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2018年湖南省郴州市初中生能力竞赛试卷

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2018年湖南省郴州市初中生能力竞赛试卷; （试题卷）; 本试卷共*页，有3道大题，16小题，满分130分，考试时间120分钟. 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．5张不同卡片分别写有数字2,3,4,5,6,从中任意取出3张，则这三张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是; A．3213 B． C． D．

53242．点P是直线xy40上一动点，O为原点，则|OP|的最小值为 A．2 B．2 C．22 D．4 3．已知abc≠0，并且abbccap,则直线ypxp一定经过 cabA．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
2a36a2a31 4．已知a，则22a12;;A．3 B．3 C．32 D．32 5．如果2014a0，那么|xa||x2014||xa2014|的最小值是
A．2014 B．a2014 C．4028

D．a4028
6．如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F.已知ABAC10，BC12，且PD∶PE∶PF1∶∶33.则四边形PDCE的面积为
A．10 B．15 C．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
227．已知m5m10，则2m5m4050 D． 331_______ ____. m2
8．分解因式：（x23x3(x23x48= ．
9. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图方式放置，点A1，A2，A3…和点C1，C2，C3，…，分别在直线ykxbk0和x轴上．已知点B1（1，1），B2（3，2），请写出点Bn的坐标是 ．
10．已知直线y2x3与抛物线y2x23x1交于A(x1，y1，B(x2，y2两点，则11 ． x11x21CD上，F分别在边BC，11．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E，且EAF45，则△CEF的周长为 ．
212．若1x3时，二次函数y2x3ax4的最小值为23，则a ．
三、解答题（13～14每题15分，15～16每题20分，共70分）
13.若关于x的二次函数yx2mxm6与x轴的两个交点的横坐标分别是,，试求(12(12的最小值.



14. 在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明CECF；
（2）若ABC90，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若ABC120，FG∥CE，FGCE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG 的度数．

2




15.已知一次函数y2x4的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点P在该函数图象上， P到轴x，y轴的距离分别为d1，d2. （1）当P为线段AB的中点时，求d1d2的值；
（2）直接d1d2写出的范围，并求当d1d23时点P的坐标；
（3）若在线段AB 上存在无数个P点，使d1ad24（a为常数）， 求a的值.




16. 如图，在平面直角坐标系中，A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D,交线段OB于点E.已知CD=8，抛物线经过O，E，A三点. （1）求直线OB的函数表达式； （2）求抛物线的函数表达式；
（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P，O，A，E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有．．．．3个.




2018年郴州市能力竞赛试卷
初中数学参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1.B 2.C 3. B 提示：P=1或-1 4.A 解析： 由a31，知2a31，22a13，4a24a13，2a212a.
22a36a2a2a3a6a11a212a3a3a∴

2a212a222
2a1(3113. 5.A 6.C 解析：如图，连结PA，PB，PC.易知S△ABC112848
2S△ABCS△PBCS△PCAS△PAB111BCPDCAPEABPF2226PD5PE5PF48，PD∶PE∶PF1∶∶33
∴ PD4，PEPF4 ,由PEPF知点P在BAC的平分线上，
3A、P、D三点共线. ∴ PC2PD2DC2
144196 ∴ EC EC2PC2PE2PD2DC2PE2(26242339∴
S四边形PDCES△PDCS△PEC111411440 PDDCPEEC642223233二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
27. 28 8.(x1(x4(x3x5 9.(21,2nn1

10.
95
y2x322x5x20 ①，依题意，x1，x2为方程①的两解析：由，得2y2x3x15(x1(x11(x1x1211x1x2,根， 22∴
x11x21(x11(x21x1x2(x1x21∴xx1,12529251152.

11. 2
解析：如图，在CD的延长线上取点G，使得DGBE，连结GA则由ABCD为正方形，易得△ABE≌△ADG
GAEAG ∵ EAF45， ∴ BAEDA，DAFBAE D∴ GAFGAD90EAF45EAF
AEAG，EAFGAF，于是，在△EAF与△GAF中，≌△GA，FEFGF AFAF ∴ △EAF△CEF的周长

lECEFFC1BEGFFC1GDGDDFFC2
12. 5

2解析：∵ y2x3ax42(x3292aa4，1x3， 48
34a1，即a时，则当x1时，y取最小值63a. 43294，不符合要求. 由63a23知，a3334392若1a3，即a4时，则当xa时，y取最小值a4由4348∴ 若9a2423知，a224，得a26，均不符合要求. 83若a3，即a4时，则当x3时，y取最小值229a.由229a23知，a5，4符合要求. ∴ a5. 三、解答题（13～14每题15分，15～16每题20分，共70分） 13. 解：由题意知：,为方程x22mxm60的两根， ∵△=4m4(m60 ， ∴m3或m2
. 22m,由韦达定理得：

m6.∴Q(12(12(222(24m22(m64m2

394(m2

44当m2时，函数值随m值得增大而减小，
∴当m2 时，Qmin18. 当m3时，函数值随m值得增大而增大， ∴当m3 时，Qmin8. 综上，(1(1的最小值为8. 14. (1 证明：如图1. ∵ AF平分BAD，∴BAF=DAF， ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD//BC，AB//CD。
∴ DAF=CEF，BAF=F， ∴ CEF=F，∴ CE=CF． (2 BDG=45．
(3 分别连结GB、GE、GC(如图2. ∵ AB//DC，ABC=120， ∴ ECF=ABC=120， ∵ FG //CE且FG=CE, ∴ 四边形CEGF是平行四边形． 由(1得CE=CF, ∴□CEGF是菱形, 22ABDECF图1
∴ EG=EC，GCF=GCE= ∴ △ ECG是等边三角形. ∴ EG=CG, 1ECF=60．
2 GEC=EGC=60, ∴GEC=GCF, ∴BEG=DCG, 由AD//BC及AF平分BAD可得BAE=AEB， ∴AB=BE. 在□ABCD中，AB=DC. ∴BE=DC, ∴△BEG △DCG. ∴ BG=DG，1=2, ∴ BGD=13=23=EGC=60. ∴ BDG=1(180BGD=60．
215.解：（1）∵一次函数y2x4的图像与x 轴、y轴分别相交于点A、B， ∴A2, 0、B0, 4.∵P为线段AB的中点，∴P1, 2.∴d1d2123. （2）d1d22.
∵设Pm, 2m4，.∴d1d2m2m4. 当m<0时，d1d2m2m4m42m3m4， 由3m43解得m，与m<0不合，舍去. 当0m<2时，d1d2m2m4m42mm4， 由m43解得m1，此时P1, -2. 当m2时，d1d2m2m4m2m43m4， 由3m43解得m13772，此时P, . 33372综上所述，当d1d23时点P的坐标为1, -2或, . 33（3）设Pm, 2m4，∴d12m4, d2m. ∵点P在线段AB 上，∴0m2.∴d14m, d2m. ∵d1ad24，∴42mam4.∴a2m0∵存在无数个P点，∴a2.


16. 解：（1）如答图1，连接OC， ∵OA为直径 ∴OB⊥AC，又AB=BC， ∴OB是的垂直平分线.∴OC=OA=10. 在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6. ∴C(6，8，B(8，4. ∴直线OB的函数表达式为y1x.
2（2）∵E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3，即E(6，3．∵抛物线过O(0，0，E(6，3 ，A(10，0，∴设此抛物线的函数关系式为yaxx10，把E1. ∴此抛物线的函81125数关系式为yxx10，即yxx．

884点坐标代入得36a610，解得a（3）设点Pp， 15p²84p，
①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如答图2， ∵OP所在直线函数关系式为：y∴当x=6时，y185x， 4315315p，即Q点纵坐标为p. 4242315393p. ∴QEp4242∴S四边形POAE= S△OAE ＋S△OPE = S△OAE ＋S△OQE－S△PQE
=111OADEQEDxQEDxPx 222=10312139139393572p6p6pp2p15p6. 2422428482…………………………………………………………(12分） ②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如答图3，15Pp， p²84p，A(10，0，
∴设AP所在直线方程为：y=kx＋b，
10kb0把P和A坐标代入得，125，
pkbpp84
1kp158解得.∴AP所在直线方程为：ypxp.
84b5p4∴当x=6时，y65111ppp，即Q点纵坐标为p.∴QE=p3. 84222∴S四边形POAE= S△OAE ＋S△APE= S△OAE ＋S△AQE －S△PQE =111OADEQEDAQEPxDx 222=11111112103p34p3p6p24pp816. 2222244∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个， 令32957pp1516，解得，p3. 843∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个.
综上知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/583a7c05326c1eb91a37f111f18583d049640fc1.html

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