第二讲 圆锥曲线的概念及性质
一、选择题
1．(2010·安徽)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 ( )
A. B.
C.
D．(
，0)
解析：∵原方程可化为－
＝1，a2＝1，
b2＝，c2＝a2＋b2＝
，
∴右焦点为.
答案：C
2．(2010·天津)已知双曲线－
＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝
x，它的一个
焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为 ( )
A.－
＝1 B.
－
＝1
C.－
＝1 D.
－
＝1
解析：∵渐近线方程是y＝x，∴
＝
.①
∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上，
∴c＝6.②
又c2＝a2＋b2，③
由①②③知，a2＝9，b2＝27，
此双曲线方程为－
＝1.
答案：B
4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，
A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ ( )
A．4
B．8 C．8
D．16
解析：解法一：AF直线方程为：
y＝－(x－2)，
当x＝－2时，y＝4，∴A(－2,4
)．
当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6，
∴P(6,4)，
∴|PF|＝|PA|＝6－(－2)＝8.故选B.
解法二：∵PA⊥l，∴PA∥x轴．
又∵∠AFO＝60°，∴∠FAP＝60°，
又由抛物线定义知PA＝PF，
∴△PAF为等边三角形．
又在Rt△AFF′中，FF′＝4，
∴FA＝8，∴PA＝8.故选B.
答案：B
5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆
顶端仰角相等的点的轨迹为 ( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆
顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝
，从而
PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图
2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得＝2
化简得x2＋y2＋x＋25＝
0，显然，P点的轨迹为圆．
答案：A
二、填空题
解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c<b⇒c2<b2＝a2－c2⇒e2<
，又
e∈(0,1)，所以e∈.
答案：
7．(2010·浙江)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在
抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
解析：F
，则B
，
∴2p×＝1，解得p＝
.
∴B，因此B到
该抛物线的准线的距离为
＋
＝
.
答案：
8．(2010·北京)已知双曲线－
＝1的离心率为2，焦点与椭圆
＋
＝1的焦点相同，
那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
解析：∵椭圆＋
＝1的焦点为(±4,0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，
∴c＝4，＝2，c2＝a2＋b2，
∴a＝2，b2＝12，
∴双曲线方程为－
＝1，
∴渐近线方程为y＝±x＝±
x，
即x±y＝0.
答案：(±4,0) x±y＝0
即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e
＝a－
.又由|BF|＝2|FD|，得a＝
2a－，整理得a2＝3c2，
即e2＝，解得e＝
.
答案：
三、解答题
10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和
，
过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．
解：解法一：设椭圆的标准方程是＋
＝1(a>b>0)或
＋
＝1(a>b>0)，两个焦点
分别为F1、F2，则由题意，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，∴a＝
.在方程
＋
＝1
中，令x＝±c，得|y|＝.在方程
＋
＝1中，令y＝±c，得|x|＝
.依题意知
＝
，
∴b2＝.即椭圆的方程为
＋
＝1或
＋
＝1.
解法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，
则|PF1|＝，|PF2|＝
.
由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，即a＝
.
由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴．
故在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝
，
∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝
.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋
＝1或＋
＝1.
11．(2010·湖北)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到
y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，
都有·
<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．[来源:状*元*源]
解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足－x＝1(x>0)，
化简得y2＝4x(x>0)．
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
设l的方程为x＝ty＋m，由得
y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)>0，于是 ①
又＝(x1－1，y1)，
＝(x2－1，y2)，
·
<0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0. ②
又x＝，于是不等式②等价于
·
＋y1y2－
＋1<0⇔
＋y1y2－
[(y1＋
y2)2－2y1y2]＋1<0， ③[来源:Z+xx+k.Com]
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2， ④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，
即3－2<m<3＋2
.
由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直
线，都有·
<0，且m的取值范围是(3－2
，3＋2
)．
12．(2009·陕西，21)已知双曲线C的方程为－
＝1(a>0，b>0)，离心率e＝
，顶点
到渐近线的距离为
.
(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两
条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若＝
λ
，λ∈
，求△AOB面积的取值范围．
解：解法一：(1)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线ax－by＝0的距离为，
∴＝
，即
＝
.
由得
∴双曲线C的方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x.
设A(m,2m)，B(－n,2n)，m>0，n>0.
由＝λ
＝λ
得P点的坐标为
，
将P点坐标代入－x2＝
1，
化简得mn＝，
设∠AOB＝2θ，∵tan＝2，
∴tan θ＝，sin 2θ＝
.
又|OA|＝m，|OB|＝
n，
∴S△AOB＝|OA|·|OB|·sin 2θ
＝2mn＝＋1.
记S(λ)＝＋1，λ∈
，
则S′(λ)＝.[来源:zyy100.com]
由S′(λ)＝0得λ＝1，又S(1)＝2，
S＝
，S(2)＝
，
∴当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2，当λ＝时，△AOB的面积取得最大值
.∴△AOB面积的取值范围是
.
解法二：(1)同解法一．
(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，[来源:Z*xx*k.Com]
由题意知|k|<2，m>0.
由[来源:状_元_源Z_y_y_100]
得A点的坐标为，
由，得B点的坐标为
.
由=λ
得P点的坐标为
，
将P点坐标代入－x2＝1得
＝
.
设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m)．
S△AOB＝S△AOQ＋S△BOQ＝|OQ|·|xA|＋
|OQ|·|xB|＝
m·(xA－xB)＝
m
＝
·
＝＋1.
以下同解法一．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/55c22c20dd36a32d7375817a.html
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