《九章算术》及对中国古数学的影响

数理学院数学史课程结课论文

学 院： 数理学院

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专 业： 数学与应用数学

《九章算术》及对中国古数学的影响

摘要： 本文简单介绍了《九章算术》的成书，内容，思想，地位；从数学教育，对后世数学家著书立说的典范作用，对后世数学的思想，表现《九章算术》对我国数学发展的影响。

关键字：《九章算术》，计算，数学教育，影响

《九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产, 是中国古代数学发展史上的重要里程碑,它对中国古代数学发展的影响之大是任何其他数学书籍不能相比的。它几乎成了中国古代数学的代名词。中国历代数学家从中济取着丰富的营养, 不断地将中国数学推向前进。

《九章算术》的成书年代，成书于何时，目前仍未能判定。但从现有史料所载，如东汉时马续、郑玄等都学习或研究过该书；东汉时期甚至把这部书规定为国家校核度量衡的依据等，可见该书在东汉时期已广为流传了。而《九章算术》的作者，我们认为这部书是在较长时期内，经多人之手，整理、修改，逐步充实而成的。比如刘徽就说过：“往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。”

《九章算术》的内容十分丰富。它采用问题集的形式, 收有2 4 6 个与生产实践有联系的应用题,包括问题、答案和术三部分, 并配有插图。分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程和勾股等九章，这些题目来源于实际, 又进行了改造、整理和虚构, 从而使其更具有一般意义。题目的答案简洁明了。其术则是用简练, 规范的语言将计算步骤编制成一个个程序, 构成了一些定理或公式。这种编写体例成为中国古代数学著作典范，16世纪之前的中国数学著作基本上都采用了这种体例。

《九章算术》以计算为主, 体现了重实用的原则, 但又不乏理论基础, 如正负术、经率术、开立方术、勾股定理等。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。尽管有个别问题的解答公式有误差或者仅提供了一种近似计算法, 但基本上体现了理论与实践相结合的原则。《九章算术》以解决问题为目的, 将代数与几何结合起来处理, 几何与代数交错贯穿, 相辅相成, 图文并茂, 体现了数形结合的思想。这成为后世中国数学发展的一种特点。

如果将埃及纸草, 巴比伦泥版文书, 阿拉伯、印度、中世纪欧洲、日本等地历史上数学原始文献中的著名算题与有选择地选取《九章算术》的算题汇在一起, 然后把算题分成10 类: 四则运算、定和问题、余数问题、盈亏问题、互给问题、合作问题、行程问题、比例问题、数列问题和几何计算问题。 每类问题又分为若干子目, 按历史年代排序通过对照比较算题的题文、答数以及术文, 我们便可惊喜地发现: 在这10类问题中, 《九章算术》不仅都有涉及, 而且许多算题在题材丰富多样上、在数学内容的深度广度上, 在发生的年代上都居领先地位, 其中实在有许多“ 明珠” 。正如《九章算术》德文译本译者K。福格在自序中所说:“《九章算术》所含2 4 6 道算题, 就其丰富内容来说, 其他任何传世的古代数学教科书, 埃及也好, 巴比伦也好, 都是无以伦比的”,“好多欧洲中世纪的算术教科书中的算题都可以在《九章算术》中找到”。

《九章算术》的出现是中国科技界的一件大事, 它的出现立刻吸引了东汉科技人员的重视, 对《九章算术》的研究成为当时的中心问题。著名科学家张衡就是较早对《九章算术》进行研究的人。张衡, 汉安帝元初二年担任太史令, 从刘徽给《九章算术》作的注来看, 张衡研究了《九章算术》, 并对卷四“ 少广” 第2 4 题中已知球的体积求球的直径公式的不精确性试图修改。张衡利用立方体与外切立方体的体积关系试图给出这一问题的精确计算公式, 虽然他并没有彻底解决这一问题, 但他的工作却为后人解决球的体积与直径的关系开辟了道路。此后东汉时的马严之子马续、班固之妹班昭、泰山蒙阴刘洪、北海高密郑玄、马续之弟马融等人都对《九章算术》进行了深人地研究。从《乾象历》中可以了解到刘洪的一些工作。如他对《九章算术》中的正负术给出了更完整和通俗的叙述, 使其更易理解。这一时期《九章算术》已成为太学的数学教材, 被东汉太学生广泛地学习和研究。直到三国魏人刘徽为其作注，才使《九章算术》得到全面研究并不断推广。刘徽在注中十分重视挖掘《九章算术》的思想内涵，在注文中, 刘徽对计算方法进行了解释, 使其利于理解和推广; 对定理、公式进行了补证, 突出了逻辑推理在数学中的作用; 对不精确的结果, 建立了一些新方法, 给出了精确的答案; 对开平方, 开立方法进行图解, 对直除法进行改造, 使其更实用。并首创割园术、阳马术、方程新术、重差术等; 给出了面积的不变性原理和可加性原理, 这已经体现了数学理论公理化的思想。《九章算术注》的出现, 正式确立了《九章算术》在中国古代数学发展史中的中心地位, 将中国的数学理论研究推向高峰。

三国归晋后, 中国数学又在《九章算术》基础上获得了诸多突破, 取得了一批成果, 出现了一批著名的数学家, 出版了多部数学著作。这些著作有些是对《九章算术》的重述及解题方法的改进, 有些是给《九章算术》作注, 在理论和实践上取得了诸多突破的和创新。这些著作在编写体例、基本内容、理论基础等多方面都或多或少地受到了《九章算术》的影响。比如，《算经十书》中，除《周髀算经》、《五经算术》外，其他各书的体例悉从与《九章算术》的体例。而宋杨辉《详解九章算法》，明吴敬《九章算法比类大全》，程大位《直指算法统宗》，清屈曾《九数通考》，顾观光《九数存古》也多与《九章算术》有血缘关系。

此外，《九章算术》还是中国古代数学问题和方法的渊蔽。刘徽、祖冲之等人关于圆与球的研究, 来源于对《九章算术》圆田和开立圆二术的改进; 王孝通、刘益、贾宪、秦九韶、李治等人对高次方程数值解的探索, 溯其源头在《九章算术》元开方术; 历代都有研习并为中算家提供了表达一类代数恒等式元工具的勾股算术, 其发韧于勾股章中的几个题目; 《测圆海镜》中庞大的公式系统盖出于勾股章第16 题一端; 宋元以迄清代数学家的垛积研究中。商功与少广这两种不同的推理思路依稀可辨; 清代数学家关于无穷幂级数的研究虽由外来因素所引发, 但究其研究手段不外乎连比例和垛积两大类, 从根本上说未脱《九章算术》案臼。

《九章算术》问世后，一直指导着我国数学的发展，是我国一部重要的数学教科书。隋唐时，，我国数学教育制度里明文规定《九章算术》是“明算科”的必修科目之一。宋代的数学教育，多继承唐代的制度，也规定《九章算术》为必修科目。到明初仍有数学科举制度，并规定必须学习《九章算术》。1804年北宋朝廷将其进行刊刻时，使其成为世界上最早的印刷本数学书。

而现代学术研究中的数学应用与模型化思想是《九章算术》中最基本的思想，并且现代应用数学正是按照应用方向或主要采用的数学模型来分类的。将实际问题转化成数学模型，并研究与之相适应的算法，正是近代计算数学理论所要解决的主要问题，而这种处理问题的思想方法，毫无疑问来源于《九章算术》。

《九章算术》综合了当时所有的数学知识, 是一部数学百科全书。该书经过后世刘徽、李淳风、杨辉等历代数学各家的整理、修改、补充、校正和注释形成了独具中国特色的世界数学名著。它发达的算法与《几何原本》的演绎一起构成了具有东、西方不同数学风格的两部不朽的传世名著, 构成了现代数学的两大主要源泉。而《九章算术》在数学教育，后世数学著书的典范上深深影响着我国数学的发展。

总而言之，《九章算术》这一中国古代数学的核心，其数学水平处于当时世界的先进行列，对中华文化的发展起过十分重要的作用，其影响到人们的价值观念、思维方式等，其中所包含的思想，也将继续影响下去。

参考文献

1. 辛玉忠，关于《九章算术》在古代数学发展史上的地位和作用[J]，潍坊学院学报，2004年7月，第四卷第四期；

2. 吴文俊，《九章算术》与刘徽[C]，北京师范大学出版社，1982年9月第一版；

3. 蒋术亮，中国在数学上的贡献[M]，山西教育出版社，1991年6月第二版；

4. 王汝发，关于《九章算术》与中国古代数学的发展[J]，浙江万里学院学报，2004年4月，第17卷第二期；

5. 李文林，数学的进化[M]，科学出版社，2005年第一版；

6. 张维中，《九章算术》与《几何原本》比较—兼论其对数学发展的历史与现实意义，大自然探索[J]，1996年，第二期

后记

数学史的课程，随着这篇论文结束了。但在这一个学期中，在李令斗老师的“数学史”课堂上，我学到了很多东西。

首先，李令斗老师的授课方法新颖别致，通过学生们自己找课题，自己制作ppt，极大地激发了学生们的积极性，还让学生们提前感受到了论文答辩的紧张，尤其是这篇论文的制作，从选题，到搜集资料，再到整理完成，最后修改定稿，感觉自己收获颇丰，想来，明年的毕业论文在这次的经验下，不会太过不知所措很感谢老师给的这次机会！

再次，在“数学史”的课上，老师带领我们走进恢宏的数学历史中，通过学习一些数学大家的经历，给我们灌输最正确的数学学习方法，比如“跟着大师学”“自己努力”等等，使我们纠正自己的学习方法，为我们将来更深一层的学习研究也指明了道路。

最后，非常感谢李令斗老师，以及他所教授的“数学史”，也感谢在课堂上为我们作讲演的同学们，让我们了解到数学并不是枯燥的，它也可以变得非常美丽，非常的吸引人。我想数学史会在我的大学中留下浓重的一笔。

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