一、集合的概念
1、集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性。
2、元素与集合的关系:
3、常用数集
集合名称 | 自然数集 | 正整数集 | 整数集 | 有理数集 | 实数集 |
表示 | N | 或N* | Z | Q | R |
2、集合之间的关系
注:1、子集:一个集合中有n个元素,则这个集合的子集个数为,真子集个数为。
2、空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
三、集合之间的运算
1、交集:
2、并集:
3、补集:
4、充要条件:
,是的充分条件,是的必要条件。
,是的充要条件,是的充要条件。
1、不等式的基本性质:
1、加法法则:
2、乘法法则:
3、传递性:
4、移项:
二、一元二次不等式的解法
二次函数 | y x o x1 x2 | y x o x1=x2 | y x o |
一元二次方程 | 有两个不等的实根 | 有两个相等的实根 | 无实根 |
注:当时,可先把二次项系数化为正数,再求解。
三、含有绝对值不等式的解法:
1、函数的概念:
1、函数的两要素:定义域、对应法则。
函数定义域的条件:
(1)分式中的; (2)偶次方根的被开方数;
(3)对数的真数,底数; (4)零指数幂的底数。
2、函数的性质:
(1)单调性:一设二求三判定
设:是给定区间( )上的任意两上不等的实数
(2)奇偶性:
判断方法:先判断函数的定义域是否关于原点对称,再看与的关系:
偶函数 ;奇函数;非奇非偶
图象特征:偶函数图象关于轴对称,奇函数图象关于原点对称。
2、一次函数
1、
当时为正比例函数、奇函数,图象是过原点的一条直线。
2、一次函数的单调性
3、二次函数:
1、解析式:
2、二次函数的图象和性质
图象 | y x o | y x o |
开口方向 | 向上 | 向下 |
开口大小 | 越大,开口越小;越小,开口越大 | |
顶点坐标 | ||
对称轴 | ||
单调性 | 在区间上是减函数 在区间上是增函数 | 在区间上是增函数 在区间上是减函数 |
最大值与最小值 | 当时, | 当时, |
奇偶性 | 当时,是偶函数,图象关于轴对称 | |
1、有理指数
1、零指数幂 规定:
2、负整指数幂 ; ()
3、分数指数幂 ;
4、实数指数幂运算法则
; ; ; (为任意实数)
2、指数函数
函数 | 指数函数 | |
的范围 | ||
图象 | y x o (0,1) | y x o (0,1) |
定义域 | R | |
值域 | ||
性质 | (1)过点(0,1) (2)在R上是增函数 (3)当时, 当时, | (1)过点(0,1) (2)在R上是减函数 (3)当时, 当时, |
3、对数
1、对数的性质:对数恒等式;1的对数是零 ;底的对数是1
2、对数的换底公式:
3、积、商、幂的对数:
;;
4、常用对数和自然对数:常用对数;自然对数
4、对数函数
函数 | 指数函数 | |
的范围 | ||
图象 | y x o (1,0) | y x o (1,0) |
定义域 | ||
值域 | R | |
性质 | (1)过点(1,0) (2)在上是增函数 (3)当时, 当时, | (1)过点(1,0) (2)在上是减函数 (3)当时, 当时, |
一、三角函数的有关概念
1、所有与a角终边相同的角表示为
2、象限角:a为第一象限角,
a为第二象限角,
a为第三象限角,
a为第四象限角,
3、任意角三角函数定义:已知角a终边上任意一点P的坐标(x,y),(r=
则
4.特殊角的三角函数值表
角a | ||||||||
弧度 | 0 | |||||||
sina | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 | |||
cosa | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 | |||
tana | 0 | 1 | 不存在 | 0 | 不存在 | 0 | ||
二、同角的三角函数关系式
平方关系式:
三、诱导公式:
四、两角和与差的三角函数
五、二倍角公式
六、正弦定理:
应用范围:(1)已知两角与一边(2)已知两边及其中一边的对角(两解,一解或无解)
七、余弦定理:
应用范围:(1)已知三边(2)已知两边及其夹角
八、三角形面积公式
S=
九、三角函数性质:
函数 | y=sinx | y=cosx | y=tanx |
定义域 | R | R | |
值域 | 【-1,1】 | 【-1,1】 | R |
周期 | |||
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
单调性 | |||
最值 | 当 当 | 当 当 | 无最值 |
图像 | |||
名称 | 等差数列 | 等比数列 |
定义 | (从第二项起) | |
通项公式 | an=a1+(n-1)d | an=a1q |
前n项和公式 | Sn= | 当q≠1时,Sn= 当q=1时,Sn=na |
中项 | 如果a,A,b三个数成等差数列 等差中项公式A= | 如果a,G,b三个数成等比数列 等比中项公式:G |
判定 | 定义法:a 中项法:a | 定义法: 中项法:a |
性质 | 若m+n=p+q,则a | 若m+n=p+q,则a |
s | ||
三个数的设法 | ||
(一)有关概念
向量:既有大小又有方向的量
向量的大小:有向线段的长度。
向量的方向:有向线段的方向。
大小和方向是确定向量的两个要素。
零向量:长度为0的向量叫做零向量,零向量没有确定的方向,记作
(二)向量的加法,减法
(三)向量的运算律
(四)向量的内积
已知两个非零向量
即 ①
注意:内积是一个实数,不在是一个向量。
规定:零向量与任一向量的数量积是
②
(五)向量内积的运算律
①
②(
③(
(六)向量内积的应用
① 向量的模:
②
(七)平面向量的坐标运算
设
①
②
③
④
(八) 两向量垂直,平行的条件
设
⑴向量平行的条件:
⑵向量垂直的条件:
直线
1、直线与直线方程
1、直线的倾斜角、斜率和截距
(1)直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x轴正向所成的最小正角,叫这条直线的倾斜角。
(2)、倾斜角的范围:
2、直线斜率
(其中)
注:任何直线都有倾斜角,但不一定有斜率,当倾斜角为时,斜率不存在。
3、直线的截距
在轴上的截距,令求
在轴上的截距,令求
注:截距不是距离,是坐标,可正可负可为零。
4、直线的方向向量和法向量
(1)方向向量:平行于直线的向量,一个方向向量为
(2)法向量:垂直于直线的向量,一个法向量为
二、直线方程的几种形式
名称 | 已知条件 | 直线方程 | 说明 |
斜截式 | 和在轴上的截距 | 存在,不包括轴和平行于轴的直线 | |
点斜式 | 和 | 存在,不包括轴和平行于轴的直线 | |
一般式 | 的值 | 不能同时为0 | |
几种特殊的直线:
(1)x轴:
(2)Y轴:
(3)平行于X轴的直线:
(4)平行于Y轴的直线:
(5)过原点的直线;(不包括Y轴和平行于Y轴的直线)
3、两条直线的位置关系
位置关系 | 斜截式 | 一般式 |
平行 | ||
重合 | ||
相交 | ||
垂直 | ||
与直线平行的直线方程可设为:
与直线垂直的直线方程可设为:
4、点到直线的距离公式:
1、点到直线的距离
2、两平行线间的距离
5、两点间距离公式和中点公式
1、两点间距离公式:
2、中点公式:
圆
1、圆方程
方程 | 圆心坐标 | 半径 | |
圆的标准方程 | |||
圆的一般方程 | |||
2、圆与直线的位置关系:
1、圆心到直线的距离为,圆的半径为
相切 | 相交 | 相离 |
2、过圆上点的切线方程:
3、圆中弦长的求法:
(1)(是圆心到弦所在直线的距离)
(2)直线方程与圆方程联立
椭圆的标准方程及性质
标准 方程 | ( ) | ( ) |
图像 | ||
范围 | ||
对称轴 | 关于x轴y轴成轴对称;关于原点成中心对称 | |
顶点坐标 | A1(-a,0)A2(a,0), B1 (0,-b) B2(0,b) | A1 (0,-a) A2 (0,a) B1(-b,0)B2 (b,0) |
焦点坐标 | F1(-c,0), F2(c,0) | F1(0,-c), F2(0,c) |
半轴长 | 长半轴长是a,短半轴长是b | |
焦距 | 焦距是2c | |
a.b,c的关系 | a2=b2+c2 b2=a2-c2 | |
离心率 | ||
双曲线的标准方程及性质
标准 方程 | (a>0,b>0) | (a>0,b>0) |
图像 | ||
渐近线 | ||
对称轴 | 关于x轴y轴成轴对称 | |
顶点坐标 | A1(-a,0),A2 (a,0) | A1 (0,-a), A2 (0,a) |
焦点坐标 | F1(-c,0), F2(c,0) | F1(0,-c), F2(0,c) |
离心率 | (e>1) | |
a.b,c的关系 | c2=a2+b2 b2=c2-a2 a2=c2-b2 c>a>0,c>b>0 | |
图形 | 标准方程 | 焦点坐标 | 准线方程 |
抛物线的标准方程及性质
注意:一次变量定焦点,开口方向看负正,
焦点准线要互异,四倍关系好分析。
第九章 立体几何
直线与平面的位置关系
线在面外 | 线在面内 | ||
线面平行 | 线面相交 | ||
图形 | |||
符号 | |||
证明线线平行
方法 | 用线面平行来实现 | 用面面平行来实现 | 用垂直来实现 |
图形 | |||
符号 | 若 则 | ||
证明线面平行
方法 | 用线线平行实现。 | 用面面平行实现。 |
图形 | ||
符号 | ||
证明线线垂直
方法 | 用线面垂直实现 | 三垂线定理及其逆定理 |
图形 | ||
符号 | ||
证明线面垂直
方法 | 用线线垂直实现 | 用面面垂直实现 |
图形 |
| |
符号 | ||
证明面面平行
方法 | 用线线平行实现 | 用线面平行实现 |
图形 | ||
符号 | ||
证明面面垂直
方法 | 用线面垂直实现 | 计算所成二面角为直角 |
图形 | ||
符号 | ||
空间角
名称 | 异面直线所成的角 | 直线与平面所成的角 | 平面一平面所成的角 |
图形 | |||
范围 | |||
方法 | 1:平移,使它们相交,找到夹角。 2:解三角形求出角。(常用到余弦定理)(计算结果可能是其补角) | 1:找(作)垂线,找出射影,斜线与射影所成的角即是线面角,并证明。 2:解三角形,求出线面角。 | 1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。 2:解三角形,求出二面角的平面角。 |
1.若长方体的长宽高分别为a、b、c,则体对角线长为
2.
3.球的表面积公式:
第十章 排列组合与二项式定理
(一)排列
1排列的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。m
2排列数的定义:从n个不同元素中每次取出m(m≤n)个元素进行排列,所有不同的排列个数,叫做从n个不同元素中每次取出m个不同元素的排列数。记作A
3排列数的计算公式:A
其中(n,m
A
4 n的阶乘
① n!=n(n-1)(n-2) …3·2·1
②A
A
1 规定:0!=1
(二)组合
1组合的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,不管顺序并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。(组合与顺序有关)
2排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数。记作C
3组合数的计算公式:C
其中(n,m
规定:C
4 组合数的性质
① C
②C
(三)二项式定理
⑴公式
(a+b)
(2)通项公式
T
(3) 二项展开式的性质
①展开式共有n+1项;
②a的指数由n逐渐递减1到0.b的指数由0逐渐递增1到n;
③二项式系数依次为C
④n为偶数时,展开式的项数为奇数项,展开式的中间一项二项式系数最大;n为奇数时,展开式的项数为偶数项,中间两项二项式系数最大;
(4)两个等式
C
C
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/623cbd1a2c3f5727a5e9856a561252d380eb2030.html
文档为doc格式