2019年江苏高考南通密卷九（南通市数学学科基地命题）

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2019年高考模拟试卷(9)

南通市数学学科基地命题

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．

1．已知集合，集合，则= ．

2．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且虚部为1，模为，则复数的实部

为 ．

3．采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号落入区间上的人数为 ．

4．运行如图算法语句，则输出的结果为 ．

5．将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的

放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ．

6．已知是等差数列，满足，则a9 = ．

7．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ．

8．若双曲线与直线无交点，则离心率e的取值范围是 ．

9．若，则= ．

10．是直角边等于4的等腰直角三角形，是斜边

的中点，，向量的终点

在的内部（不含边界），则的取值范围是 ．

11．已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围为 ．

12. 已知直线经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为，则直线的方程为 ．

13．已知函数，当时，给出以下几个结论：

； ；

； ，

其中正确的命题的序号是 ．

14．对于集合（，定义集合，

若，则集合中各元素之和为 　．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.

15．（本小题满分14分）在四边形ABCD中，CA＝CD＝AB＝1，＝1，

∠BCD＝．

（1）求BC的长；

（2）求三角形ACD的面积．

16．（本小题满分14分）如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．

（1）求证：AE //面DBC；

（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．

17.（本小题满分14分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中，，单位百米.

已知是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边相切于点M的直路l（宽度不

计），交线段于点，交线段于点.现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x

轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象.若点到轴距

离记为.

(1) 当时，求直路word/media/image65_1.png所在的直线方程；

(2) 当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

18．（本小题满分16分）已知椭圆中心在坐标原点，对称轴为轴，且过点、.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆上的任一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于.试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．

19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝＋(a，b，λ为实常数)．

（1）若λ＝－1，a＝1．

当b＝－1时，求函数f(x)的图象在点(，f())处的切线方程；

当b＜0时，求函数f(x)在[，]上的最大值．

（2）若λ＝1，b＜a，求不等式f(x)≥1的解集构成的区间D的长度．

（定义区间，，，的长度均为，其中．）

20．（本小题满分16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Mn}满足条件：M1=，当n≥2

时，Mn=－，其中数列{tn}单调递增，且tn∈N*．

（1）若an＝n，

①试找出一组t1、t2、t3，使得M22＝M1M3；

②证明：对于数列an＝n，一定存在数列{tn}，使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方；

（2）若an＝2n－1，是否存在无穷数列{tn}，使得{Mn}为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{tn}；若不存在，说明理由．

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．

A．（选修4－1：几何证明选讲）

如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是与⊙O的交点．若，

，，求线段的长．

B．（选修4－2：矩阵与变换）

变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是．

（1）求点在作用下的点的坐标；

（2）求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程．

C．（选修4－4：坐标系与参数方程）

已知直线经过点，倾斜角．

（1）写出直线的参数方程；

（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积．

D．（选修4－5：不等式选讲）

对任给的实数a和b，不等式恒成立，求实数x的取值．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设为随机变量，若为整数，则；若为小于1的分数，则；若为大于1的分数，则．

（1）求概率；

（2）求的分布列，并求其数学期望．

23．（本小题满分10分）已知为整数且，，其中， ，求证：对一切正整数，均为整数．

2019年高考模拟试卷(9)参考答案

南通市数学学科基地命题

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题

1．； 2．1； 3．6； 4．7； 5．； 6．3 ；

7．； 8． (1,2] ； 9．；10．．【解析】，根据向量分解基本定理，可得，

所以

11．．【解析】的解集为，所以或恒成立，又，所以．

12．或．【解析】设直线与和的交点为，，根据题意可得，令，可得，代入可得或，而所求直线的斜率，代入可得或，所以所求直线的方程为或．

13．.【解析】，所以，令，得，所以在内单调递减，而在内是单调递增，可知不正确，令，则，可得在不是单调的，所以不正确，令，得是单调递增，所以正确．

14．．【解析】考察中，S中的元素组成项的等差数列，，所以各元素之和为．

二、解答题

15．（1）

在⊿ABC中由余弦定理知

所以.

（2）在⊿ABC中, ,

,

.

16．（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足．

因为面DBC⊥ 面ABC，又面DBC∩面ABC＝BC，DO ⊂面DBC，

所以DO⊥ 面ABC．又AE⊥ 面ABC，则AE//DO．

又AE面DBC，DO ⊂面DBC，故AE // 面DBC．

（2）由（1）知DO⊥ 面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．

又AB⊥ BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥ 面DBC．

因为DC ⊂面DBC，所以AB⊥ DC．又BD⊥ CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥ 面ABD．

又AD⊂ 面ABD，故可得AD⊥ DC．

17．(1) 由题意得，又因为，所以直线的斜率，

故直线的方程为，即.

(2) 由(1)易知，即.

令得，令得.

由题意解得.

.

令，

则.

当时，;当时，;

当时，

当时，

所求面积的最小值为.

18．(1)依题意，设此椭圆方程为，

过点、，可得，

解之得，

所以椭圆的方程为．

(2)(i)当直线的斜率均存在时,不妨设直线,

依题意,化简得，

同理.

所以是方程的两个不相等的实数根，

.

因，所以.

所以,

设,则,所以，

因为，所以，

所以，

所以，，

所以．

(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有

综上，．

19． (1)当b＝－1时，f(x)＝－＝，则f ′(x)＝，可得f ′()＝－4，又f()＝2，

故所求切线方程为y－2＝－4 (x－)，即4x＋y－10＝0．

当λ＝－1时，f(x)＝－，

则f ′(x)＝－＋＝＝．

因为b＜0，则b－1＜0 ，且b＜＜

故当b＜x＜时，f ′(x)＞0，f(x)在(b，)上单调递增；

当＜x＜时，f ′(x)＜0，f(x)在(，)单调递减．

(Ⅰ)当≤，即b≤－时，f(x)在[，]单调递减，所以[f(x)]max＝f()＝；

(Ⅱ)当＜＜，即－＜b＜0时，[f(x)]max＝f()＝．

综上所述，[f(x)]max＝ ,

(2) f(x)≥1即＋≥1． (*)

①当x＜b时，x－a＜0，x－b＜0，此时解集为空集．

②当a＞x＞b时，不等式(*)可化为 (x－a)＋(x－b)≤(x－a)(x－b)，

展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0，

设g (x)＝x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)，

因为△＝(a－b)＋4＞0，所以g (x)有两不同的零点，设为x1，x2(x1＜x2)，

又g (a)＝b－a＜0，g (b)＝a－b＞0，且b＜a，

因此b＜x1＜a＜x2，

所以当a＞x＞b时，不等式x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0的解为b＜x≤x1．

当x＞a时，不等式(*)可化为 (x－a)＋(x－b)≥(x－a)(x－b)，

展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≤0，

由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2 ,

综上所述，f(x)≥1的解构成的区间为(b，x1]∪(a，x2]，

其长度为(x1－b)＋(x2－a)＝x1＋x2－a－b＝a＋b＋2－a－b＝2．

20．（1）若an＝n，则Sn＝，

①取M1＝S1＝1，M2＝S4－S1＝9，M3＝S13－S4＝81，满足条件M22＝M1M3，

此时t1＝1，t2＝4，t3＝13．

②由①知t1＝1，t2＝1＋3，t3＝1＋3＋32，则M1＝1，M2＝32，M3＝92，

一般的取tn＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝，

此时＝，＝，

则＝－＝－＝(3n－1)2，

所以为一整数平方．

因此存在数列{tn}，使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方．

（2）假设存在数列{tn}，使得{Mn}为等比数列，设公比为q．

因为Sn＝n2，所以＝tn2，则M1＝t12，当n≥2时，Mn＝tn2－tn－12＝qn－1 t12，

因为q为正有理数，所以设q＝(r，s为正整数，且r，s既约)．

因为tn2－tn－12必为正整数，则t12∈N*，由于r，s既约，所以必为正整数．

若s≥2，且{tn}为无穷数列，则当n＞logst12＋1时，＜1，这与为正整数相矛盾．于是s＝1，即q为正整数．

注意到t32＝M3＋M2＋M1＝M1(1＋q＋q2)＝t12 (1＋q＋q2)，于是＝1＋q＋q2．

因为1＋q＋q2∈N*，所以∈N*．

又为有理数，从而必为整数，即1＋q＋q2为一整数的平方．

但q2＜1＋q＋q2＜(q＋1) 2，即1＋q＋q2不可能为一整数的平方．

因此不存在满足条件的数列{tn}．

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21．A．因为BE切⊙O于点B，所以，

因为，，所以，则．

又因为，所以，

所以．

B．（1），

所以点在作用下的点的坐标是.

（2），设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，也就是，即，

所以所求曲线的方程是.

C．（1）直线的参数方程为，即．

（2）把直线代入，

得，，

则点到两点的距离之积为．

D．由题知，恒成立，

故不大于的最小值，

∵，当且仅当时取等号,

∴的最小值等于2.

∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得．

22．（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使为整数的有以下8种：

（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以；

（2）随机变量的所有取值为，，，

有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），

故；

有以下2种：（3，2），（4，3），故；

所以的分布列为：

，

答：的数学期望为．

23．构造的对偶式，下面用数学归纳法证明更强的结论：，都是整数．

（1）当时，由知，则，，于是，都是整数；

（2）假设当时，、都是整数，则当时，

．

同理可得，．由（1）、（2）知、都是整数．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5a4cb5fd8f9951e79b89680203d8ce2f0066659b.html