值是（　　）

A．1 B．3 C．4 D．6

14．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）

A． B． C． D．

15．如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ）

A．3:2 B．3:1 C．1:1 D．1:2

二、填空题

16．150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是______cm．

17．将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____．

18．若是方程的一个根，则代数式的值是______.

19．已知小明身高，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为.若当他把手臂竖直举起时，测得影长为，则小明举起的手臂超出头顶______.

20．如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、分别为、的中点，若点刚好落在边上，则______.

21．在泰州市举行的大阅读活动中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽为________cm．(结果保留根号)

22．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间的函数关系式是h=12t﹣6t2，则小球运动到的最大高度为________米；

23．如图，AB是半圆O的直径，AB=10，过点A的直线交半圆于点C，且sin∠CAB=，连结BC，点D为BC的中点．已知点E在射线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为________；

24．如图，是的内接三角形，，的长是，则的半径是__________．

25．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是__________________________．

26．如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接.则长的最小值为________.

27．把函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是_____．

28．如图，将二次函数y＝ (x－2)2＋1的图像沿y轴向上平移得到一条新的二次函数图像，其中A(1，m)，B(4，n)平移后对应点分别是A′、B′，若曲线AB所扫过的面积为12(图中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是__________________．

29．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+5a＝0有两个正的相等的实数根，则这两个相等实数根的和为_____．

30．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB+AD＝8cm．当BD取得最小值时，AC的最大值为_____cm．

三、解答题

31．网络比网络的传输速度快10倍以上，因此人们对产品充满期待.华为集团计划2020年元月开始销售一款产品.根据市场营销部的规划，该产品的销售价格将随销售月份的变化而变化.若该产品第个月（为正整数）销售价格为元/台，与满足如图所示的一次函数关系：且第个月的销售数量（万台）与的关系为.

（1）该产品第6个月每台销售价格为______元；

（2）求该产品第几个月的销售额最大？该月的销售价格是多少元/台？

（3）若华为董事会要求销售该产品的月销售额不低于27500万元，则预计销售部符合销售要求的是哪几个月？

（4）若每销售1万台该产品需要在销售额中扣除元推广费用，当时销售利润最大值为22500万元时，求的值.

32．已知二次函数y＝2x2+bx﹣6的图象经过点(2，﹣6)，若这个二次函数与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，求出△ABC的面积．

33．如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．

34．计算：

（1）2sin30°+cos45°-tan60°

（2） (）0 -（）-2 + tan2 30︒ ．

35．一只不透明的袋子中装有1个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．

（1）用树状图列出所有可能出现的结果；

（2）求3次摸到的球颜色相同的概率．

四、压轴题

36．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；

（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．

37．如图 1，抛物线交轴正半轴于点，交轴正半轴于，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在图2中，将抛物线向右平移个单位后得到抛物线，抛物线与抛物线在第一象限内交于一点，若的内心在内部，求的取值范围

（3）在图3中，为抛物线在第一象限内的一点，若为锐角，且，直接写出点横坐标的取值范围___________

38．如图，抛物线y＝ax2－4ax＋b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴正半轴于C，且OB＝OC＝3.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，D为抛物线的顶点，P为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP交直线BC于G，连GD．是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 如图2，将抛物线向上平移m个单位，交BC于点M、N．若∠MON＝45°，求m的值.

39．对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角．如图1，对于线段AB及线段AB外一点C，我们称∠ACB为点C关于线段AB的视角．

如图2，点Q在直线l上运动，当点Q关于线段AB的视角最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于线段AB的“视角”．

（1）如图3，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，2），点C坐标为（﹣2，2），点C关于线段AB的视角为　 　度，x轴关于线段AB的视角为　 　度；

（2）如图4，点M是在x轴上，坐标为（2，0），过点M作线段EF⊥x轴，且EM＝MF＝1，当直线y＝kx（k≠0）关于线段EF的视角为90°，求k的值；

（3）如图5，在平面直角坐标系中，P（，2），Q（+1，1），直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的夹角为60°，且关于线段PQ的视角为45°，求这条直线的解析式．

40．如图，正方形中，点是线段的中点，连接，点是线段上的动点，连接并延长交于点，连接并延长交或于点，

（1）如图①，当点与点重合时，等于多少；

（2）如图②，当点F是线段AB的中点时，求的值；

（3）如图③，若，求的值.

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一、选择题

1．D

解析：D

【解析】

【分析】

满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解.

【详解】

解：根据题意得，

a-1=1,2+m=2,

解得，a=2,m=0,

∴a-m=2.

故选：D.

【点睛】

本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.

2．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据已知条件想办法证明BG=GH=DH，即可解决问题；

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，

∵DF=CF，BE=CE，

∴，，

∴，

∴BG=GH=DH，

∴S△ABG=S△AGH=S△ADH，

∴S平行四边形ABCD=6 S△AGH，

∴S△AGH：=1：6，

∵E、F分别是边BC、CD的中点,

∴,

∴,

∴,

∴=7∶24,

故选B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．

3．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度数即可；

【详解】

解：∵点I是△ABC的内心，

∴∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，

∵∠BIC＝130°，

∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠CIB＝50°，

∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°，

∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝80°．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键.

4．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出AB的长，在求出∠ACD的等角∠B，即可得到答案.

【详解】

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，

∴,

∵CD⊥AB,

∴∠ADC=∠C=90°,

∴∠A+∠ACD=∠A+∠B,

∴∠B=∠ACD=α,

∴.

故选：A.

【点睛】

此题考查解直角三角形，求一个角的三角函数值有时可以求等角的对应函数值.

5．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据中位数的定义，把8个数据从小到大的顺序依次排列后，求第4，第5位两数的平均数即为本组数据的中位数.

【详解】

解：把数据由小到大排列为：42,44,45,46,46,46,47,48

∴中位数为.

故答案为：46.

【点睛】

找中位数的时候一定要先排好大小顺序，再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个，则正中间的数字即为中位数；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.

6．D

解析：D

【解析】

【分析】

抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值.

【详解】

解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2.

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数的最值.

7．A

解析：A

【解析】

【分析】

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】

将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为，故答案选A．

8．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的定义逐一判断即可．

【详解】

解：A． 是一元二次方程，故本选项符合题意；

B． 是一元三次方程，故本选项不符合题意；

C． 是二元二次方程，故本选项不符合题意；

D． 是二元一次方程，故本选项不符合题意；

故选A．

【点睛】

此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．

9．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c的值即可解答本题．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，

∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，

当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，

(﹣2)2﹣4×1×c＝0，得c＝1；

当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时，

则c＝0，y＝x2﹣2x＝x(x﹣2)，与x轴两个交点，坐标分别为(0，0)，(2，0)；

由上可得，c的值是1或0，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键．

10．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据表中的对应值，求出二次函数的表达式即可求解．

【详解】

解：选取，，三点分别代入得

解得：

∴二次函数表达式为

∵，抛物线开口向下；∴选项A错误；

∵函数图象与的正半轴相交；∴选项B错误；

当x=－1时，；∴选项C错误；

令，得，解得：，

∵，方程的负根在0与－1之间；

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键．

11．D

解析：D

【解析】

【分析】

先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．

【详解】

∵∠A＝90°，AB＝AD，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∴∠ABD＝45°，BD＝AB，

∵∠ABC＝105°，

∴∠CBD＝60°，

而CB＝CD，

∴△CBD为等边三角形，

∴BC＝BD＝AB，

∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，

∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，

∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．

故选D．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．

12．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．

【详解】

在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．

∵∠D=180°﹣∠ACB=50°，

∴∠AOB=2∠D=100°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

13．C

解析：C

【解析】

【分析】

二次函数y=x2+4x+n的图象与轴只有一个公共点，则，据此即可求得．

【详解】

∵，，，

根据题意得：，

解得：n=4，

故选：C．

【点睛】

本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与轴的交点个数．＞0时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；＜0时，抛物线与轴没有交点．

14．A

解析：A

【解析】

【分析】

方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．

【详解】

方程移项得：x2−2x＝5，

配方得：x2−2x＋1＝6，

即（x−1）2＝6．

故选：A．

【点睛】

此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

15．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出，利用点E是边AD的中点得出答案即可．

【详解】

解：∵▱ABCD，故AD∥BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴ ，

∵点E是边AD的中点，

∴AE=DE=AD，

∴．

故选D．

二、填空题

16．6；

【解析】

解：设圆的半径为x，由题意得：

=5π，解得：x=6，故答案为6．

点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．

解析：6；

【解析】

解：设圆的半径为x，由题意得：

=5π，解得：x=6，故答案为6．

点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．

17．y=x2+2

【解析】

分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

详

解析：y=x2+2

【解析】

分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

详解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．

故答案为y=x2+2．

点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

18．9

【解析】

【分析】

根据方程解的定义，将a代入方程得到含a的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.

【详解】

解：∵a是方程的一个根，

∴2a2=a+3,

∴2a2-a=3,

∴.

故答案为：9

解析：9

【解析】

【分析】

根据方程解的定义，将a代入方程得到含a的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.

【详解】

解：∵a是方程的一个根，

∴2a2=a+3,

∴2a2-a=3,

∴.

故答案为：9.

【点睛】

本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键.

19．54

【解析】

【分析】

在同一时刻，物体的高度和影长成比例，根据此规律列方程求解.

【详解】

解：设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得，

，

解得x=0.54

即举起的手臂超出头顶0.54m

解析：54

【解析】

【分析】

在同一时刻，物体的高度和影长成比例，根据此规律列方程求解.

【详解】

解：设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得，

，

解得x=0.54

即举起的手臂超出头顶0.54m.

故答案为：0.54.

【点睛】

本题考查同一时刻物体的高度和影长成比例的投影规律，根据规律列比例式求解是解答此题的关键.，

20．【解析】

【分析】

根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.

【详解】

解析：

【解析】

【分析】

根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.

【详解】

如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，

在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，

∵D为AB的中点，

∴CD= ,

由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，

∵E为MN的中点，

∴CE=,

∵DM⊥BC,DC=DB,

∴CM=BM=,

∴EM=CE-CM=5-3=2，

∵DM=,

∴由勾股定理得，DE=，

∵CD=CE=5，CN⊥DE,

∴DN=EN= ,

∴由勾股定理得，CN=,

∴sin∠DEC= .

故答案为：.

【点睛】

本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.

21．()

【解析】

设它的宽为xcm．由题意得

.

∴ .

点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，其比值是一个无理数，即，近似值约

解析：()

【解析】

设它的宽为xcm．由题意得

.

∴ .

点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，其比值是一个无理数，即，近似值约为0.618.

22．6

【解析】

【分析】

现将函数解析式配方得，即可得到答案.

【详解】

，

∴当t=1时，h有最大值6.

故答案为：6.

【点睛】

此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开

解析：6

【解析】

【分析】

现将函数解析式配方得，即可得到答案.

【详解】

，

∴当t=1时，h有最大值6.

故答案为：6.

【点睛】

此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开口方向确定最值.

23．3或9 或或

【解析】

【分析】

先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.

【详解】

∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB=90，

∵sin∠C

解析：3或9 或或

【解析】

【分析】

先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.

【详解】

∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB=90，

∵sin∠CAB=，

∴,

∵AB=10，

∴BC=8，

∴,

∵点D为BC的中点,

∴CD=4.

∵∠ACB=∠DCE=90,

①当∠CDE1=∠ABC时，△ACB∽△E1CD,如图

∴，即，

∴CE1=3，

∵点E1在射线AC上，

∴AE1=6+3=9，

同理：AE2=6-3=3.

②当∠CE3D=∠ABC时，△ABC∽△DE3C，如图

∴，即，

∴CE3=，

∴AE3=6+=,

同理：AE4=6-=.

故答案为：3或9 或或.

【点睛】

此题考查相似三角形的判定及性质，当三角形的相似关系不是用相似符号连接时，一定要分情况来确定两个三角形的对应关系，这是解此题容易错误的地方.

24．【解析】

【分析】

连接OB、OC，如图，由圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.

【详解】

解：连接OB、OC，如图，

∵，

∴∠BOC=90°，

∵的长是，

∴，

解得：

解析：

【解析】

【分析】

连接OB、OC，如图，由圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.

【详解】

解：连接OB、OC，如图，

∵，

∴∠BOC=90°，

∵的长是，

∴，

解得：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了圆周角定理和弧长公式，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.

25．50（1﹣x）2=32．

【解析】

由题意可得，

50(1−x)²=32，

故答案为50(1−x)²=32.

解析：50（1﹣x）2=32．

【解析】

由题意可得，

50(1−x)²=32，

故答案为50(1−x)²=32.

26．【解析】

【分析】

先求得正方形的边长，取AB的中点G，连接GF，CG，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF有最小值，此时即可求得这个值.

【详解】

如图，连接OA、OD，取

解析：

【解析】

【分析】

先求得正方形的边长，取AB的中点G，连接GF，CG，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF有最小值，此时即可求得这个值.

【详解】

如图，连接OA、OD，取AB的中点G，连接GF，CG，

∵ABCD是圆内接正方形，，

∴，

∴，

∵AF⊥BE，

∴，

∴，

，

当点C、F、G在同一直线上时，CF有最小值，如下图：

最小值是：，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF的最小值是解决本题的关键．

27．y＝2（x﹣3）2﹣2．

【解析】

【分析】

利用二次函数平移规律即可求出结论．

【详解】

解：由函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，得

新函数的表达

解析：y＝2（x﹣3）2﹣2．

【解析】

【分析】

利用二次函数平移规律即可求出结论．

【详解】

解：由函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，得

新函数的表达式是y＝2（x﹣3）2﹣2，

故答案为y＝2（x﹣3）2﹣2．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的原则是解答此题的关键．

28．y=0.5(x-2)+5

【解析】

解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC

解析：y=0.5(x-2)+5

【解析】

解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3．∵曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=12，∴AA′=4，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移4个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+5．故答案为y=0.5（x﹣2）2+5．

点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题的关键．

29．2

【解析】

【分析】

根据根的判别式，令，可得，解方程求出b＝﹣2a，再把b代入原方程，根据韦达定理：即可．

【详解】

当关于x的一元二次方程ax2+bx+5a＝0有两个正的相等的实数根时，

，即

解析：2

【解析】

【分析】

根据根的判别式，令，可得，解方程求出b＝﹣2a，再把b代入原方程，根据韦达定理：即可．

【详解】

当关于x的一元二次方程ax2+bx+5a＝0有两个正的相等的实数根时，

，即，

解得b＝﹣2a或b＝2a（舍去），

原方程可化为ax2﹣2ax+5a＝0，

则这两个相等实数根的和为．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理，解题的关键是熟练掌握根的判别式和韦达定理。

30．【解析】

【分析】

设AB＝x，则AD＝8﹣x，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB＝AD＝4时，BD的值最小，根据条件可知A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．

解析：

【解析】

【分析】

设AB＝x，则AD＝8﹣x，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB＝AD＝4时，BD的值最小，根据条件可知A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．则AC为直径时最长，则最大值为4．

【详解】

解：设AB＝x，则AD＝8﹣x，

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴BD2＝x2+(8﹣x)2＝2(x﹣4)2+32．

∴当x＝4时，BD取得最小值为4．

∵A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．如图，

∴AC为直径时取得最大值．

AC的最大值为4．

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了四边形的对角线问题，掌握勾股定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．

三、解答题

31．（1）4500元；（2）7，4000；（3）4、5、6、7、8、9、10；（4）.

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法将(2,6500),(4,5500)代入y=kx+b求k,b确定表达式，求当x=6时的y值即可；

（2）求销售额w与x之间的函数关系式，利用二次函数的最大值问题求解；

（3）分三种情况讨论假设6月份，7月份，8月份的最大销售为22500万元时，求相应的m值，再分别求出此时另外两月的总利润，通过比较作出判断.

【详解】

设y=kx+b,根据图象将(2,6500),(4,5500)代入得，

，

解得， ，

∴y= -500x+7500，

当x=6时，y= -500×6+7500=4500元；

（2）设销售额为z元，

z=yp=( -500x+7500 )(x+1)= -500x2+7000x+7500= -500(x-7)2+32000,

∵z与x成二次函数，a= -500<0,开口向下，

∴当x=7时，z有最大值，

当x=7时，y=-500×7+7500=4000元.

答：该产品第7个月的销售额最大，该月的销售价格是4000元/台.

（3）z与x的图象如图的抛物线

当y=27500时，-500(x-7)2+32000=27500，

解得，x1=10，x2=4

∴预计销售部符合销售要求的是4,5,6,7,8,9,10月份.

（4）设总利润为W= -500x2+7000x+7500-m(x+1)= -500x2+(7000-m)x+7500-m,

第一种情况：当x=6时，-500×62+(7000-m) ×6+7500-m=22500，

解得，m= ,

此时7月份的总利润为-500×72+(7000-) ×7+7500-≈17714<22500,

此时8月份的总利润为-500×82+(7000-) ×8+7500-≈19929<22500,

∴当m=时，6月份利润最大，且最大值为22500万元.

第二种情况：当x=7时，-500×72+(7000-m) ×7+7500-m=22500，

解得，m=1187.5 ,

此时6月份的总利润为-500×62+(7000-1187.5) ×6+7500-1187.5=23187.5>22500,

∴当m=1187.5不符合题意，此种情况不存在.

第三种情况：当x=8时，-500×82+(7000-m) ×8+7500-m=22500，

解得，m=1000 ,

此时7月份的总利润为-500×72+(7000-1000) ×7+7500-1000=24000>22500,

∴当m=1000不符合题意，此种情况不存在.

∴当时销售利润最大值为22500万元时，此时m=.

【点睛】

本题考查二次函数的实际应用，最大利润问题，利用二次函数的最值性质是解决实际问题的重要途径.

32．【解析】

【分析】

如图，把（0，6）代入y＝2x2+bx﹣6可得b值，根据二次函数解析式可得点C坐标，令y=0，解方程可求出x的值，即可得点A、B的坐标，利用△ABC的面积＝×AB×OC，即可得答案．

【详解】

如图，

∵二次函数y＝2x2+bx﹣6的图象经过点(2，﹣6)，

∴﹣6＝2×4+2b﹣6，

解得：b＝﹣4，

∴抛物线的表达式为：y＝2x2﹣4x﹣6；

∴点C（0，﹣6）；

令y＝0，则2x2﹣4x﹣6=0，

解得：x1＝﹣1，x2=3，

∴点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），

∴AB=4，OC=6，

∴△ABC的面积＝×AB×OC＝×4×6＝12．

【点睛】

本题考查二次函数图象上的点的坐标特征及图象与坐标轴的交点问题，分别令x=0，y=0，即可得出抛物线与坐标轴的交点坐标；也考查了三角形的面积．

33．4m

【解析】

【分析】

由CD∥EF∥AB得可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，故，，证，进一步得，求出BD，再得；

【详解】

解：∵CD∥EF∥AB，

∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，

∴，，

又∵CD=EF，

∴，

∵DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7，

∴

∴BD=9，BF=9+3=12

∴

解得，AB=6.4m

因此，路灯杆AB的高度6.4m.

【点睛】

考核知识点：相似三角形的判定和性质.理解相似三角形判定是关键.

34．（1）-2（2）

【解析】

【分析】

（1）根据特殊角的三角函数值即可求解；

（2）根据负指数幂、零指数幂及特殊角的三角函数值即可求解．

【详解】

（1）2sin30°+cos45°-tan60°

=2×+-×

=1+-3

=-2

（2） (）0 -（）-2 + tan2 30︒

=1-4+（）2

=-3+

=．

【点睛】

此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．

35．（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据题意画树状图，求得所有等可能的结果；

（2）由（1）可求得3次摸到的球颜色相同的结果数，再根据概率公式即可解答．

【详解】

（1）画树状图为：

共有8种等可能的结果数；

（2）3次摸到的球颜色相同的结果数为2，

3次摸到的球颜色相同的概率＝＝．

【点睛】

本题考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是不重复不遗漏地列出所有等可能的结果．

四、压轴题

36．（1）菱形的周长为8；（2）t=，∠MAC=105°；（3）当t=1﹣或t=1+时，圆M与AC相切．

【解析】

试题分析：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．由点A和点B的坐标可知：BE=，AE=1，依据勾股定理可求得AB的长，从而可求得菱形的周长；（2）记 M与x轴的切线为F，AD的中点为E．先求得EF的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为 M与AD的切点．由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明△AFM是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF的度数，故此可求得∠MAC的度数；（3）如图4所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．先求得∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE的长，然后依据3t+2t=5-AE可求得t的值；如图5所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到EA=，最后依据3t+2t=5+AE．列方程求解即可．

试题解析：（）如图1所示：过点作，垂足为，

∵，，

∴，，

∴，

∵四边形为菱形，

∴，

∴菱形的周长．

（）如图2所示，⊙与轴的切线为，中点为，

∵，

∴，

∵，且为中点，

∴，，

∴，

解得．

平移的图形如图3所示：过点作，

垂足为，连接，为⊙与切点，

∵由（）可知，，，

∴，

∴，

∴，

∵四边形是菱形，

∴，

∵为切线，

∴，

∵为的中点，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．

（）如图4所示：连接，过点作，垂足为，作，垂足为，

∵四边形为菱形，，

∴．

∵、是圆的切线

∴，

∵．

∴，

∴，

∴．

如图5所示：连接，过点作，垂足为，作，垂足为，

∵四边形为菱形，，

∴，

∴，

∵、是圆的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

综上所述，当或时，圆与相切．

点睛：此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结：1、分类讨论思想：研究点、直线和圆的位置关系时，就要从不同的位置关系去考虑，即要全面揭示点、直线和元的各种可能的位置关系.这种位置关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想：（1）化“曲面”为“平面”（2）化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想：再与圆有关的计算题中，除了直接运用公式进行计算外，有时根据图形的特点，列方程解答，思路清楚，过程简捷.

37．（1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】

(1)由题意可得对称轴方程，有二次函数对称性，由A点坐标可求B点坐标，代入解析式可得；

(2)根据函数图像平移可得新抛物线解析式，画出图像可得交点P，由题意可得，过点C作轴.作，可得，设，由可得关于t的方程，解得t, 再将代入解析式中得n的值，根据Q,P在第一象限内得n的取值范围；

(3) 当为直角时，可求直线CB的解析式为：y=-x+3,直线CM的解析式为：y=x+3，运用直线与曲线联立，可求CM与抛物线的交点M横坐标为：x=5；当为锐角且时，过点M作于N,则，设M点坐标为，直线CB解析式为y=-x+3,可求直线MN解析式为：，将直线MN与直线CB解析式联立可得：N， 由两点间距离公式可得= ；=；由可得：，进而可得满足已知条件的点横坐标的取值范围.

【详解】

解：对称轴为

代入

的内心在内部

当时

过作轴.作

设

将代入解析式中

又在第一象限内

(3) ;

当为直角时，如下图所示：

由(1)(2)可得：直线CB的解析式为：y=-x+3,

为直角，C(0,3)，

直线CM的解析式为：y=x+3，

则CM与抛物线的交点坐标M横坐标为：

，

解得：x=5或0(舍去)，

所以，当为直角时，；

当为锐角且时，如下图所示：

过点M作于N,则，

设M点坐标为，

，直线CB解析式为y=-x+3,

MN解析式可设：y=x+b,

将P代入解析式可得：

b=,

则直线MN解析式为：，

将直线MN与直线CB解析式联立可得：

N点坐标为，

=

= ；

=

=；

由可得：

=3；

解得：或0(舍去) ；

为锐角，且时，点M的横坐标的取值范围为：.

【点睛】

本题综合考查了二次函数的图像和性质，题目较难，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合解决二次函数综合问题是解题的关键.

38．（1）y＝x2－4x＋3 ；(2) P();(3)

【解析】

【分析】

(1)把,,代入,解方程组即可.

(2)如图1中,连接OD、BD,对称轴交x轴于K,将绕点O逆时针旋转90°得到△OCG,则点G在线段BC上,只要证明是等腰直角三角形,即可得到直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.利用方程组即可解决问题. (3)如图2中,将绕点O顺时针旋转得到,首先证明,设,,则,

设平移后的抛物线的解析式为,由消去y得到,由,推出,,M、N关于直线对称,所以,设,则,利用勾股定理求出a以及MN的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题.

【详解】

(1), ,,代入, 

得,解得, 

∴抛物线的解析式为

(2)如图1中,连接OD、BD,对称轴交x轴于K. 

由题意,,,, 

,, 

, 

将绕点O逆时针旋转90°得到,则点G在线段BC上, 

, 

, 

, 

是等腰直角三角形, 

, 

∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P. 

设直线OD的解析式为,把D点坐标代入得到,, 

, 

∴直线OD的解析式为, 

, 

∴直线OG的解析式为, 

由解得或, 

点P在对称轴左侧, 

点P坐标为

(3)如图2中,将绕点O顺时针旋转90°得到

, 

, 

,,, 

, 

, 

, 

, 

, 

设,,则, 

设平移后的抛物线的解析式为, 

由消去y得到, 

,, 

∴M、N关于直线对称, 

,设,则, 

, 

(负根已经舍弃), 

, 

, 

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题、一次函数、全等三角形的判定与性质、根与系数的关系、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用旋转添加辅助线，构造全等三角形，学会利用方程组及根与系数的关系，构建方程解决问题，本题难度较大.

39．（1）45，45；（2）k＝；（3）y＝x+﹣2

【解析】

【分析】

（1）如图3，连接AC，则∠ABC=45°；设M是x轴的动点，当点M运动到点O时，∠AOB=45°，该视角最大，即可求解；

（2）如图4，以点M为圆心，长度1为半径作圆M，当圆与直线y=kx相切时，直线y=kx（k≠0）关于线段EF的视角为90°，即∠EQF=90°，则MQ⊥直线OE，OQ=1，OM=2，故直线的倾斜角为30°，即可求解；

（3）直线PQ的倾斜角为45°，分别作点Q、P作x轴、y轴的平行线交于点R，RQ=RP=1，以点R为圆心以长度1为半径作圆R，由（1）知，设直线与圆交于点Q′，由（1）知，当PQ′Q为等腰三角形时，视角为45°，则QQ=2RQ=2，故点Q′（-1，1），即可求解．

【详解】

（1）如图3，连接AC，则∠ABC＝45°；

设M是x轴的动点，当点M运动到点O时，∠AOB＝45°，该视角最大，

由此可见：当△ABC为等腰三角形时，视角最大；

故答案为：45，45；

（2）如图4，以点M为圆心，长度1为半径作圆M，

当圆与直线y＝kx相切时，直线y＝kx（k≠0）关于线段EF的视角为90°，即∠EQF＝90°，则MQ⊥直线OE，MQ＝1，OM＝2，故直线的倾斜角为30°，故k＝；

（3）直线PQ的倾斜角为45°，分别作点Q、P作x轴、y轴的平行线交于点R，RQ＝RP＝1，以点R为圆心以长度1为半径作圆R，

由（1）知，设直线与圆交于点Q′，由（1）知，当PQ′Q为等腰三角形时，视角为45°，

则QQ＝2RQ＝2，故点Q′（﹣1，1），

直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的夹角为60°，则直线的表达式为：y＝x+b，

将点Q′的坐标代入上式并解得：

直线的表达式为：y＝x+﹣2

【点睛】

本题考查的是一次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序求解，一般比较容易．

40．（1）；（2）；（3）．

【解析】

【分析】

（1）先证明△ADP≌△CDP，得到∠DAP=∠DCP，再证明△ADE≌△CDO，得到DE=DO，根据O是AD的中点，AD=CD，即可得到答案；

（2）先证明△AFD≌△DOC，得到∠AFD=∠DOC，进而得到∠OPD=90°，即可得到△OPD∽△FAD，根据对应边成比例得到,设AF=OD=x，则AD=2x，DF=，得到DP=，求出PF=，再证明△DEP∽△FAP，得到，根据AF=，即可得到答案；

（3）先证明△FCD≌△EDA，得到∠EAD=∠FDC，进而得到∠EPD=∠APD=90°，根据直角三角形的性质可得OP=OD=，设OD=OP=x，则CD=2x，OC=，可得PC=OC-OP=，根据△DPO∽△FPC，得到，进而得到，即可得到结论.

【详解】

（1）如图①中，

∵四边形是正方形，

，

，，

≌，

，

，，

≌，

，

，

，

．

（2）如图②中，连接．设．

，，，

，

，，

≌，

，

，

，

，

，

A，F，P，O四点共圆，

，

，

，，

，

，

，

．

（3）如图③中，连接EF．设，．

，，，

≌ ，

，

，

，

，

，

，

，

，

E，C，F，P四点共圆，

，

，

，

∽，

，

，

，

或（舍弃），

，

．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，求根公式法解一元二次方程，锐角三角函数及四点共圆等知识，用到的知识点较多，难度较大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/63fb43825afb770bf78a6529647d27284a73370d.html