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抛物线中的定值、定点问题

发布时间：2023-03-16 22:13:31 来源：文档文库

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抛物线中的定值、定点问题
例1过抛物线y2px(p0的焦点的一条直线和此抛物线交于A(x1,y1，B(x2,y2两点，求证：2y1y2p2.【规范解答】
pp,0，可设其方程为xmy，代入y22px22pp222得y2p(my，即y2pmyp0.该方程的两根就xmy是两个交点A,B的纵坐标22证法一：因直线AB过焦点F(y1,y2，由韦达定理：y1y2p2.2y12y2p证法二：因A,B在抛物线上，故可设A(,y1,B(,y2.又F(,0，故22p2p2y12py2pFA(,y1,FB(,y2,因A,F,B三点共线，所以
2p22p22y12py2p(y2(y12p22p22移项分解因式得：(y1y2p(y1y20，其中y1y2,故y1y2p2.证法三：如图1，过点A,B,F分别作准线的垂线，垂足为A1,B1,F1.要证明y1y2p2，只要证明A1F1B1F1F1F.
2AFAA1,12；同理34.而A1AFB1BF1800（A1A∥B1B），故12341800，
0所以1390.A1FB190.0由直角三角形的性质得：A1F1B1F1F1F.
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