高三数学二轮复习（理科数学） 平行与垂直关系 专题卷（全国通用）(7)

　平行与垂直关系(注意命题点的区分度)

一、选择题

1．若直线a∥平面α，直线b∥直线a，点A∈b且A∈α，则b与α的位置关系是(　　)

A．b∩α＝A　　　　　　　　 B．b∥α

C．b∥α或b⊂α D．b⊂α

解析：选D　由a∥α，b∥a⇒b∥α或b⊂α，又b过α内一点，故b⊂α.

2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)

A．相交 B．异面

C．平行 D．不确定

解析：选C　l⊥AB，l⊥AC⇒l⊥α，m⊥BC，m⊥AC⇒m⊥α，故l∥m.

3．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β ”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B　因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β ”的必要不充分条件，故选B.

4.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点．

有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为(　　)

A．①② B．②③

C．③④ D．①④

解析：选C　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误，显然③④正确．

5．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列结论正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l

D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

解析：选C　A．m，n可能的位置关系为平行，相交或异面，故A错误；B.根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C.根据线面平行的性质可知C正确；D.若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.

6．已知ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与(　　)

A．AC，BD之一垂直 B．AC，BD都垂直

C．AC，BD都不垂直 D．AC，BD不一定垂直

解析：选B　∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，

∴△ABD≌△CDB，连接AN，CN，则AN＝CN.

在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.

同理可得MN⊥BD.

7．(2017·福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题：

①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；

②一定存在平行于a的平面α使b∥α；

③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；

④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．

则其中为真命题的是(　　)

A．①④ B．②③

C．①②③ D．②③④

解析：选D　对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，因此④正确．综上所述，②③④正确．

8.如图所示，在斜三棱柱ABC ­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

解析：选A　∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.

又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，

∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面ABC1.

∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，

∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．

9．(2017·成都一诊)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确的命题有(　　)

A．①② B．②③

C．①③ D．①②③

解析：选C　因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC­A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；

若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；

由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE.

综上可知，选C.

10．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长的最小值为(　　)

A．1 B.

C. D.

解析：选A　由PQ∥平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知点Q在A1D1，B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PM＝AA1＝1.

11．(2017·成都二诊)把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′称为图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD­EFGH中，AB＝5，AD＝4，AE＝3，则△EBD在平面EBC上的射影的面积是(　　)

A．2 B.

C．10 D．30

解析：选A　连接HC，过D作DM⊥HC，连接ME，MB，因为BC⊥平面HCD，又DM⊂平面HCD，所以BC⊥DM，因为BC∩HC＝C，所以DM⊥平面HCBE，即D在平面HCBE内的射影为M，所以△EBD在平面HCBE内的射影为△EBM，在长方体中，HC∥BE，所以△MBE的面积等于△CBE的面积，所以△EBD在平面EBC上的射影的面积为××4＝2，故选A.

12．已知E，F分别为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB，AA1上的点，且AE＝AB，AF＝AA1，M，N分别为线段D1E和线段C1F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有(　　)

A．1条 B．3条

C．6条 D．无数条

解析：选D　取BH＝BB1，连接FH，则FH∥C1D1，连接HE，D1H，在D1E上任取一点M，过M在平面D1HE中作MG∥HO，交D1H于点G，其中OE＝D1E，过O作OK⊥平面ABCD于点K，连接KB，则四边形OHBK为矩形，再过G作GN∥FH，交C1F于点N，连接MN，由于MG∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理，GN∥FH，可得GN∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面GMN∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD，由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．

二、填空题

13.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，

∴EF∥HG.同理EH∥FG，

∴四边形EFGH的形状是平行四边形．

答案：平行四边形

14．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.当满足条件__________时，有m∥β.(填所选条件的序号)

解析：根据面面平行的性质定理可得，当m⊂α，α∥β时，m∥β，故满足条件③⑤时，有m∥β.

答案：③⑤

15．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列三个命题：

①若m⊂α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β.

其中真命题的个数是________．

解析：①若n∥α，则α内的直线m可能与n平行，也可能与n异面，故①错误；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，若m⊥α，则m⊥γ，故②正确；③中有可能m⊂α或m⊂β，显然③错误．

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