第二类曲线积分典型例题解析

第二类曲线积分典型例题解析

高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析

例1 若对任意的x，y有word/media/image2_1.png，设C是有向闭曲线，则word/media/image3_1.png= ．

解：由格林公式将

其中word/media/image4_1.png为C word/media/image5_1.png围成的平面区域，及条件word/media/image2_1.png知，应该填写：0

例2．word/media/image6_1.png，其中word/media/image7_1.png是延圆周word/media/image8_1.png正向一周．

解：因为圆周word/media/image8_1.png所围圆面积D为：word/media/image9_1.png，由格林公式得：word/media/image10_1.png=word/media/image11_1.png，应该填写：word/media/image11_1.png

例3 若word/media/image12_1.png及word/media/image13_1.png在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分word/media/image14_1.png与路径无关的充分必要条件是（ ）．

A．在域D 内恒有word/media/image15_1.png B．在域D 内恒有word/media/image16_1.png

C．在D 内任一条闭曲线word/media/image17_1.png上，曲线积分word/media/image18_1.png

D．在D 内任一条闭曲线word/media/image17_1.png上，曲线积分word/media/image19_1.png

解：若word/media/image20_1.png在单连通区域word/media/image21_1.png内有一阶连续偏导数，则word/media/image22_1.png与路径无关word/media/image23_1.png。

所以选择：B

例4 设C是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的．

A．word/media/image24_1.png B．word/media/image25_1.png

C．word/media/image26_1.png D．word/media/image27_1.png

解：因为选项A中，word/media/image28_1.png，由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道，正确选择：A

例5 设积分路径word/media/image29_1.png，word/media/image30_1.png，那么第二类曲线积分计算公式word/media/image31_1.png=（ ）．

A．word/media/image32_1.png

B．word/media/image33_1.png

C．word/media/image34_1.png

D．word/media/image35_1.png

解：因为积分曲线的路径由参数方程word/media/image29_1.png，word/media/image30_1.png给出，把参数方程代入曲线积分中，得：word/media/image32_1.png

所以正确选择：A

例6 计算word/media/image36_1.png，其中l 为由点word/media/image37_1.png经椭圆word/media/image38_1.png的上半弧到点word/media/image39_1.png再沿直线回到A的路径．

解：由于l为封闭曲线，故原式可写成

其中word/media/image40_1.png，由格林公式

原式=word/media/image41_1.pngword/media/image42_1.png

=word/media/image43_1.png

=word/media/image44_1.png=word/media/image45_1.png=word/media/image46_1.png

例7．计算word/media/image47_1.png，其中l 是上半圆周word/media/image48_1.png word/media/image49_1.png和x轴围成平面区域边界的正向．

解：word/media/image50_1.pngword/media/image51_1.png，由格林公式得

=word/media/image52_1.png=word/media/image53_1.png

=word/media/image54_1.png=word/media/image55_1.png

=word/media/image56_1.png

例8 计算word/media/image57_1.png，其中word/media/image58_1.png逆时针方向．

解：word/media/image50_1.pngword/media/image59_1.png，由格林公式得

=word/media/image60_1.png=word/media/image61_1.png

=word/media/image62_1.png

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/62e73e19d6d8d15abe23482fb4daa58da1111c2e.html