矢量三角形法--专题

矢量三角形法在三力平衡问题中的应用

在静力学中，经常遇到在力系作用下处于平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题．这种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全面．我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有∑F=O，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰好能首尾相接．当物体所受三力有所变化而又维word/media/image1_1.png系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改变．比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然．所以，作出物体平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形，是力三角形法的关键操作。

三力平衡的力三角形判断通常有三类情况．

一、三力中有一个力确定，即大小、方向不变，一个力方向确定。这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定

例1          如图1所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉动，

例2          则拉力Ｆ和墙壁对球的支持力Ｎ的变化情况如何？

分析与解 以球为研究对象，在平衡时受重力，绳上的拉力及墙壁

对球的支持力，三力关系可由一系列闭合的矢量三角形来描述。其中重

力为确定力，墙壁对球的支持力为方向确定力，

如图2，取点Ｏ作表示

重力的有向线段①，从该箭头的端点作支持力Ｎ的作用线所在射线②,作从射线②任意点指向Ｏ点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段③它们就是绳子拉力矢量。用曲线箭头表示变化趋势，从图中容易分析绳子拉力不断增大，墙壁对球的支持力也不断增大，因上升的过程中图中角度θ在不断增大

word/media/image5_1.png例2 如图3装置，AB为一轻杆在B处用铰链固定于竖墙壁上，AC为不可伸长的轻质拉索，重物Ｗ可在AB杆上滑行。试分析当重物W从A端向B端滑行的过程中，绳索中拉力的变化情况以及墙对AB杆作用力的变化情况。

word/media/image7_1.png分析与解 以AB杆为研究对象，用力矩平衡的知识可较为方便明确AC拉索中的拉力变化情况，但不易确定墙对AB杆作用力的情况。我们考虑到AB杆受三个力作用且处于平衡状态，则它们的作用线必相交于一点，这样三力关系可由闭合的矢量三角形来描述。其中重物对杆的拉力为确定力，拉索对杆的拉力为方向确定力，与上题类似。

 如图4，取O点作表示重物对AB杆拉力的有向线段①，过O点作绳索拉力的作用线所在射线②，从①箭头端点作指向射线②上任意

点的有向线段③，则③就是墙对AB杆的作用力.

用曲箭头表明变化趋势。从图中可以看出：随着重物从A端向B端移动的过程中，①、③的夹角θ逐渐减小，所以绳索的拉力不断减小，墙对AB杆的作用力先减小后增大。

综上所述，类型一问题的作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边，在它的箭头端沿已知方向力的方向作射线，从射线上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线段，（或在它的箭尾端沿已知方向力的方向作射线，从确定力矢量箭头作指向射线上的点的有向线段），勾画出一簇闭合的矢量三角形，用曲箭头标明动态趋势．由此可判断各个力的大小和方向的变化趋势．

word/media/image8_1.png 二、三力中有一个力确定．即大小、方向不变，一个力大小确定，这个力的方向及第三个力的大小、方向变化情况待定

例3 如图5所示，在“验证力的平行四边形定则’’实验中，用两只弹簧秤A、B把像皮条上的结点拉到某一位置0，这时两绳套AO、B0的夹角∠AOB＝90°．现保持弹簧秤A的示数不变而改变其拉力方向使a角减小，那么要使结点仍在位置O处不动，就应调整弹簧秤B的拉力大小及β角，则下列调整方法中可行的是( )

A．增大弹簧秤B的拉力、增大β角

B．增大弹簧秤B的拉力、β角不变

C．增大弹簧秤B的拉力、减小β角

word/media/image9_1.png D．弹簧秤B的拉力大小不变、增大β角

分析与解 本题中我们考察结点O，使之处于平衡的三个力中，一个力(橡皮条上的拉力F)大小方向均确定，一个力(弹簧秤A的拉力Fa)大小确定，需判断第三个力(弹簧秤B的拉力Fb)的变化情况．

如图6所示，取O点为起始点，先作力F的有向线段①，以其箭头端点为圆心，表示大小不变力Fa的线段长为半径作一圆，该圆的每条矢径②均为力Fa矢量，从该圆周上各点指向0点的各有向线段③便是弹簧秤B的拉力Fb矢量．这样我们勾画出表示可能的三力关系的三角形集合图．

word/media/image10_1.png 如图6所示，若初始状态三力关系如△0O’A，在a角减小的前提下，线段③变长，即Fb增大，而角β减小（刚开始，Fa、Fb二力互相垂直），故正确答案为选C．

例4 如图7所示，质量为m的小球，用一细线悬挂在点0处．现用一大小恒定的外力F(F﹤mg)慢慢将小球拉起，在小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的最大的偏角是多少?

分析与解 本题中研究对象小球可在一系列不同位置处于静止，静止时小球所受重力、细线上拉力及大小恒定的外力的合力总是为零．三力关系由一系列闭合的矢量三角形来描述，这些三角形中表示重力的矢量边是公共边，有一条矢量边长度相同．现在来作出这样的三角形簇：

word/media/image11_1.png 如图8所示，取点0为起始点，作确定不变的重力矢量①，以其箭头端点为圆心，表示外力F大小的线段长为半径作一圆，该圆上各条矢径②均可为已知大小的力矢量，该圆周上各点指向0点并封闭形成三角形的有向线段③便是第三个力即细线拉力矢量．这样我们得到了全面反映小球在可能的平衡位置时力三角形集,

由图可知，表示线拉力矢量与重力矢量的线段③与线段①间的夹角最大为θ=arcsinword/media/image12_1.png(线段③作为圆的切线时)，细线拉力总沿着线，故小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的偏角最大为arcsinword/media/image12_1.png

通常类型二问题的一般作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边，在它的箭头端以已知方向力为矢径作圆，从圆周上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线段，画出一簇闭合的矢量三角形．由此可判断未知力的大小和方向的变化趋势．

三、三力中有一个力大小方向确定，另二力方向变化有依据。判断二力大小变化情况

word/media/image13_1.png例5 如图9所示,固定在水平面上的光滑半球，球心0的正上方固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球．置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮，如图所示，现缓慢拉绳，使球沿半球面上升，小球对半球的压力Fn的大小，细线对小球拉力F的大小随绳的拉动而变化的情况如何？

word/media/image14_1.png分折与解 小球在任意位置处于三力平衡状态，其中小球的重力为确定力，其余两力大小不定方向变化，但两力的方向变化有依据：绳的拉力总沿绳收缩的方向，半球对小球的支持力总沿着半径的方向。我们如图作力的矢量三角形图：以O为起始端点，连接OO´，以此有向线段①表示确定力小球的重力．连接O´与小球所在位置A点，则此有向线段②表示球面对小球的支持力，最后连接AO两点，则此有向线段③表示绳子的拉力。当小球往上运动时，动态变化趋势如图10所示 可以清楚地看出有向线段②的长度始终等于球的半径长度，说明球面对小球的支持力大小应不变，而绳子的拉力在不断减小.

 word/media/image15_1.png 

例6 如图11所示，将一带电小球A用绝缘棒固定于水平地面上的某处．在它的正上方l处有一悬点O。通过长度也为l的绝缘细线悬吊一个与A球带同性电荷的小球B。于是悬线与竖直方向成某一夹角θ，现设法增大A球电量，则悬线0B对B球的拉力F的大小将如何变化？（两球可看作质点）

分折与解 小球B受三个力作用而平衡，重力，库仑力及细绳对球B的拉力，其中重力为确定力，另两个力的大小不定，方向变化，但我们知道绳的拉力总沿着绳指向绳收缩的方向，库仑力总沿着两质点的连线。因此可归为类型三

word/media/image16_1.png 我们可如图12作力的矢量三角形图：以O为起始端点，连接OA，以此有向线段①表示确定力小球B的重力，以A小球为起点，连接A与小球B，则此有向线段②表示小球B受到的库仑力，最后连接BO两点，则此有向线段③表示绳子的拉力。容易判断当小球A电量增加时， 小球B被库仑力排斥而往上运动，动态变化趋势如图一簇闭合的矢量三角形所示

可以清楚地看出有向线段③的长度始终等于绳长，由于绳长不变，由此可知绳子的拉力大小不变，有向线段②长度在不断增加，说明库仑力在不断增大

综上所述，类型三问题的作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边，将另二力按实际位置方向依据来确定，力矢量依次首尾相接，勾画出闭合的矢量三角形，通过力三角形与物体在空间移动的约束条件比照，，由此来判断各个力的大小和方向的变化趋势。

实际上， 当物体受三力作用而处于平衡时，三力合力为零，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰好能首尾相接,其本质即为学生在数学中所学的向量相加运算，因此向学生讲授三力关系的矢量图并不增加教学的难度和学生的负担。

另一资料：

在静力学中，若物体受到三个共点力的作用而平衡，则这三个力矢量构成一封闭三角形，在讨论极值问题时，这一点尤为有用．

　　例4 一球重G，置于斜面和挡板间，已知斜面倾角为α，挡板与斜面的夹角为β，不计一切摩擦，求斜面对球的作用力N1和挡板对球的作用力N2．若α不变而β可以改变，问β为何值时，N2最小？

　　解析 如图7，球受三力作用：重力G、弹力N1与N2，它们应构成一封闭三角形（如图8），从几何关系可得

　　从N2的表达式可知，当 β=90°时，N2取极小值．

　　例5 （选择题）如图9所示，绳OA、OB等长，A点固定不动，在手持B点沿圆弧向C点运动的过程中，绳OB中的张力将 [ ]

　　A．由大变小； 　　 　B．由小变大；

　　C．先变小后变大； 　 D．先变大后变小．

　　解析 设在某一位置，绳端在B′点（如图10），此时O点受三力作用而平衡：TA、TB、T，此三力构成一封闭三角形（如图11），随着B端的移动，绳B的张力TB的方向、大小不断变化（图中TB′、TB″、TB′″、……），但T的大小、方向始终不变，TA大小变而方向不变，封闭三角形关系始终成立．很容易看出：当TB与TA垂直时，即α＋θ=90°时，TB取最小值，因此，答案应选C．

动态平衡中的三力问题

在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。根据现行高考要求，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点，许多同学因不能掌握其规律往往无从下手，许多参考书的讨论常忽略几中情况，笔者整理后介绍如下。

方法一：三角形图解法。

特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。

方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。

例1.1 如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？

解析：取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。F1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。F2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F2。由此可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。

同种类型：例1.2所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m，斜面倾角为θ，向右缓慢推动斜面，直到细线与斜面平行，在这个过程中，绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况？（答案：绳上张力减小，斜面对小球的支持力增大）

方法二：相似三角形法。

特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题

原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例2．一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2-1所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是( )

A．FN先减小，后增大 B.FN始终不变

C．F先减小，后增大 D.F始终不变

解析：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图2-2所示，将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA相似，利用相似三角形对应边成比例可得：(如图2-2所示，设AO高为H，BO长为L，绳长l,)，式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小。正确答案为选项B

同种类型：如图2-3所示，光滑的半球形物体固定在水平地

面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是( D )。

(A)N变大，T变小，

(B)N变小，T变大

(C)N变小，T先变小后变大

(D)N不变，T变小

方法三：作辅助圆法

特点：作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：①物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变。②物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，

原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。第二种情况以大小不变，方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。

例3、如图3-1所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针转过90°，且保持两绳之间的夹角α不变，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA的拉力为F1，绳OB的拉力为F2，则（ ）。

(A)F1先减小后增大　　　　

(B)F1先增大后减小

(C)F2逐渐减小

(D)F2最终变为零

解析：取绳子结点O为研究对角，受到三根绳的拉力，如图3-2所示分别为F1、F2、F3，将三力构成矢量三角形(如图3-3所示的实线三角形CDE)，需满足力F3大小、方向不变，角∠ CDE不变(因为角α不变)，由于角∠DCE为直角，则三力的几何关系可以从以DE边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如图3-3中一画出的一系列虚线表示的三角形。由此可知，F1先增大后减小，F2随始终减小，且转过90°时，当好为零。

正确答案选项为B、C、D

另一种类型：如图3-4所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M、N两个测力计通过细线拉橡皮条的结点，使其到达O点，此时α+β= 90°．然后保持M的读数不变，而使α角减小，为保持结点位置不变，可采用的办法是（ 　A　 ）。

(A)减小N的读数同时减小β角

(B)减小N的读数同时增大β角

(C)增大N的读数同时增大β角

(D)增大N的读数同时减小β角

　方法四：解析法

特点：解析法适用的类型为一根绳挂着光滑滑轮，三个力中其中两个力是绳的拉力，由于是同一根绳的拉力，两个拉力相等，另一个力大小、方向不变的问题。

原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析方程式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系。当受力动态变化是，抓住绳长不变，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例4．如图4-1所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G=40N，绳长L=2.5m，OA=1.5m，求绳中张力的大小，并讨论：

（1）当B点位置固定，A端缓慢左移时，绳中张力如何变化？

（2）当A点位置固定，B端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？

解析：取绳子c点为研究对角，受到三根绳的拉力，如图4-2所示分别为F1、F2、F3，延长绳AO交竖直墙于D点，由于是同一根轻绳，可得：，BC长度等于CD，AD长度等于绳长。设角∠OAD为θ；根据三个力平衡可得： ；在三角形AOD中可知，。如果A端左移，AD变为如图4－3中虚线A′D′所示，可知A′D′不变，OD′减小，减小，F1变大。如果B端下移，BC变为如图4－4虚线B′C′所示，可知AD、OD不变，不变，F1不变。

同种类型：如图4－5所示，

长度为5cm的细绳的两端分

别系于竖立地面上相距为4m

的两杆的顶端A、B，绳子上

挂有一个光滑的轻质钩，其

下端连着一个重12N的物体，

平衡时绳中的张力多大？

专题 　①图解法与相似三角形法　②隔离法与整体法

③平衡物体的临界、极值问题

一、图解法与相似三角形法

图解法：就是通过平行四边形的邻边和对角线长短的关系或变化情况，做一些较为复杂的定性分析，从图形上一下就可以看出结果，得出结论。图解法具有直观、便于比较的特点，应用时应注意以下几点：①明确哪个力是合力，哪两个力是分力；②哪个力大小方向均不变，哪个力方向不变；③哪个力方向变化，变化的空间范围怎样。

例1、半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，OA绳和OB绳所受的力大小如何变化？

练习：如图，一倾角为θ的固定斜面上有一块可绕其下端转动的挡板P，今在挡板与斜面间夹一个重为G的光滑球，试分析挡板P由图示位置逆时针转到水平位置的过程中，球对挡板的压力如何变化？

相似三角形法：就是利用力的三角形与边三角形相似，根据相似三角形对应边成比例求解未知量。

例2、光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图。现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小如何变化？

练习：为了用起重机缓慢吊起一均匀的钢梁，现用一根绳索拴牢此钢梁的两端，使起重机的吊钩钩在绳索的中点处，如图。若钢梁的长为L，重为G，绳索所能承受的最大拉力为Fm，则绳索至少为多长？（绳索重不计）

二、隔离法与整体法-----处理连结问题的方法

整体法：以几个物体构成的系统为研究对象进行求解的方法。

隔离法：把系统分成若干部分并隔离开来，分别以每一部分为研究对象，一部分、一部分地进行受力分析，分别列出方程，再联立求解的方法。

通常在分析外力对系统的作用时用整体法，在分析系统内各物体或各部分之间的相互作用时用隔离法。有时需要两种方法交叉使用。

例3、如图，半径为R的光滑球，重为G，光滑木块厚为h，重为G1，用至少多大的水平力F推木块才能使球离开地面？

练习：如图，人重600N，水平木板重400N，如果人拉住木板处于静止状态，则人对木板的压力为多大？（滑轮重不计）

练习：两重叠在一起的滑块，置于固定的倾角为θ的斜面上，如图，滑块A、B的质量分别为m1、m2,A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A的动摩擦因数为μ2。已知两滑块从斜面由静止以相同的加速度滑下，滑块B受到的摩擦力为：

A．等于零　　　　　　　　　　　

B．方向沿斜面向上

C．大小等于μ1m2gcosθ

D．大小等于μ2m2gcosθ

三、平衡物体的临界、极值问题

平衡物体的临界问题：某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态。临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰恰不出现”某种现象的状态。平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏而尚未破坏的状态。涉及临界状态的问题叫做临界问题，解答临界问题的基本思维方法是假设推理法。

例4：跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图。已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ　(μ＜tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量取值范围。

练习：如图，不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60º，轻杆BC与竖直墙夹角为30º，杆可绕C自由转动，若细绳承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大压力为300N，则在B点最多能挂多重的物体？

平衡物体的极值问题：受几个力作用而处于平衡状态的物体，当其中某个力的大小或方向按某种形式发生改变时，为了维持物体的平衡，必引起其它某些力的变化，在变化过程中可能会出现极大值或极小值的问题。研究平衡物体的极值问题常用解析法和图解法（如例1）。

例5：拉力F作用于重为G的物体上使物体沿水平面匀速前进。如图，若物体与地面间的动摩擦因数为μ，当拉力最小时，拉力F与地面间的夹角θ为多大？

练习：如图，将质量为M的木块，分成质量为m1、m2两部分，并用细线连接，m1置于光滑水平桌面上，m2通过定滑轮竖直悬挂，m1和m2有何种关系才能使系统在加速运动过程中绳的拉力最大?拉力的最大值是多少？

练习：有三个质量相等，半径为r的圆柱体，同置于一块圆弧曲面上，为了使下面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？（所有摩擦均不计）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/54b5ced576a20029bd642d3e.html