[同步检测]江苏省 扬中市第二高级中学2020-2021学年第一学期高二数学周练3

江苏省扬中市第二高级中学2020-2021第一学期高二数学周练3

姓名

一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．

1．数列的一个通项公式是 (　 　)

A． B． C． D．

2．已知等差数列的前项和为，且，则 （ ）

A． B． C． D．

3．已知等差数列的前项和为，若，则 ( )

A．38 B．39 C．41 D．42

4．等差数列中，若，则下列数据不是 （ ）

A． B． C． D．

5．已知正项数列满足：，则使成立的的最大值为 ( )

A．3 B．4 C．24 D．25

6．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为 （　 　）

A． B． C． D．

7．焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角

形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 （ ）

A． B． C． D．

8．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是（ ）

A． B． C． D．

二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）

9．等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选择项正确的是 （ ）

A．公差 B． C．当时最小 D．时，的最小值为

10．设等差数列的前n项和为，公差为d．已知，，，则 （ ）

A． B．

C．时，n的最小值为13 D．数列中最小项为第7项

11．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点的距离相等的点的轨迹可能是 （ ）

A. 圆 B. 直线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支

12．已知双曲线，右顶点为，以A为圆心，为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点，若，则有 （　 　）

A．渐近线方程为 B．

C． D．渐近线方程为

二、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．等差数列的前n项和为，若，则的值是_ ___．

14．等差数列公差且，若则　6　；若，则m＝　 　．

15．记等差数列的前n项和分别为，若，则　 　．

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，与在一象限的公共点为P，若直线斜率为，则双曲线离心率为　 ．

三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在等差数列中，已知：，.（1）求数列公差.

（2）求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值.

18．等差数列的前项和为.

（1）若，证明：数列为等差数列；

（2）若， ，求的值.

19．平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元．

（1）每台充电桩第几年开始获利？（）

（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．

20．数列中，，且满足．

（1）求数列的通项公式．

（2）设，是否存在最大的整数，使得任意的均有总成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由．

21．已知椭圆和直线,椭圆的离心率,直线与坐标原点的距离为.（1）求椭圆的方程;（2）已知定点,若直线与椭圆相交于两点,试判断是否存在值,使以为直径的圆过定点？若存在求出这个的值,若不存在,说明理由.

22．已知等差数列，

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，求；

（3）是否存在正整数，使得仍为数列中的项，若存在，求出所有满足的正整数的值；若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题

二、填空题．

13．； 14．；

15．； 16．；

三、解答题

17．解：（1）设等差数列的公差为，

由，

所以等差数列的公差为；

（2）因为，

所以，

当时，有最小值，此时正整数的值为.

18．解：（1）设的公差为，则，

时， ，所以数列为等差数列

（2）因为等差数列的前项和为，

，解得：

19．解：（1）设第年的维修费用为，则是以1000为首项，以400为公差的等差数列，

设的前项和为，则，

设一台充电桩前年的累计利润为，

则f（n）＝6400n﹣200n2﹣800n﹣12800＝﹣200（n2﹣28n+64），

令f（n）＞0，可得n2﹣28n+64＜0，

解得：，

∴每台充电桩从第3年起开始获利．

（2）每台充电桩的平均年利润为，

∵，当且仅当即n＝8时取等号，

∴，当且仅当n＝8时取等号．

∴每台充电桩在第8年时，年平均利润最大．

【点评】本题考查了等差数列的前n项和，基本不等式的应用，属于中档题．

20． 解：（1）∵

∴

∴ 是常数列．

∴

∴ ．

∴；

（2），

∴．

假设存在整数满足总成立．

又

∴ 数列是单调递增的．

∴ 为的最小值，故，

即．又

∴ 适合条件的的最大值为．

21．解：（1）由直线,与原点的距离为,

∴①

又由,得,又∵②

将②代入①得,即，

∴所求椭圆方程是；

（2）设,,

由,得,

由,得或,

∴,,

∴

∵以为直径的圆过点,∴,即,

由,,

得,∴,

∴,解得,

∴当时,以为直径的圆过定点.

22．解：（1）因为数列为等差数列，

，

；

（2）由（1）知，当时，，当时，，

，

设数列的前项和为，

当时，

；

（3），

令（其中且是奇数），则

故为的约数，又是奇数，的可能取值为，

当时，是数列则的第项；

当时，不是数列中的项.

所以存在，满足条件的正整数

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