山东省莒县2017年春学期初中数学学业水平模拟试题(一)
(满分:120分,时间:120分钟)
一、选择题(本题共12个小题,1-8题每小题3分,9-12题每小题4分,共40分)
1. 的倒数是( )
A.﹣3 B. C.3 D.
2.下列计算正确的是( )
A. += B.x6÷x3=x2 C. =2 D.a2(﹣a2)=a4
3.PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物,将0.0000025用科学记数法表示为( )
A.2.5×10﹣7 B.2.5×10﹣6 C.25×10﹣7 D.0.25×10﹣5
4.在函数y=中,自变量x的取值范围是( )
A.x< B.x≤ C.x> D.x≥
5.不等式5x﹣1>2x+5的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.一个袋子中装有3个红球和2个黄球,这些球的形状、大小.质地完全相同,在看不到球的条件下,随机从袋子里同时摸出2个球,其中2个球的颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图,小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数,这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
8.小玲每天骑自行车或步行上学,她上学的路程为2800米,骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍,骑自行车比步行上学早到30分钟.设小玲步行的平均速度为x米/分,根据题意,下面列出的方程正确的是( )
A. B.
C. D.
9.关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根,则k的取值范围是( )
A.k≤﹣ B.k≤﹣且k≠0 C.k≥﹣ D.k≥﹣且k≠0
10.下列命题中,原命题与逆命题均为真命题的有( )
①若|a|=|b|,则a2=b2; ②若ma2>na2,则m>n;
③垂直于弦的直径平分弦;④对角线互相垂直的四边形是菱形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如右图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰直角三角形的ABC的内部,
∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为( )
A.6 B.13
C. D.2
12.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:
①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;
③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
13.如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数y=的图象上,若点A的坐标为(4,﹣2),则k的值为 .
13题图 14题图 15题图 16题图
14.如图,在□ABCD中,E在AB上,CE、BD交于F,若AE:BE=4:3,且BF=2,则BD= .
15.如图,已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上,AD∥BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°,四边形ABCD的周长为10,则图中阴影部分的面积为 .
16.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是 (填序号)
三、解答题(本题共6小题,共64分)请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置.
17.(10分)某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动,现从中随机抽取部分作品,按A,B,C,D四个等级进行评价,并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
(1)求抽取了多少份作品;
(2)此次抽取的作品中等级为B的作品有 ,并补全条形统计图;
(3)若该校共征集到800份作品,请估计等级为A的作品约有多少份.
18.(10分)如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.
(1)求新传送带AC的长度;
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道,试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.(说明:(1)(2)的计算结果精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.24,≈2.45)
19.(10分)我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元,就可多售出50台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.
(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式;并求出自变量x的取值范围;
(2)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?
20.(10分)已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证:点D是AB的中点;
(2)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(3)若⊙O的直径为18,cosB=,求DE的长.
21.(12分)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC上的一个动点,连接DE,交AC于点F.
(1)如图①,当时,求的值;
(2)如图②当DE平分∠CDB时,求证:AF=OA;
(3)如图③,当点E是BC的中点时,过点F作FG⊥BC于点G,求证:CG= BG.
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22.(12分)已知:在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且对称轴为x=﹣2,点P(0,t)是y轴上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.
(2)如图1,当0≤t≤4时,设△PAD的面积为S,求出S与t之间的函数关系式;S是否有最小值?如果有,求出S的最小值和此时t的值.
(3)如图2,当点P运动到使∠PDA=90°时,Rt△ADP与Rt△AOC是否相似?若相似,求出点P的坐标;若不相似,说明理由.
初中学业水平模拟试题(一)
数学试题参考答案
一、选择题:
AABBA DDADB CB
二、填空题:
13. -8 14. 15. 16. ①④
三、解答题
17解:(1)根据题意得:30÷25%=120(份),
则抽取了120份作品;
(2)等级B的人数为120﹣(36+30+6)=48(份),
补全统计图,如图所示:
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故答案为:48;
(3)根据题意得:800×=240(份),
则估计等级为A的作品约有240份.
18解:(1)如图,作AD⊥BC于点D.
Rt△ABD中,
AD=ABsin45°=4×=2.
在Rt△ACD中,
∵∠ACD=30°,
∴AC=2AD=4≈5.6.
即新传送带AC的长度约为5.6米;
(2)结论:货物MNQP应挪走.
解:在Rt△ABD中,BD=ABcos45°=4×=2.
在Rt△ACD中,CD=ACcos30°=2.
∴CB=CD﹣BD=2﹣2=2(﹣)≈2.1.
∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.1=1.9<2,
∴货物MNQP应挪走.
19.解:(1)根据题中条件销售价每降低10元,月销售量就可多售出50台,
则月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式:y=200+50×,化简得:y=﹣5x+2200;
供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台,
则,
解得:300≤x≤350.
∴y与x之间的函数关系式为:y=﹣5x+2200(300≤x≤350);
(2)W=(x﹣200)(﹣5x+2200),
整理得:W=﹣5(x﹣320)2+72000.
∵x=320在300≤x≤350内,
∴当x=320时,最大值为72000,
即售价定为320元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大,最大利润是72000元.
20.(1)证明:连接CD,
∵BC为⊙O的直径,∴CD⊥AB,
又∵AC=BC,
∴AD=BD,即点D是AB的中点.
(2)解:DE是⊙O的切线.
证明:连接OD,则DO是△ABC的中位线,
∴DO∥AC,
又∵DE⊥AC,
∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线;
(3)解:∵AC=BC,∴∠B=∠A,
∴cosB=cosA=,
∵cosB=,BC=18,
∴BD=6,
∴AD=6,
∵cosA=,
∴AE=2,
在Rt△AED中,DE=.
21.(1)解:∵ =,
∴=.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴△CEF∽△ADF,
∴=,
∴==,
∴==;
(2)证明:∵DE平分∠CDB,∴∠ODF=∠CDF,
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线.
∴∠ADO=∠FCD=45°,∠AOD=90°,OA=OD,而∠ADF=∠ADO+∠ODF,∠AFD=∠FCD+∠CDF,
∴∠ADF=∠AFD,∴AD=AF,
在直角△AOD中,根据勾股定理得:AD==OA,
∴AF=OA.
(3)证明:连接OE.
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点.
∴点O是BD的中点.
又∵点E是BC的中点,
∴OE是△BCD的中位线,
∴OE∥CD,OE=CD,
∴△OFE∽△CFD.
∴==,
∴=.
又∵FG⊥BC,CD⊥BC,
∴FG∥CD,
∴△EGF∽△ECD,
∴==.
在直角△FGC中,∵∠GCF=45°.
∴CG=GF,
又∵CD=BC,
∴==,
∴=.
∴CG=BG.
22解:(1)对称轴为x=﹣=﹣2,
解得b=﹣1,
所以,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3,
∵y=﹣x2﹣x+3=﹣(x+2)2+4,
∴顶点D的坐标为(﹣2,4);
(2)令y=0,则﹣x2﹣x+3=0,
整理得,x2+4x﹣12=0,
解得x1=﹣6,x2=2,
∴点A(﹣6,0),B(2,0),
如图1,过点D作DE⊥y轴于E,
∵0≤t≤4,
∴△PAD的面积为S=S梯形AOED﹣S△AOP﹣S△PDE,
=×(2+6)×4﹣×6t﹣×2×(4﹣t),
=﹣2t+12,
∵k=﹣2<0,
∴S随t的增大而减小,
∴t=4时,S有最小值,最小值为﹣2×4+12=4;
(3)如图2,过点D作DF⊥x轴于F,
∵A(﹣6,0),D(﹣2,4),
∴AF=﹣2﹣(﹣6)=4,
∴AF=DF,
∴△ADF是等腰直角三角形,
∴∠ADF=45°,
由二次函数对称性,∠BDF=∠ADF=45°,
∴∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点,
∵OF=OB=2,
∴PO为△BDF的中位线,
∴OP=DF=2,
∴点P的坐标为(0,2),
由勾股定理得,DP==2,
AD=AF=4,
∴==2,
令x=0,则y=3,
∴点C的坐标为(0,3),OC=3,
∴==2,
∴=,
又∵∠PDA=90°,∠COA=90°,
∴Rt△ADP∽Rt△AOC.
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/5bb38a66dc3383c4bb4cf7ec4afe04a1b171b0cb.html
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