数值分析公式大全

数值分析，第一章

1， 相对误差和绝对误差

e*=x*-x;

er*=word/media/image1.gif估计值word/media/image2.gif

2， 误差限和相对误差限

ε*≥word/media/image3.gif

εr*=word/media/image4.gif

3， 有效数字

官方定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零有效数字共有n位，就说x*有n位有效数字。表示为：x*=±10m×（a1+a2×10-1+a3×10-2+…+an×10-（n-1））=±a1.a2a3…an。其中ai为0至9中之一，a1不为0，m，n都是整数。

公式：ε*word/media/image5.gif≤word/media/image6.gif

相对误差限公式

x*具有n为有效数字，εr*≤word/media/image7.gif×10-（n-1）。

若εr*≤word/media/image8.gif×10-（n-1），则x*至少具有n为有效数字。

4， 病态问题的条件数，相对误差比值

x的扰动Δx=x-x*，误差为word/media/image9.gif，函数值f（x*）的相对误差=word/media/image10.gif

相对误差比值为：word/media/image11.gif≈word/media/image12.gif=Cp（也称为条件数）

第二章：插值法

1， 多项式插值

P（x）为n阶多项式，P（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，ai为实数。

解法：a解方程组：Aa=y，其中A=word/media/image13.gif，a=word/media/image14.gif，y=word/media/image15.gif

2， 拉格朗日插值

【1】 线性插值

L1=yklk+yk+1lk+1

插值基函数lk=word/media/image16.gif，lk+1=word/media/image17.gif

【2】 抛物线插值

L2=yklk+yk+1lk+1+yk+2lk+2

插值基函数lk=word/media/image18.gif，lk+1=word/media/image19.gif，lk+2=word/media/image20.gif

【3】 N次插值多项式（通解）

Ln=y0l0+y1l1+y2l2+…+ynln

lk=word/media/image21.gif

设ωn+1（x）=word/media/image22.gif

有ω`n+1（xk）=word/media/image23.gif

有Ln（x）=word/media/image24.gif

余项公式

N次插值多项式的余项形式

Rn=f（x）-Ln（x）=word/media/image25.gifωn+1（x）=K(x)ωn+1（x）, word/media/image26.gif (a,b)

word/media/image27.gif的位置未知，但有截断误差限：

word/media/image28.gif,Mn+1=word/media/image29.gif

3， 均差（差商）

一阶均差；f[x0，xk]= word/media/image30.gif

二阶均差：f[x0,，x1，xk]= word/media/image31.gif

高阶均差：f[x0,，x1，…，xk]= word/media/image32.gif

性质：1，k阶均差可表示为函数值f（x0），f（x1），…，f（xn）的线性组合

2，对称性，与节点次序无关

3，【前后项】f[x0,，x1，…，xk]= word/media/image33.gif

4，※n阶均差与导数的关系：f[x0,，x1，…，xk]= word/media/image34.gif，ξ∈[a，b]。

4， 牛顿插值多项式

逐次生成的插值多项式Pn（x）=a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）（x-x1）+…+an（x-x0）…（x-xn-1）

a0=f（x0），a1=f[x0，x1]，a2=f[x0，x1，x2]，…，an=f[x0，x1，…，xn]

【余项】Rn= f[x，x0，x1，…，xn]ωn+1（x）

估计截断误差限

word/media/image36.gif≤word/media/image37.gif

5， 差分

等距离节点xk=x0+kh，k=0，1，…，n；fk=f（xk）

xk处的一阶向前差分：Δfk=fk-+1-fk，xk处的二阶向前差分：Δ2fk=Δfk-+1-Δfk；

xk处的n阶差分：Δnfk=Δn-1fk-+1-Δn-1fk

【差分与差商的关系】f[xk,xk+1]= word/media/image38.gif =word/media/image39.gif，一般的f[xk,xk+1,…, xk+m]= word/media/image40.gif

【差分与导数的关系】word/media/image41.gif=hmf（m）（ξ）

差分表

（▽fk=fk-fk-1）

差分多项式：Pn（x0+th）=f0+tΔf0+word/media/image43.gifΔ2f0+…+word/media/image44.gifΔnf0

前插余项Rn= word/media/image45.gifhn+1f（n+1）（ξ）

截断误差：Rn（x）≤word/media/image46.gifωn+1（x）

6， 埃米尔特插值

要求导数值也相等

一个均差的性质：

【n阶差商】f[x0,，x0，…，x0] =word/media/image47.gif

重要情况：

n+1个节点a≤x0＜x1＜x2…＜xn≤b，满足f（xi）=fi，f’（xi）=f’I，求不超过2n+1次的多项式H2n+1（xi）=fi，H’2n+1（xi）=f’i，i=0，1，2，…n。

插值基函数αj（x）、βj（x）都是2n+1次多项式，j=0，1，…，n。满足

αj（xk）=δjk ;α’j（xk）=δjk

βj（x）=δjk;β’j（x）=δjk

(j,k=0,1,…,n)

则H2n+1（x）=word/media/image48.gif

第三章公式：

1，伯恩斯多项式

Bn=word/media/image49.gif;pk=Cnkxk(1-x)n-k

2，函数范数

word/media/image50.gif=word/media/image51.gif

word/media/image52.gif=word/media/image53.gif

word/media/image54.gif=word/media/image55.gif

3，斯密特正交多项式：

word/media/image56.gif=xi -word/media/image57.gif

4，其他多项式：

(1) 勒让德多项式，要求区间[-1，1]，权函数为1，有P0=1，P1=x，P2=word/media/image58.gif，P3=word/media/image59.gif；

递推关系：（n+1）Pn-1=（2n+1）xPn-nPn-1

(2) 切比雪夫多项式：要求区间[-1，1]权函数为word/media/image60.gif，有T0=1，T1=x，T2=word/media/image61.gif，T3=word/media/image62.gif；

递推关系：Tn-1=2xTn-Tn-1

注意：（Pi，Pi）=word/media/image63.gif；（Ti，Ti）=word/media/image64.gif（i不等于0）或π（i等于0）

（Tn=cos(narccosx)）

5，最佳平方逼近

Ga=d

S*(x)=a0φ0+a2φ2+…+anφn

G={（word/media/image65.gif（x），word/media/image66.gif（x））}（j，k=0，1，2，…）

d={（f，word/media/image65.gif（x））}T（j=0，1，2，···）

特殊：word/media/image67.gif为勒让德多项式时，ak=word/media/image68.gifdx

6，内积公式

连续函数f（x），g（x）在[a,b]上的带权内积：word/media/image69.gif dx；

离散点m个xi，f(xi)，g（xi）的带权内积：word/media/image70.gif f(xi) g（xi）。

7，曲线拟合

G={（word/media/image65.gif（x），word/media/image66.gif（x））}，（word/media/image65.gif（x），word/media/image66.gif（x））=word/media/image71.gif（xi）word/media/image66.gif（xi）

d={（f，word/media/image65.gif（x））}T，（f，word/media/image65.gif（x））=word/media/image72.gif（xi）word/media/image65.gif（xi）

8，误差

均方误差：word/media/image73.gif 22=word/media/image74.gif

9，最佳一致逼近（低次代高次）

利用切比雪夫多项式，f（x）与T（x）在最高次项相同次数情况下相减得到的多项式P*（x）即为最佳一致逼近函数，注意变换区间，令x=word/media/image78.gif [（b-a）t+a+b],t∈[-1，1]。

第四章公式

1，梯形公式，辛普森公式

word/media/image79.gifTn=word/media/image80.gif

Rn=word/media/image81.gif，ξ∈[a，b]

word/media/image82.gif=Sn=word/media/image83.gif

Rn=word/media/image84.gif，ξ∈[a，b]

2，复合梯形公式，辛普森公式

Tn=word/media/image85.gif

Rn=word/media/image86.gif，word/media/image87.gif∈（word/media/image88.gif，word/media/image89.gif）

Sn=word/media/image90.gif

Rn=word/media/image91.gif，word/media/image87.gif∈（word/media/image88.gif，word/media/image89.gif）

3，机械求积公式word/media/image92.gif，代数精度为m，高斯求积公式为2m+1

前提：xk为高斯点。充要条件：ωm+1（x）=（x-x0）…（x-xm）与任意不高于m次的多项式正交。

余项Rn=word/media/image93.gif

4，高斯-勒让德求积公式

word/media/image94.gif，其中高斯点为Pn+1（x）=0的解，将word/media/image88.gif代入高斯公式所得的方程组中可求word/media/image95.gif

Rn=word/media/image96.gif

5，高斯-切比雪夫求积公式

word/media/image97.gif，其中高斯点为Tn+1（x）=0的解，word/media/image98.gif

k=0，1，…，n。Ak=word/media/image99.gif

也可写为word/media/image100.gif，word/media/image101.gif，k=1，2，…，n

第五章解线性方程组的直接方法：

去除矩阵论部分的基本知识点，剩余内容有;

1， 高斯消去法

Ax=b

将A按行化简为三角矩阵（等同于做多次消元过程）最后解简单方程组A（n）x=b（n）

2， 高斯主元素消去法

列主元素消去法：若出现akk（k）=0

B=word/media/image102.gif

在A的第一列中选择绝对值最大元素做为主元素，如丨ai1，1丨=max1≤i≤n丨ai1丨然后交换B的第一行与第i1行，word/media/image102.gif→word/media/image103.gif

重复n-1次，得到word/media/image104.gif

此时A→word/media/image105.gif

word/media/image106.gif

3， 三角分解法

A=LU，Lux=b，则Ly=b，Ux=y。

【L，U为独立特利分解：U1i=a1i，Li1=ai1/U11，Uri=ari-word/media/image107.gif，Lir=（air-word/media/image108.gif）/Urr；L的主对角线为1】

word/media/image109.gif

word/media/image110.gif

4， 考虑主元素的三角分解法

Urr为0或很小的值时三角分解法中断，此时分解残留A的右下角word/media/image111.gif，

按计算Uir的方法把arr…anr全部算出比较大小，将最大值取Urr并将此行与r行交换。

5， 误差分析

矩阵条件数

Ax=b，b的扰动δb使x的解为x+δx，有A（x+δx）=b+δb→δx=A-1δb→word/media/image112.gif‖A-1δb‖≤‖A-1‖‖δb‖又因为word/media/image113.gif，则word/media/image114.gif

乘到一块：word/media/image115.gif A-1word/media/image116.gif定义cond（A）v=word/media/image117.gifA-1word/media/image117.gifvword/media/image118.gifv(v为某范数)

【任何非奇异A都有condA≥1】

【cond(A)2=word/media/image119.gif】

事后误差估计：

word/media/image120.gif为线性方程Ax=b的近似解，余量r=b-Aword/media/image120.gif，用公式word/media/image121.gif，word/media/image122.gif

第六章公式

1，一阶定常迭代

Ax=b→x=Bx+f，x（k+1）=Bx（k）+f，k=0，1，2，…，n。（B与k无关）

收敛：B（k）→0，（k→∞）此时B（k）=Bk，则Bk→0的充要条件：ρ（B）＜1，至少存在一种范数小于1。

分裂法构造B：A=M-N（其中M非奇异），则x=M-1Nx+M-1b =M-1（M-A）x+M-1b=（I-M-1A）x+M-1b。

收敛速度：

平均收敛速度：Rk（B）= - lnword/media/image123.gif

渐进收敛速度：Rk（B）= - lnρ(B)

2，雅可比迭代法

A=D-L-U，D为A的对角元素，L是A的对角线下面的元素的相反数，R是对角线上面元素的相反数。

B=D-1（L+U），f=D-1b。

雅可比迭代法的收敛条件：

（1） ρ(B)＜1

（2） word/media/image124.gif＜1

（3） A为严格对角占优：丨aii丨＞word/media/image125.gifaij丨（设A为n×n阶方阵）

（4） A为弱对角占优且不可约：

丨aii丨≥word/media/image125.gifaij丨且至少一个丨aii丨＞word/media/image125.gifaij丨成立，【弱对角占优】；

能使PTAP=word/media/image126.gif（其中A11和A22为方阵）的P不存在。【不可约】

（5） A为主对角线元素都大于0的对称阵时，A和2D-A均正定。【各阶主子式大于0】

3，高斯—塞德尔迭代法

A=D-L-U，B=（D-L）-1U，f=D-L）-1b。

收敛条件：

（1） ρ(B)＜1

（2） word/media/image124.gif＜1

（3） A为严格对角占优

（4） A为弱对角占优且不可约

（5） A为主对角线元素都大于0的对称阵时，A为正定阵。

4，超松弛迭代法：（SOR）

分裂矩阵M为带参数的下三角矩阵，M=word/media/image127.gif其中word/media/image128.gif＞0为松弛因子

M-1= word/media/image129.gif，

B=Lω=（I-M-1A）=I- word/media/image130.gif =word/media/image131.gif [word/media/image132.gif- word/media/image133.gif]= word/media/image131.gif（（1- word/media/image128.gif）D+ word/media/image134.gif）

x=Lωx+f，f=M-1b= word/media/image129.gifb；当word/media/image135.gif时称为超松弛迭代法。

收敛性：当word/media/image136.gif2时Ax=b的SOR法收敛（必要条件）（当A为正定矩阵时word/media/image136.gif2为充要条件）

当A严格对角占优或弱对角占优不可约时，word/media/image137.gif。则SOR收敛。

注：

【雅可比法的原理】

x11=word/media/image138.gif

xii=word/media/image139.gif

【高斯—塞德尔法的原理】

word/media/image140.gif=word/media/image141.gif

【超松弛法的原理】

word/media/image140.gif=word/media/image142.gif

第七章公式：

1，不动点迭代法【收敛速度慢】

y=f（x*）=0→x*=φ（x*）→xi+1=φ（xi）【f（x*）=φ（x*），x*为不动点】

局部收敛：x0∈R=｛x丨word/media/image143.gif }经过xi+1=φ（xi）产生的｛xk｝收敛到x*。等价于：φ（x），不动点x*，φword/media/image144.gif（x）在某领域连续，且丨φword/media/image144.gif（x）丨＜1，则局部收敛。

P阶收敛：当k→∞时迭代误差ek=xk-x*满足word/media/image145.gif。等价于：φ（n）（x）在x*

2，牛顿法【非线性→线性】

f（x）=0用泰勒公式在xk点展开，有f（xk）+f’（xk）（x-xk）=0→xk+1=xk-word/media/image146.gif，k=0，1，…。

【牛顿简化法】：（平行弦法，用C=1/f’（x0））

xk+1=xk-Cf（xk），C≠0，k=0，1，…。

【牛顿下山法】：（x0位置与敛散性）

保证丨f（xk+1）丨<丨f（xk）丨的前提下，引入下山因子λ（0＜λ≤1），xk+1=xkword/media/image147.gif，λ从1开始逐次减半。

3，弦截法：【利用已知f（xk），f（xk-1）代替f’（xk）】

word/media/image89.gif=word/media/image88.gif+word/media/image148.gif（word/media/image149.gif）

word/media/image89.gif=word/media/image88.gif+word/media/image150.gif（word/media/image151.gif）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/548dff161711cc7930b7160e.html