19.1 函数

一、知识点过关

知识点1 常量和变量 （重点；理解）

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.

【命题点1 确定常量和变量】

例1 第一期国债存期3年，年利率规定为，不计复利，若购买元这一期国债，三年后可得利息（元）.在这里，变量有 个.

知识点2 函数的定义（重点；难点）

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.如果当时，，那么叫做当自变量的值为时的函数值.

【命题点2 确定是不是函数】

例2 下列关系式中哪些表示是函数，哪些不是？

(1)；

(2)；

(3)；

(4)

解题归纳：在判断变量之间是不是函数关系时，应满足函数的两个特征：（1）必须有两个变量；（2）给定其中一个变量（自变量）的值，相应的唯一确定了另一个变量（函数）的值.

【命题点3 求函数值】

例3 已知.

(1)求取和时的函数值；

(2)求取10时的值.

知识点3 自变量的取值范围（重点；理解）

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围.

【命题点4 确定自变量的取值范围】

例4 求出下列函数中自变量的取值范围.

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

针对性训练

1. 小强在劳动技术课中要制作一个周长为80 cm的等腰三角形，请你写出底边长(cm)与一腰长( cm )的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

知识点4 函数的解析式（重点；难点；掌握）

用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法.这样的式子叫做函数的解析式.

【命题点5 列解析式表示函数关系】

例5 某下岗职工购进一批苹果到农贸市场零售，已知卖出的苹果质量与收入(元)的关系如下表所示：

(1)写出收入(元)与卖出的苹果质量之间的函数解析式；

(2)若卖出苹果50，则收入为多少元？

知识点5 函数的图象及其画法（重点；难点；掌握）

1. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

2. 函数图象的画法：

(1)列表；

(2)描点；

(3)连线.

拓展：①函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系：满足函数解析式的一组值确定的点一定在函数的图象上.

②在确定函数图象时要注意自变量的取值范围.

【命题点6 用描点法画函数的图象】

例6 画出函数的图象.

知识点6 从函数图象中读取信息（重点；难点；掌握）

通过观察函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图像的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系，而且还要观察函数图象的发展变化的趋势.

【命题点7 确定函数的图象】

例7 （2013*鄂州中考）一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，如图所示，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间.用表示注水时间，用表示浮子的高度，则用来表示与之间的关系的图象是（ ）

解题归纳：解答本题时，结合生活实际，需要分段讨论，另外本题重要的一点在于浮子始终保持在容器的正中间.

例8 在物理课实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数(单位：N)与铁块被提起的高度(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是（ ）

例9 （2013*湖南衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为，正方形除去圆部分的面积为(阴影部分)，则与的大致图象为（ ）

针对性训练

1. 洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）.在这三个过程中，洗衣机内的水量(升)与浆洗一遍的时间(分)之间函数关系的图象大致为（ ）

【命题点8 从函数图象中读取信息】

例10 如图所示，描述了一辆汽车在某直路上行驶过程中汽车离出发地的距离(千米)和行驶时间(小时)之间的变化情况，根据图中提供的信息，回答下列问题.

(1)汽车共行驶多少小时?

(2)汽车在图中停留了多少小时？

(3)汽车共行驶了多少千米？

(4)从图中你还能得到什么信息？(只写出一条)

例11 （2015*湖北襄阳）如图，是一台自动测温仪记录的图象，

它反映了我市冬季某天气温随时间变化而变化的关系，观察

图象得到下列信息,其中错误的是( )

A. 凌晨4时气温最低为-3℃

B. 14时气温最高为8℃

C. 从0时至14时,气温随时间增长而下降

D. 从14时至24时,气温随时间增长而下降

例12 （2013*湖北孝感)一个装有进水管和出水管的容器，从某时

刻开始的4分钟内只进水不出水在随后的8分钟内既进水又出水，

接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水

量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）

之间的部分关系如图所示．那么，从关闭进水管起，　　　　　　分

钟该容器内的水恰好放完．

针对性训练

1．(2014*浙江金华)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行

回家．如图是小明离家的路程(米)与时间(分)的函数图象，

则小明回家的速度是每分钟步行　　　　　　米．

知识点7 函数的表示方法（重点；难点；掌握）

函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法．表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．

函数的三种表示方法及优缺点：

【命题点9 用三种方法表示函数关系】

例13 (2015*浙江台州)图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度(m)与旋转时间(min)之间的关系如图2所示.

(1)根据图2填表:

(2)变量是的函数吗?为什么?

(3)根据图中的信息,请写出摩天轮的直径.

2、全方位技巧

类型题1 表示两个变量之间的关系

【角度1 用表格表示变量间的关系】

例14 父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低．”并给小明出示了下面的表格．

根据上表,父亲还给小明提出了下面几个问题:

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?

(2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么随着的变化，是怎么变化的？

(3)你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗?

解题归纳：解答这类问题时,要根据题目的要求对表格中的数据“深挖掘”,获取更多的信息,直到解决问题为止.

【角度2 用关系式表示变量间的关系】

例15 “五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”．在此活动时，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个()，则小东应付货款(元)与篮球个数(个)的关系式是 ．

类型题２ 列函数解析式表示函数关系

例16 某市出租车收费标准如下:3 km以内(含3 km)收费8元,超过3 km的部分没千米收费1.6元.

(1)写出应收费(元)与出租车行驶路程（km)之间的关系式(其中);

(2)小亮乘出租车行驶4 km,应付多少元?

(3)小波付车费16元,那么出租车行驶了多少千米?

3、分层实战训练

【基础巩固】

1. 下列各选项中的等式不表示是的函数的是（　　）

A. B.

C. D.

2. 函数中自变量的取值范围是( )

A.　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.,且 D.,且

3. 巴中到成都的路程约为400公里,小明从巴中乘坐客车到成都出差,他与成都的路程与客车行驶的时间的变化关系的图像大致是( )

4. 在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中,某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程(米)与所用时间(秒)之间的函数关系的图象分别为线段和折线,下列说法正确的是( )

A. 小莹的速度随时间的增大而增大

B. 小梅的平均速度比小莹的大

C. 在起跑后180秒时,两人相遇

D. 在起跑后50秒时,小梅在小莹的前面

【能力提升】

5. 某中学组织七、八年级学生举行“四城同创”宣传

活动，从学校坐车出发，先上坡到达A地后，宣传8分

钟，然后下坡到B地宣传8分钟返回，返回前行程情况

如图所示．若返回时,上、下坡速度仍保持不变，在A地

仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是

（ ）

A. 45.2分钟 B. 48分钟

C. 46分钟 D. 33分钟

6. (2013*浙江衢州)如图,正方形的边长为4,为正方形边上一动点,沿的路线匀速移动,设点经过的路线长为,△的面积为,则大致能反映与的函数关系的是( )

7. 周末,小李8时骑车从家出发,到野外郊游,16时回到家里．他离开家的距离(千米)与时间(时)的关系如图所示.根据这个图象回答下列问题.

(1)小李到达离家最远的地方是什么时候?

(2)小李何时第一次休息?

(3)10时到13时,小李骑了多少千米?

(4)返回时,小李的平均速度是多少?

【中考链接】

8. (2013*山东潍坊)用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水,则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是( )

9. (2012*湖北咸宁)某景区的旅游路线如图所示,其中为入口,B、C、D为风景区，E为三岔路的交汇点，图①中所给数据为相应两点间的路程（单位：km).甲游客以一定的速度沿线路“”步行浏览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到处时，共用去3h.甲步行的路程(km)与游览时间(h)之间的部分函数图象如图所示.

(1)求甲在每个景点逗留的时间,并补全图象;

(2)求C、E两点间的路程;

(3)乙与甲同时从处出发,打算游玩三个景点后回到处,两人相约先到者在处等候,等候时间不超过10 min.如果乙的步行速度为3 km/h,在每个景点逗留的时间与甲相同,他们的约定能否实现?请说明理由

10. (2015*山东威海)如图所示,△为等边三角形, ,点为边上一点,过点作∥,交与点,过点作⊥,交的延长线于点,设,△的面积为,则能大致反映与函数关系的图象是( )

　　　　　　　　　　　　　　　　　A. B.

C. D.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5fbe514ae109581b6bd97f19227916888586b9cb.html