一元三次方程的解法
一元三次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为3的整式方程叫做一元三次方程，一元三次方程的一般形式是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d∈R且a≠0），下面来讨论一下一元三次方程求解的问题。
已知一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0，求方程的根。
解：令![]()
word/media/image1.gif，得![]()
word/media/image2.gif①
令![]()
word/media/image3.gif，得![]()
word/media/image4.gif②
经过换元，将原方程化为一元三次方程的特殊形式（![]()
word/media/image5.gif），现在求方程②的根，
令y=u+v，两边立方得![]()
word/media/image6.gif
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word/media/image7.gif
由②③式可得，![]()
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由④⑤式可知u3和v3为方程![]()
word/media/image9.gif的两根，
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![]()
word/media/image11.gif
令![]()
word/media/image12.gif，则![]()
word/media/image13.gif，![]()
word/media/image14.gif为1的立方根，![]()
word/media/image15.gif，![]()
word/media/image16.gif
则![]()
word/media/image2.gif的根表示为
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word/media/image17.gif
由⑥可知，
1 当![]()
word/media/image18.gif时，方程有1个实根和2个共轭复根；
2 当![]()
word/media/image19.gif时，a，b是相等的两个实数，方程有3个实根，其中有1个二重实根；
3 当![]()
word/media/image20.gif时，方程有3个不相等实根。
以上解法为在卡尔丹公式基础上进一步研究得出，常用的一元三次方程解法除卡尔丹公式法外，还有盛金公式法。
下面通过几个例题具体的使用卡尔丹公式进行解题。
例题1：解方程x3-6x2+10x-8=0
解：令![]()
word/media/image1.gif=y+2，得y3-2y-4=0
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word/media/image21.gif
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word/media/image24.gif原方程的解为![]()
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例题2：解方程x3-12x+16=0
解：![]()
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word/media/image24.gif原方程的解为![]()
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例题3：解方程x3-6x-4=0
解：![]()
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word/media/image24.gif方程有3个不相等实根
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令![]()
word/media/image32.gif
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word/media/image24.gif原方程的解为![]()
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以上三个例题分别为方程根的三种情况，解一元三次方程的通法即先将方程化为特殊形式，再判断![]()
word/media/image39.gif的值属于哪一种情况，根据公式求解即可。
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