勾股定理典型例题[含答案]免费

勾股定理复习

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

4、最短距离问题：

主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、 知识结构：

三、考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．

2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边

例如图2，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（    ）

A．21       B．15       C．6        D．以上答案都不对

【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 ．

2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是

3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）

考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高

例、如图1所示，等腰中，，

是底边上的高，若，求 ①AD的长；②ΔABC的面积．

 考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题

例、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，

，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为        ．

分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。仔细观察图形，不难发现，所有台阶的高度之和恰好是直角三角形ABC的直角边BC的长度，所有台阶的宽度之和恰好是直角三角形ABC的直角边AC的长度，只需利用勾股定理，求得这两条线段的长即可。

考点五、利用列方程求线段的长（方程思想）

１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？

【强化训练】：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。.

考点六：应用勾股定理解决勾股树问题

例、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为

 分析：勾股树问题中，处理好两个方面的问题，

一个是正方形的边长与面积的关系，另一个是正方形的面积与直角三角形直角边与斜边的关系。

点评：请同学们自己把其内在的一般变化规律总结一下。

考点七：应用勾股定理解决数学风车问题

例7、(09年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。

分析：因为，直角边AC＝6，BC＝5，当将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍后，得到四个直角边分别是12和5的直角三角形，所求的最长实边恰好是这些直角三角形的斜边长，因此，斜边长为：=13，较短的实边长是6，所以，这个风车的外围周长为：4×13+4×6=76。

解：这个风车的外围周长为76。

考点八：判别一个三角形是否是直角三角形

例1：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有

【强化训练】：已知△ABC中，三条边长分别为a＝n－１， b＝2n， c＝n＋１（n＞1）．试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角．

考点九：其他图形与直角三角形

例：如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。

考点十：构造直角三角形解决实际问题

在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高2米的小树，两树之间相距8米。今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）

考点十一：与展开图有关的计算

例、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．

【强化训练】：如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm

四、课时作业优化设计

1．设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是_____．

2．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）．

A．6cm B．8.5cm C． cm D． cm

【提升“学力”】

3．如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求DC的长．

4．如图，一只鸭子要从边长分别为16m和6m的长方形水池一角M游到水池另一边中点N，那么这只鸭子游的最短路程应为多少米？

【聚焦“中考”】

5．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？

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