δ函数在量子力学中的应用
发布时间：2023-03-18 02:27:48 来源：文档文库
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２０１７年６月 第１１卷第２期 伊犁师范学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙｉｌｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｊｕｎ．２０１７ Ｖｏ１．１１ Ｎｏ．２ Ｉ！ｉ函数在量子力学中的应用 周恒为，尹红梅，高 峰 （伊犁师范学院物理科学与技术学院，新疆伊宁８３５０００） 摘要： 函数由于其奇异的性质，在物理学中有着重要的作用，首先介绍 函数的定义和性 质，并通过具体的实例归纳了其在量子力学中的应用，希望对学生能更加灵活运用８函数解决量 子力学相关问题有一定的启发． 关键词：６函数；量子力学；应用 中图分类号：Ｏ４１３．１；Ｏ１７４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３＿＿Ｊ９９９ｘ（２０１７）０２＿－００８１—０７ Ｏ引言 １９２６年，物理学家狄拉克为了解决量子力学中 １一元 函数的定义、性质及常见的 表现形式 力学量算符连续本征值谱的本征函数归一化问题， １．１一元 函数的定义 引入和定义了 函数［ ．由于６函数具有局部无限突 定义１将在区间ｆ一 ∞）上有定义，且同时满 变、整体积分有限等奇异特性，在物理学中得到了广 足下列条件式（１）和（２）的函数，称为艿函数，记为 泛应用．例如力学中质点的质量密度 、电学中点电 ∽． 荷的电荷分布ｂ 、固体物理中布拉维点阵中的格点 分布 、光学中点光源辐射的功率分布ｂ 、电路中的 信号脉冲 ，以及量子力学中坐标算符的本征函数 均可用 函数表示，这种描述不仅使复杂的问题变 得简单，而且物理意义非常清楚． ６函数的性质在量子力学中的连续谱波函数的 归一化、粒子在周期性微扰作用下的跃迁几率、 势 阱中粒子的波函数和能级、用Ｗｅｌｙ规则计算力学量 ６∽＝ ． （１） Ｌ ） ＝１． （２） 如果把坐标原点 ＝０平移至 ＝ ，则Ｓ（ｘ）就 变形为 ＝ 一 ，即得６函数的另一个定义方式，即 ６ ｘ－ ＝ ６ ｛０ ＇． ． （３）３） （４） 算符等运算中均会涉及和应用，但在以往的教学反 馈中发现，学生在用 函数处理问题时不能灵活应 ｌ＿ ６（ — 。）ｄ ＝１． 从上述定义方式可以看出， 函数必须同时满 这两个条件是矛盾的，也即 用，甚至有困难．为此，本文在介绍 函数的定义、运 足式（１）和（２）两个条件，函数的定义中没有给出函数与自变量之间的确定 算性质的基础上，归纳总结其在量子力学中的运用， 这与传统意义的函数是相悖的．随着广义 便于对 函数的学习和查阅，希望对学生在今后学 对应关系，习中，能够更加灵活变通地运用６函数解决物理问 函数概念的出现，人们意识到 函数的确切意义应 题有一定的启发和帮助． 该是在积分运算下来理解，即 函数所给出的“函数 值”只在积分运算中才有意义，也就是说， 函数是 种广义函数，基于广义函数的定义可以给出６函 数的严格定义，并可以避免前述定义中两个矛盾的 一收稿日期：２０１７—０３—２０ 基金项目：伊犁师范学院教育教学改革项目（ＪＧ２０１２０６）． 作者筒介：周恒为（１９６８一），女，博士，教授，研究方向：凝聚态物理
８２ 条件，具体见定义２． 伊犁师范学院学报（自然科学版） ２０１７－ｆｉ－－ 数不是传统意义的函数），但是某些含参数的函数， 定义２设ｆ（ｘ）是空间中的任意连续函数，如 在参数区域某种极限的情况下，就具有了 函数的 果在此空间中存在一线性连续泛函，连续泛函作用 性质，因此我们将这些函数在处理问题时就作为６ 于，∽后，在（ｎ，６）上积分，其积分值为 （０），则此泛 函数的具体表达式，这些表达式给我们的运算带来 函叫６函数．６函数标记为 方便，最常见的形式有以下几种： Ｌ￣ｆ（ｘ）ａ（ｘ）ｄｘＩ厂（０），０＜０＜ｂ． （５） １）６函数的表示ｌ ６（、 ：ｌ ｉｍ－＿＝ ：ｅ ． 如果把坐标原点 ＝０平移至 ：ｘ ，６函数可 （１９） 以定义为 Ｊ ／ ）６（ —ｘｏ）ｄｘ：－厂（ 。），ｎ＜ 。＜６． （６） 可以证明定义２等价于下列定义式（７）或（８）： Ｊ （ ６ －ｘｏ）ｄｘ＝ｆ（Ｘｏ）￡ ６ －ｘｏ）ｄｘ＝ｆ（ｘ。）， （７） Ｉ＿ ｆ（ｘ）ａ（ｘ）ｄｘ＝－厂（０）． （８） １．２一元６函数的几个常用性质 性质１ 函数是偶函数，即有 ６（一 ）＝６（ ）或为ａ（ｘ—Ｘｏ）＝ａ（ｘ。一 ． （９） 性质２设 为常数，且不为０，则有 ６（ ＝丽１ ∽． （１Ｏ） ｌ ｌ性质３ ６函数为实函数，即 ６ （ ）＝ ｆ ）． （１１） 性质４ ｆ（ｘ）ａ（ｘ— 。）＝ｆ（ｘ。） （ — 。）． （１２） 推论１）（ — 。） （ — 。）＝０或 （ ）＝０．（１３） ２）ｆ ６（ －ａ）８（ｘ一６） ＝６（０一ｂ）．（１４） 性质５阶跃函数日㈤＝｛ ’的导数可以 表示为 ㈨函数． 性质６ ６（ 的一阶导数为奇函数，高阶导数中 奇次阶导数均为奇函数，偶次阶导数均为偶函数，即 ６ （一 ）＝－６ （一 ），６ －ｘ）＝（一１） ６ （ ）， （１５） 且可以证明： 丢（ ）厂（ ） ＝一 ｄｆ， （１６） ６（ ） （＿１） ． ） 性质７ 函数可以展开为任意一组正交归一 完备的函数族 ∽线性组合，即 ＝∑ ）． （１８） １．３一元 函数常见的几个具体表示 尽管６函数只在积分运算下有意义（是广义函 ０，０ 一 、 上式中，令Ｏ／＝ ，上式可改写为 、 ）：ｌｎ—ｕ ｉｍ／ａｅ７ｒ －Ｏ￣２． （ 