高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例3．设word/media/image1.gif、
word/media/image2.gif、
word/media/image3.gif是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且
word/media/image4.gif．
【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A、B、P共线word/media/image5.gifm+n=1，且
word/media/image4.gif成立；（2）上述条件成立
word/media/image5.gifA、B、P三点共线．
【证明】（1）由三点共线word/media/image5.gifm、n满足的条件．
若A、B、P三点共线，则word/media/image6.gif与
word/media/image7.gif共线，由向量共线的条件知存在实数
word/media/image8.gif使
word/media/image9.gif，即
word/media/image10.gif，∴
word/media/image11.gif．
令word/media/image12.gif，n=
word/media/image8.gif，则
word/media/image13.gif且m+n=1．
（2）由m、n满足m+n=1word/media/image5.gifA、B、P三点共线．
若word/media/image13.gif且m+n=1，则
word/media/image14.gif．
则word/media/image15.gif，即
word/media/image16.gif．
∴word/media/image17.gif与
word/media/image18.gif共线，∴A、B、P三点共线．
由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．
举一反三：
【变式1】设e1，e2是平面内的一组基底，如果word/media/image19.gif，
word/media/image20.gif，
word/media/image21.gif，求证：A，C，D三点共线．
【解析】 因为word/media/image22.gif，所以
word/media/image23.gif与
word/media/image24.gif共线．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5850dc1faff8941ea76e58fafab069dc5122476d.html
文档为doc格式