2017年高考物理（热点+题型全突破）专题3.4 整体法与隔离法在连接体与叠加体模型中的应用及牛

专题3.4 整体法与隔离法在连接体与叠加体模型中的应用

及牛顿第二定律的瞬时、临界与极值问题

整体法和隔离法是牛顿第二定律应用中极为普遍的方法.隔离法是根本，但有时较烦琐；整体法较简便，但无法求解系统内物体间相互作用力.所以只有两种方法配合使用，才能有效解题.故二者不可取其轻重.

连接体问题对在解题过程中选取研究对象很重要.有时以整体为研究对象，有时以单个物体为研究对象.整体作为研究对象可以将不知道的相互作用力去掉，单个物体作研究对象主要解决相互作用力.对于有共同加速度的连接体问题，一般先用整体法由牛顿第二定律求出加速度，再根据题目要求，将其中的某个物体进行隔离分析和求解．由整体法求解加速度时，F=ma，要注意质量m与研究对象对应．

一、5fef76c285be1838961e19fea509f0ce.png

1．整体法的选取原则

若在已知与待求量中一涉及系统内部的相互作用时，可取整体为研究对象，分析整体受到的外力，应用牛顿第二定律列方程。当系统内物体的加速度相同时：word/media/image1_1.png；否则word/media/image2_1.png。

2．隔离法的选取原则

若在已知量或待求量中涉及到系统内物体之间的作用时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程求解．

3．整体法、隔离法的交替运用

若连接体内各物体具有相同的加速度，且要求物体之间的作用力时，可以先用整体法求出加速度，然后再用隔离法选取合适的研究对象，应用牛顿第二定律求作用力．即“先整体求加速度，后隔离求内力”．

二、运用隔离法解题的基本步骤

1.明确研究对象或过程、状态，选择隔离对象.

2.将研究对象从系统中隔离出来，或将研究的某状态、某过程从运动的全过程中隔离出来.

3.对隔离出的研究对象进行受力分析，注意只分析其它物体对研究对象的作用力.

4.寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解.

【典例1】如图所示，一夹子夹住木块，在力F作用下向上提升．夹子和木块的质量分别为m、M，夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为Fm.若木块不滑动，力F的最大值是(　　)

A.68c3ac337edd9554371826bfed6f6d92.png

B. 83f624902e4c3ef0d2c7944cc14fe595.png

C. 68c3ac337edd9554371826bfed6f6d92.png－(m＋M)g

D. 68c3ac337edd9554371826bfed6f6d92.png＋(m＋M)g

【答案】 A

【典例2】如图所示，质量为M的框架放在水平地面上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端固定一个质量为m的小球.小球上下振动时，框架始终没有跳起.当框架对地面压力为零的瞬间，小球的加速度大小为 （ ）

A.g B．word/media/image6_1.png

C．0 D．word/media/image7_1.png

【答案】D

【解析】当框架对地面压力为零的瞬间，以框架为研究对象，框架受重力Mg和弹簧的弹力F1，两力的合外力为零F1=Mg，①

【名师点睛】

当连体中各物体的加速度不同或涉及到各物体之间的相互作用力，要用隔离法解题，用隔离法对研究对象受力分析时，只分析它受到的力，而它对其它物体的反作用力不考虑，然后利用牛顿第二定律求解.

【典例3】如图所示，猴子的质量为m，开始时停在用绳悬吊的质量为M的木杆下端，当绳子断开瞬时，猴子沿木杠以加速度a（相对地面）向上爬行，则此时木杆相对地面的加速度为（ ）

A．g B．word/media/image10_1.png

C．word/media/image11_1.png D．word/media/image12_1.png

【答案】C

【解析】设杆对猴子竖直向上的作用力为F1，由牛顿第二定律得F1-mg=ma，得F1=mg+ma，由牛顿第三定律得猴子对杆向下的作用力大小F2=F1= mg+ma，再以杆为研究对象，设杆向下的加速度为a0由牛顿第二定律得F2+Mg=Ma0，得a0=word/media/image11_1.png

【典例4】倾角word/media/image13_1.png，质量M=5kg的粗糙斜面位于水平地面上，质量m=2kg的木块置于斜面顶端，从静止开始匀加速下滑，经t=2s到达底端，运动路程L=4m,在此过程中斜面保持静止（word/media/image14_1.png），求：

（1）地面对斜面的摩擦力大小与方向；

（2）地面对斜面的支持力大小

【答案】（1）3.2N 向左（2）67.6N

【解析】隔离法：

对木块：word/media/image16_1.png，word/media/image17_1.png

因为word/media/image18_1.png，得word/media/image19_1.png

所以，word/media/image20_1.png，word/media/image21_1.png

对斜面：在水平方向上：设摩擦力f向左，则word/media/image22_1.png，方向向左。

（如果设摩擦力f向右，则word/media/image23_1.png，同样方向向左。）

【典例5】如图，m和M保持相对静止，一起沿倾角为θ的光滑斜面下滑，则M和m间的摩擦力大小是多少？

【答案】mgsinθ·cosθ

　　解得a=gsinθ ①

　　沿斜面向下.因为要求m和M间的相互作用力，再以m为研究对象，受力如图3-4-9所示

将加速度a沿水平方向和竖直方向分解，根据牛顿第二定律列方程

f=macosθ ②

　　由①②解得f = mgsinθ·cosθ

　　方向沿水平方向，m受向左的摩擦力，M受向右的摩擦力.

牛顿第二定律的瞬时性问题

加速度与合外力具有瞬时对应关系，二者总是同时产生、同时变化、同时消失。加速度是由合外力决定的，并且具有瞬时对应性．确定瞬时加速度的关键是正确确定该瞬时作用力，尤其是对瞬时前后的受力情况、瞬时后的运动状态进行正确的分析．还应该注意下列物理模型的建立.

1.轻质

轻质不仅意味着质量为0，还意味着①重力为零 任何状态下的所受的合力为0 任何状态下的动能、重力势能为0。

2.轻绳或轻线：

①轻：同一根绳(或线)的两端及其中间各点的张力大小相等.

②软：即绳(或线)只能承受拉力，不能承受压力(因绳能变曲).

③不可伸长：即无论绳所受拉力多大，绳子的长度不变，绳子中的张力可以突变.

3.轻弹簧和橡皮绳：

①同一弹簧的两端及其中间各点的弹力大小相等．

②弹簧既能承受拉力，也能承受压力(沿着弹簧的轴线)，橡皮绳只能承受拉力，不能承受压力.

③由于弹簧和橡皮绳受力时，要发生形变需要一段时间，所以弹簧和橡皮绳中的弹力不能突变．但是，当弹簧或橡皮绳被剪断时，它们所受的弹力立即消失.

4.轻杆

①轻杆的弹力不一定沿着杆，具体方向与物体的运动状态、杆与物体的连接方式有关

②杆既可以对物体产生拉力，也可以对物体产生推力

③满足下列条件时杆的弹力一定沿着杆:

A.轻杆

B.轻杆的一端由转轴或绞链固定

C.除转轴或绞链对杆的作用力外,其它作用力作用于杆上同一点.

886f2005e7918c0f3280532d60117d17.png刚性杆的弹力可以发生突变

5.接触面

①接触面的弹力一定垂直于接触面,与物体的运动状态无关

②接触面只能对物体产生推力,不能对物体产生拉力

③刚性接触面间的弹力可以发生突变

886f2005e7918c0f3280532d60117d17.png接触面间还可以存在摩擦力

具体可简化为以下两种模型：

【规律方法】

抓住“两关键”、遵循“四步骤”

(1)分析瞬时加速度的“两个关键”：

①分析瞬时前、后的受力情况和运动状态。

②明确绳或线类、弹簧或橡皮条类模型的特点。

(2)“四个步骤”：

第一步：分析原来物体的受力情况。

第二步：分析物体在突变时的受力情况。

第三步：由牛顿第二定律列方程。

第四步：求出瞬时加速度，并讨论其合理性。

【典例1】两个质量均为m的小球，用两条轻绳连接，处于平衡状态，如图所示。现突然迅速剪断轻绳OA，让小球下落，在剪断轻绳的瞬间，设小球A、B的加速度分别用a1和a2表示，则(　　)

A.a1＝g，a2＝g

B.a1＝0，a2＝2g

C.a1＝g，a2＝0

D.a1＝2g，a2＝0

【答案】　A

【解析】　由于绳子张力可以突变，故剪断OA后小球A、B只受重力，其加速度a1＝a2＝g。故选项A正确。

【典例2】如图所示，物块1、2间用刚性轻质杆连接，物块3、4间用轻质弹簧相连，物块1、3质量为m，物块2、4质量为M，两个系统均置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将两木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，物块1、2、3、4的加速度大小分别为a1、a2、a3、a4。重力加速度大小为g，则有(　　)

A.a1＝a2＝a3＝a4＝0

B.a1＝a2＝a3＝a4＝g

C.a1＝a2＝g，a3＝0，a4＝233f301d9f3cd593c1df6cfa011665e1.pngg

D.a1＝g，a2＝15c484663112b55d485600683ea72e65.pngg，a3＝0，a4＝233f301d9f3cd593c1df6cfa011665e1.pngg

【答案】　C

【典例3】 如图所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳固定于墙壁。开始时a、b均静止。弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受摩擦力Ffa≠0，b所受摩擦力Ffb=0，现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间 （ ）

A .Ffa大小不变 B. Ffa方向改变

C . Ffb仍然为零 D, Ffb方向向右

【答案】AD

【解析】现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间,弹簧对木块b作用力方向向左，b所受摩擦力Ffb方向向右；由于弹簧弹力不能发生突变，剪断瞬间，弹簧弹力不变， a所受摩擦力Ffa≠0，不变，选项AD正确。

【典例4】如图a所示，一质量为m的物体系于长度分别为l1、l2的两根细线上，l1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l2水平拉直，物体处于平衡状态．现将l2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度．

（1）下面是某同学对该题的一种解法：

解：设l1线上拉力为T1，l2线上拉力为T2，物体重力为mg，物体在三力作用下保持平衡T1cosθ＝mg，T1sinθ＝T2，T2＝mgtanθ

剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度．因为mg tanθ＝ma，所以加速度a＝g tanθ，方向在T2反方向．

你认为这个结果正确吗？请对该解法作出评价并说明理由．

（2）若将图a中的细线l1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图3-3-2b所示，其他条件不变，求解的步骤和结果与（l）完全相同，即 a＝g tanθ，你认为这个结果正确吗？请说明理由．

【答案】（1）不正确，a=gsinθ；（2）正确.

(2) 正确.若将图a中的细线l1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，则剪断线l2的瞬间，T2突然消失，且细线l1上的拉力也不能发生突变，即T1不变，则物体即在T2反方向获得加速度．由mg tanθ＝ma，所以加速度a＝g tanθ，方向在T2反方向．

【典例5】如图所示，倾角为α的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧，绸带与斜面间无摩擦。现将质量分别为M、m(M>m)的小物块同时轻放在斜面两侧的绸带上。两物块与绸带间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等。在α角取不同值的情况下，下列说法正确的有

A．两物块所受摩擦力的大小总是相等

B．两物块不可能同时相对绸带静止

C．M不可能相对绸带发生滑动

D．m不可能相对斜面向上滑动

诱导启思： 轻质绸带受力有什么特点？ 动摩擦因数大小对两物块的运动状态有什么影响？有哪些可能性？

【答案】AC

【解析】 由于绸带是轻质的,可知任何状态下绸带所受合力一定为零,故可知两物块对结束的摩擦力大小总是相等的,进而由牛顿第三定律可知A正确.设绸带与物块间的动摩擦因子为word/media/image36_1.png,当两物块都相对绸带静止时,对M有word/media/image37_1.png,对m有word/media/image38_1.png,解之得word/media/image39_1.png.由于两物块与绸带之间的最大静摩擦力word/media/image40_1.png,故当两物块都相对绸带静止时还应满足word/media/image41_1.png,即当word/media/image42_1.png时两物块都相对绸带静止,B错误.当word/media/image43_1.png时,m相对绸带滑动,物块所受摩擦力达到最大值:word/media/image44_1.png,M仍相对绸带静止,C正确.当m相对绸带滑动时,若满足word/media/image45_1.png即word/media/image46_1.png时m相对斜面下滑;若word/media/image47_1.png时m静止;word/media/image48_1.png时m上滑,故D错误.

点拨：接触面间出现相对滑动的临界状态是摩擦力恰好等于最大静摩擦力。

　牛顿第二定律应用的临界极值问题

临界与极值问题是中学物理中的常见题型，结合牛顿运动定律求解的也很多，临界是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的某些物理量达到极值.临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变.

一、临界或极值条件的标志

(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点。

(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。

(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点。

(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。

二、绳、轻杆、接触面形成的临界与极值情况

1.轻绳形成的临界与极值

由轻绳形成的临界状态通常有两种,一种是轻绳松弛与绷紧之间的临界状态,其力学特征是绳仍绷直但绳中张力为零;另一种是轻绳断裂之前的临界状态,其力学特征是绳中张力达到能够承受的最大值.

2.轻杆形成的临界与极值

与由轻绳形成的临界状态类似,一种杆对物体产生拉力与推力之间的临界状态,力学特征是该状态下杆对物体的作用力为零;另一种是轻杆能承受的最大拉力或最大压力所形成的临界状态.

3.接触面形成的临界与极值

由接触面形成的临界状态相对较多:

①接触面间分离形成的临界,力学特征是接触面间弹力为零

②接触面间滑动形成的临界.力学特征是接触面间静摩擦力达到最大值

③接触面间翻转、滚动形成的状态，力学特征是接触面间弹力的等效作用点与瞬时转轴重合．或说是接触面间弹力的作用线通过瞬时转轴．

三、处理临界问题的三种方法

四、解决临界问题的基本思路

(1)认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)；

(2)寻找过程中变化的物理量；

(3)探索物理量的变化规律；

(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。

挖掘临界条件是解题的关键。如例5中第(2)的求解关键是：假设球刚好不受箱子的作用力，求出此时加速度a。

【典例1】如图3-3-3所示，在水平向右运动的小车上，有一倾角为α的光滑斜面，质量为m的小球被平行于斜面的细绳系住并静止在斜面上，当小车加速度发生变化时，为使球相对于车仍保持静止，小车加速度的允许范围为多大？

【答案】a向左时，a≤gtanα；a向右时，a≤gcotα

当小车向右加速时，小球在斜面上将分离而未分离的临界状态是斜面对小球的支持力刚好为零，小球此时受细绳对小球的拉力F与本身重力mg两个力作用，其合外力水平，由牛顿第二定律得：F合=mgcotα=mamax，∴amax= gcotα则小球（即小车）的加速度范围为0＜a＜gcotα。

【名师点睛】

解决临界问题，关键在于找到物体处于临界状态时的受力情况和运动情况，看临界状态时哪个力会为零，物体的加速度方向如何，然后应用牛顿第二定律求解.

【典例2】如图，在光滑水平面上有一质量为m1的足够长的木板， 其上叠放一质量为m2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随时间t增大的水平力F=kt（k是常数），木板和木块加速度的大小分别为a1和a2，下列反映a1和a2变化的图线中正确的是

诱导启思： 临界状态前后两物体受力有何变化？ 临界状态前后两物体受力有何特点？

【答案】A

【名师点睛】

变力作用的运动系统，不仅需考虑整体或局部在某时刻的受力，而且需考虑运动与受力的相互影响。

【典例3】一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度．如图所示．现让木板由静止开始以加速度a(a＜g)匀加速向下移动．求经过多长时间木板开始与物体分离．

【答案】word/media/image55_1.png

【针对训练】

1. 如图所示，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为θ的固定斜面，斜面上放一质量为m的光滑球。静止时，箱子顶部与球接触但无压力。箱子由静止开始向右做匀加速运动，然后改做加速度大小为a的匀减速运动直至静止，经过的总路程为s，运动过程中的最大速度为v。

(1)求箱子加速阶段的加速度大小a′；

(2)若a＞gtan θ，求减速阶段球受到箱子左壁和顶部的作用力。

【答案】　(1)e8140e162f89bcb98b13466d2df9a87a.png　(2)0　m(bdc74f894ec7518f61fbe2b303ea87ea.png－g)

【解析】　(1)由匀变速直线运动的公式有v2＝2a′x1，v2＝2ax2，且x1＋x2＝s

解得：a′＝e8140e162f89bcb98b13466d2df9a87a.png

(2)假设球刚好不受箱子作用，应满足FNsin θ＝ma0，FNcos θ＝mg，解得a0＝gtan θ，箱子减速时加速度水平向左，当a＞gtan θ时，箱子左壁对球的作用力为零，顶部对球的力不为零。此时球受力如图，由牛顿第二定律得FN′cos θ＝F＋mg

FN′sin θ＝ma

解得F＝m(bdc74f894ec7518f61fbe2b303ea87ea.png－g)

2. 如图所示，一质量m=0.4kg的小物块，以V0=2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10m。已知斜面倾角θ=30o，物块与斜面之间的动摩擦因数word/media/image59_1.pngword/media/image60_1.png。重力加速度g取10 m/s2.

（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。

（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

【答案】（1）3m/s2 8m/s (2)word/media/image62_1.png

（2）设物块所受支持力为word/media/image64_1.png，所受摩擦力为word/media/image65_1.png，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，

由牛顿第二定律得

word/media/image67_1.png a9879d9fafe0e6ab3d27b6579e310f6a.png

word/media/image68_1.png c1b0b52040c4ad4398e5f2bff72d008e.png

又word/media/image69_1.png 2f5d15009ef39aa9bd6652f5776b3163.png

联立a9879d9fafe0e6ab3d27b6579e310f6a.pngc1b0b52040c4ad4398e5f2bff72d008e.png2f5d15009ef39aa9bd6652f5776b3163.png式得

word/media/image70_1.png 51b5742e34dfb3806675faa036947e5c.png

由数学知识得

word/media/image71_1.png 2797dfafe558bba4db0295d8ff8229e1.png

由51b5742e34dfb3806675faa036947e5c.png2797dfafe558bba4db0295d8ff8229e1.png式可知对应F最小的夹角为 word/media/image72_1.png bb47ee969f906b6ed5427bebea1d5287.png

联立a42b063fc03ab86c7ed3df94b4d6b686.png51b5742e34dfb3806675faa036947e5c.pngbb47ee969f906b6ed5427bebea1d5287.png式，代入数据得F的最小值为word/media/image73_1.png 65c30b1d0ed251cc89061d8614147217.png

【名师点睛】

三角函数word/media/image74_1.png，其中word/media/image75_1.png是求极值的常用数学变换。

3. 如图，质量word/media/image76_1.png的物体静止于水平地面的A处，A、B间距L=20m。用大小为30N，沿水平方向的外力拉此物体，经word/media/image77_1.png拉至B处。(已知word/media/image78_1.png，word/media/image79_1.png。取word/media/image80_1.png)

(1)求物体与地面间的动摩擦因数μ；

(2)用大小为30N，与水平方向成37°的力斜向上拉此物体，使物体从A处由静止开始运动并能到达B处，求该力作用的最短时间t。

【答案】⑴0.5 ⑵1.03s

【解析】(1)物体做匀加速运动

由word/media/image82_1.png 可得 word/media/image83_1.png

由牛顿第二定律有

word/media/image84_1.png 故 word/media/image85_1.png

∴word/media/image86_1.png

（2）另解：设力word/media/image88_1.png作用的最短时间为t，相应的位移为s，物体到达B处速度恰为0，由动能定理

word/media/image89_1.png

∴word/media/image90_1.png

由牛顿定律

word/media/image91_1.png

∴word/media/image92_1.png

∵word/media/image93_1.png

word/media/image94_1.png

4. 如图所示，将质量m＝1.24 kg的圆环套在固定的水平直杆上，环的直径略大于杆的截面直径，环与杆的动摩擦因数为μ＝0.8。对环施加一位于竖直平面内斜向上与杆夹角θ＝53°的恒定拉力F，使圆环从静止开始做匀加速直线运动，第1 s内前进了2 m。(取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：

(1)圆环加速度a的大小；

(2)拉力F的大小。

【答案】　(1)4 m/s2　(2)12 N或124 N

【解析】　(1)圆环做匀加速直线运动，由运动学公式可知x＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngat2

a＝bc2cf6278cf95f294340e2cf779162f0.png＝873e144636e1d9990c4c3698963ce810.png m/s2＝4 m/s2

(2)令Fsin 53°－mg＝0，则F＝15.5 N

当F<15.5 N时，环与杆上部接触，受力如图甲所示。

甲

由牛顿第二定律可知Fcos θ－μFN＝ma

FN＋Fsin θ＝mg

由此得F＝6901a1b926aaeeb09eeb3c681d469a4e.png＝12 N

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/630cb3c5ef06eff9aef8941ea76e58fafbb045ed.html