2014年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测
高三文科数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意事项：
1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．
1．设全集
，集合
，集合
．则下图中的阴影部分表示的集合为（▲）
A． B．
C． D．
答案：B
命题意图：本题考查集合的基本运算，简单题．
2．设是虚数单位，则复数
=（▲）
A． B．
C．
D．
答案：C
命题意图：本题考查复数的基本运算，简单题．
3．“”是“
”的（▲）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
命题意图：本题考查简易逻辑，简单题．
4．执行如下图所示的程序框图，若输入的值分别为
和
,则输出
（▲）
A．0 B．1 C．2 D．
答案：C
命题意图：本题考查程序框图，简单题．
5．若双曲线与抛物线
有相同的焦点，则
的值为（▲）
A．4 B． C．2 D．
答案：B
命题意图：本题考查双曲线的定义及计算，简单题．
6. 设，且
，则
有 （▲）
A．最大值27 B．最小值27 C．最大值54 D．最小值54
答案：D
命题意图：本题考查基本不等式应用，指数函数的性质，简单题．
7. 下列命题中错误的是（▲）
A. 如果平面⊥平面
，平面
⊥平面
，
，那么
B. 如果平面⊥平面
，那么平面
内一定存在直线平行于平面
C. 如果平面不垂直于平面
，那么平面
内一定不存在直线垂直于平面
D. 如果平面⊥平面
，
，过
内任意一点作
的垂线
，则
答案：D
命题意图：本题考查空间线面位置关系，简单题．
8. 函数的图象向左平移
后所得的图象关于
轴对称，则
的值可能是（▲）
A. B．
C．
D．
答案：A
命题意图：本题考查三角函数图形变换，简单题．
9．在△ABC中，已知向量与
满足
，且
，则△ABC为（▲）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
答案：A
命题意图：本题考查向量的数量积运算及应用，中等题．
10．已知定义在R上的奇函数，其导函数为
，当
时，恒有
.若
，则满足
的实数
的取值范围是（▲）
A． B．
C．
D．
答案：B
命题意图：本题考查导数的应用，函数的性质，较难题．
第II卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．
11．已知函数满足：
，且当
，
则 ▲ ．
答案：４
命题意图：本题考查函数的周期性，简单题．
12．为了判断高中学生的文理科选修是否与性别有关系，随机调查了50名学生，得到如下2×2列联表：
已知，
.
根据表中数据，得到.
则认为选修文科与性别有关系的可能性不低于 ▲ ．
答案：95%.解析 ∵，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，选修文科与性别有关系的可能性不低于95%.
命题意图：本题考查独立性检验，列联表，简单题．
13．若实数满足
且
的最小值为4，则实数
的值为 ▲ ．
答案：3
命题意图：本题主要考查线性规划，中等题．
提示：当过
与
的交点时，
取得最小值．即
、
、
共点．
14．将全体正整数按右图规律排成一个三角形数阵，若数2014在图中第
行从左往右数的第
位．则
为 ▲ ．
答案：
命题意图：本题考查等差数列，规律探求．中等题．
15．如果三棱锥的底面
是正三角形，顶点
在底面
上的射影是△
的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥．给出下列结论：
① 正三棱锥所有棱长都相等；
② 正三棱锥至少有一组对棱（如棱与
）不垂直；
③ 当正三棱锥所有棱长都相等时，该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值；
④ 若正三棱锥所有棱长均为，则该棱锥外接球的表面积等于
．
⑤ 若正三棱锥的侧棱长均为2，一个侧面的顶角为
，过点
的平面分别交侧棱
，
于
．则△
周长的最小值等于
．
以上结论正确的是 ▲ （写出所有正确命题的序号）．
答案：③，④，⑤
命题意图：本题综合考查空间线面关系，类比、转化思想，较难题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡指定区域答题．
16． (本小题满分12分)
已知向量，
，函数
2(
＋
)·
．
(Ⅰ) 求函数的最小正周期；
(Ⅱ) 在中，角
的对边分别为
，且
，
．
求外接圆的半径．
命题意图：本题综合考查平面向量的数量积、三角恒等变换、解三角形，简单题.
【解析】
(Ⅰ) 2(
+
)·
………………………………………………………4分
………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，又
∴
又∵A是△ABC的内角，
∴…………………………………………………8分
由余弦定理：
…………………………………………………………………10分
由正弦定理………………………12分
17．（本小题满分12分）
为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：
(Ⅰ) 完成下面的月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；
(Ⅱ) 试由上图估计该单位员工月平均工资；
(Ⅲ) 若从月工资在和
两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．
命题意图：本题考查频率分布直方图、样本特征数、古典概型，简单题．
【解析】
(Ⅰ)如图（4分）
(Ⅱ)
即该单位员工月平均工资估计为4300元.…………………………………………8分
(Ⅲ)由上表可知：月工资在组的有两名女工，分别记作甲和乙；月工资在
组的有四名女工，分别记作A,B,C,D.现在从这6人中随机选取2人的基本事件有如下15组：
（甲，乙），（甲，A），（甲，B），（甲，C），（甲，D），
（乙，A），（乙，B），（乙，C），（乙，D），
（A，B），（A，C），（A，D），
（B，C），（B，D），
（C，D）
其中月工资差不超过1000元，即为同一组的有（甲，乙），（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共7组，
∴所求概率为……………………………………………………………………12分
18． (本小题满分12分)
如图，多面体ABCDEFG中，四边形ABCD，CDEF都是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AG⊥平面ABCD，且AG=1．
（Ⅰ）若P是BC的中点，证明AP∥平面BFG；
（Ⅱ）求四面体ABEG的体积．
命题意图：本题综合考查空间线、面的位置关系，体积的计算，中等题．
【解析】
（Ⅰ）取BF中点Q，连PQ、GQ，则PQ∥CF，且PQ=CF=AG=1，
∵CDEF是正方形，DE⊥平面ABCD，
∴ CF⊥平面ABCD，
∴PQ⊥平面ABCD，
又AG⊥平面ABCD，
∴PQ∥AG，APQG为矩形，
∴AP∥GQ
∵QG平面BFG，AP
平面BFG，
∴AP∥平面BFG………………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵AG⊥平面ABCD，∴AG⊥AD，
又ABCD是矩形，∴AB⊥AD
从而AD⊥平面ABG
又DE⊥平面ABCD，∴AG∥DE
∴…………………………12分
19．(本小题满分13分)
已知数列的前
项和为
，
，且
，
.
(Ⅰ) 当实数为何值时，数列
是等比数列？
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的结论下，设，数列
的前
项和
，证明
．
命题意图：本题考查等比数列的通项公式，前n项和公式，错项相减、不等式证明等，中等题．
【解析】
(Ⅰ)方法1：由题意得
两式相减得……………………………2分
所以当时，
是以3为公比的等比数列．
要使时，
是等比数列，则只需
……………………4分
方法2：由题意，，
，
要使为等比数列，则有：
解得或
（
时，
，不合题意，舍去）
时，
，
，
符合题意．
所以………………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知，
…………………………………………6分
………………………………………………………………7分
①
②
1 -②得…………………………9分
…………………………………………………11分
故．. …………………………………………………13分
20．（本小题满分13分）
已知椭圆的两个焦点分别为
，
,短轴的两个端点分别为
；且
为等腰直角三角形.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 若直线与椭圆
交于点
，且
，试证明直线
与圆
相切.
命题意图：本题考查椭圆的方程与性质、直线与二次曲线的位置关系，较难题．
【解析】
(Ⅰ)设椭圆的方程为
.
根据题意知, 解得
,
…………………………………………4分故椭圆
的方程为
. …………………………………………………………5分(Ⅱ)当直线
的斜率不存在时,易知
为等腰直角三角形，设点
，代入椭圆方 程易得
，即直线
方程为
,符合题意； ……………………………6分当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
. 由
，消去
得：
. 设
,则
①
从而 ②……………………8分因为
,所以
,即
将①②代入得：
化简得：，
故…………………………………………………………………………10分另一方面，点
到直线
的距离为
；……………12分
故直线与圆
相切. ………………………………………………………………13分
21.（本题满分13分）
已知，函数
，
．
(Ⅰ) 当时，求曲线
在点
处的切线方程；
(Ⅱ) 讨论的单调性；
(Ⅲ) 当时，若函数
有三个不同的零点，求实数
的取值范围．
命题意图：本题考查导数的几何意义、导数的应用，分类讨论、数形结合思想，较难题．
【解析】
(Ⅰ)当时，
，
设切线方程为，
∵，
，
代入切线方程，化简得：………………………………………………3分
(Ⅱ)
，
∵，由
………………………………4分
①当时，
在区间上
，在区间
上
∴函数的单调递增区间是
，
单调递减区间是…………………………………………………………6分
②当时，
，在区间
上
，在区间
上
∴函数的单调递增区间是
，
单调递减区间是.……….……………………. ……………. …………7分
③当时，
恒成立，故函数
的单调递增区间是
，没有单调递减区间…………………………………………………………………………………8分
(Ⅲ)∵与
的单调性相同，当
，由(Ⅱ)②可知：
函数有三个不同的零点等价于
………………10分
又，……………………………………………………………12分
∴∴
…………………13分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5940527e0b4c2e3f572763ad.html
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