第3章 矩阵
对角阵：只有对角线上有非0元素的矩阵
可以通过一个已知向量构造对角矩阵
diag(V)
设V是具有m个元素的向量，V=[v1,v2,…vm]，diag(V)生成一个mm对角矩阵，对角线上的元素就是向量V的元素
例1 设向量V=[1,2,-1,4]，用它构造一个对角矩阵。
有时需要通过一个已知向量去构造一个在其它对角线上元素非0矩阵
diag(V, k)
这里，k表示非0对角线的标记
设V是具有m个元素的向量，V=[v1,v2,…vm]，diag(V,k)生成一个(m+|k|)(m+|k|)非主对角矩阵
例2 设向量V=[1,2,-1,4]，用它构造一个k=-1非主对角矩阵。
有时需要将一个矩阵的对角线上的元素提取出来形成一个列向量
diag(A)
设A为mn矩阵，diag(A)提取矩阵A的主对角线的元素，产生一个列向量，列向量元素的个数等于m和n中的最小值min(m,n)
例1：设A=[16, 5, 9, 4; 3, 10, 6, 15; 2, 11, 7, 14; 13, 8, 12, 1]，求diag(A)
例2：设A1=[16, 5, 9; 3, 10, 6; 2, 11, 7; 13, 8, 12]，求diag(A1)
例3：设A2=[3, 10, 6, 15; 2, 11, 7, 14; 13, 8, 12, 1]，求diag(A2)
有时还需要将一个矩阵的其它对角线上的元素提取出来形成一个列向量
diag(A,k)
它的功能是提取第k条对角线的元素
例4：设A=[16, 5, 9, 4; 3, 10, 6, 15; 2, 11, 7, 14; 13, 8, 12, 1]，求diag(A,1)，diag(A,-1)
三角矩阵：分为上三角矩阵和下三角矩阵
上三角矩阵：对角线以下的元素全为0
下三角矩阵：对角线以上的元素全为0
生成上三角矩阵函数：triu(A)，triu(A,k)
例1 构造一个5阶的魔方矩阵M，求triu(M)、triu(M,2)、triu(M,-2)
M=magic(5), 分别输入triu(M)、triu(M,2)、triu(M,-2)
例2 从上例的M中去掉第1行构造45矩阵M1=[ 23, 5, 7, 14, 16; 4, 6, 13, 20, 22; 10, 12, 19, 21, 3; 11, 18, 25, 2, 9]，求triu(M1)、triu(M1,2)、triu(M1,-2)
生成下三角矩阵函数：tril(A)，tril(A,k)
例3 求tril(M)、tril(M,2)、tril(M,-2)、tril(M1)、tril(M1,2)、tril(M1,-2)
矩阵的转置A’
作用：a*ji bij，mn矩阵 nm矩阵
矩阵的旋转：rot90(A,k)
将矩阵A按逆时针旋转90度的k倍
k=1时，k可以省略
例1 设M1=[ 23, 5, 7, 14, 16; 4, 6, 13, 20, 22; 10, 12, 19, 21, 3; 11, 18, 25, 2, 9]，求rot90(M1)、rot90 (M1,2)、rot90 (M1,-1)、rot90 (M1,-2)
矩阵的左右翻转：fliplr(A)
矩阵的上下翻转：flipud(A)
例1 设M1=[ 23, 5, 7, 14, 16; 4, 6, 13, 20, 22; 10, 12, 19, 21, 3; 11, 18, 25, 2, 9]，求矩阵的左右翻转和左右翻转
fliplr(M1)，flipud(M1)
矩阵的逆：inv(A)
对于方阵A，如果存在同阶的方阵B，满足，则B和A互为逆矩阵
在数学上，求逆矩阵是很繁琐的工作，利用MATLAB中inv函数，求逆矩阵变得非常容易
例1 求M=magic(5)的逆矩阵
利用求逆矩阵的方法求解线性方程组
包含n个未知数，由n个线型方程构成的方程组可以表示为
如果未知数按下面方式构成一个列向量x、所有系数按下面方式构成一个系数矩阵A、常数按下面方式构成一个常数矩阵b
，
，
那么
，
在MATLAB中，上述运算可以这样实现
x=inv(A)*b或x=A\b
例1 已知，求x、y、z
A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27], b=[5,-2,6]’,
x=inv(A)*b或x=A\b
方阵的行列式值：det(A)
例 求M=magic(5)的行列式值
矩阵的特征值与特征向量
设A是一个n阶方阵，如果存在数λ和非0向量X，满足AX=λX，那么λ称为方阵A的特征值，非0向量X称为对A的特征值λ的特征向量
方阵A的特征值有n个：λ1、λ2、λn(可能重根)，对应的特征向量也有n个：X1、X2Xn，而且这些特征向量是线性无关的
特征值与特征向量在科学研究和工程计算方面有非常重要的应用。在量子力学中，经常遇到求解算苻的本征值和本征矢的问题。
在MATLAB中，矩阵的特征值与特征向量的求解可以通过下面的函数来实现
1. E=eig(A)
E是矩阵A的全部特征值λ1、λ2、λn所构成的向量
例 设A=[1,1,0.5;1,1,0.25;0.5,0.25,2]，求它的特征值
E=eig(A)
2. [V,D]= eig(A)
D是对角矩阵，它的对角元素是由方阵A的全部特征值λ1、λ2、λn组成
V是由全部特征向量X1、X2Xn构成的矩阵。一个特征向量可以构造成n行1列的列向量，那么V就是一个n阶方阵
，
，
例 设A=[1,1,0.5;1,1,0.25;0.5,0.25,2]，求它的特征值和特征向量
[V,D]= eig(A)
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5cbcce2e1611cc7931b765ce0508763230127453.html
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