一、问题背景
苏教版《数学必修2》P112第12题:
已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为,那么点M的坐标应满足什么关系?画出满足条件的点M所构成的曲线.
二、阿波罗尼斯圆
公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.
如图,点A,B为两定点,动点P满足PA=λPB.
则λ=1时,动点P的轨迹为直线;当λ≠1时,动点P的轨迹为圆,后世称之为阿波罗尼斯圆.
证:设AB=2m(m>0),PA=λPB,以AB中点为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则A(-m,0),B(m,0).
又设P(x,y),则由PA=λPB得=λ,
两边平方并化简整理得(λ2-1)x2-2m(λ2+1)x+(λ2-1)y2=m2(1-λ2).
当λ=1时,x=0,轨迹为线段AB的垂直平分线;
当λ>1时,2+y2=,轨迹为以点为圆心,为半径的圆.
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.
三、阿波罗尼斯圆的性质
1.满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB和外分AB所得的两个分点.
2.直线CM平分∠ACB,直线CN平分∠ACB的外角.
3.=.
4.CM⊥CN.
5.当λ>1时,点B在圆O内;
当0<λ<1时,点A在圆O内.
6.若AC,AD是切线,则CD与AO的交点即为B.
7.若过点B做圆O的不与CD重合的弦EF,则AB平分∠EAF.
四、范例欣赏
例1 设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.
解 设动点P的坐标为(x,y),
由=a(a>0),得=a.
化简得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0.
当a≠1时,得x2+x+c2+y2=0,整理得2+y2=2.
当a=1时,化简得x=0.
所以当a≠1时,P点的轨迹是以为圆心,
为半径的圆;
当a=1时,P点的轨迹为y轴.
例2 如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得PM=PN,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.
解 以O1O2的中点O为原点,O1O2所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,
则O1(-2,0),O2(2,0),
由已知PM=PN,得PM2=2PN2,
因为两圆的半径均为1,
所以PO-1=2(PO-1),
设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1].
即(x-6)2+y2=33,
所以所求轨迹方程为(x-6)2+y2=33.
例3 如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
解 (1)联立得圆心为C(3,2).
切线的斜率存在,设切线方程为y=kx+3.
d==r=1,
得k=0或k=-.
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2)设点M(x,y),由MA=2MO,知
=2,
化简得x2+(y+1)2=4.
即点M的轨迹为以(0,-1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D.
又因为点M在圆C上,故圆C与圆D的关系为相交或相切.
故1≤CD≤3,其中CD=.
解得0≤a≤.
例4 在x轴正半轴上是否存在两个定点A,B,使得圆x2+y2=4上任意一点到A,B两点的距离之比为常数?如果存在,求出点A,B坐标;如果不存在,请说明理由.
解 假设在x轴正半轴上存在两个定点A,B,使得圆x2+y2=4上任意一点到A,B两点的距离之比为常数,设P(x,y),A(x1,0),B(x2,0),其中x2>x1>0.
即=对满足x2+y2=4的任何实数对(x,y)恒成立,
整理得,2x(4x1-x2)+x-4x=3(x2+y2),将x2+y2=4代入得,
2x(4x1-x2)+x-4x=12,这个式子对任意x∈[-2,2]恒成立,
所以一定有因为x2>x1>0,
所以解得x1=1,x2=4.
所以在x轴正半轴上存在两个定点A(1,0),B(4,0),使得圆x2+y2=4上任意一点到A,B两点的距离之比为常数.
五、跟踪演练
1.满足条件AB=2,AC=BC的△ABC的面积的最大值是________.
答案 2
解析 以AB中点为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y),
由AC=BC,得=·.
平方化简整理得y2=-x2+6x-1=-(x-3)2+8≤8.
∴|y|≤2,则
S△ABC=×2|y|≤2,∴S△ABC的最大值是2.
2.在△ABC中,边BC的中点为D,若AB=2,BC=AD,则△ABC的面积的最大值是________.
答案 4
解析 以AB中点为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),
由BD=CD,BC=AD知,AD=BD,D的轨迹为阿波罗尼斯圆,方程为(x-3)2+y2=8,设C(x,y),
得D,所以点C的轨迹方程为2+2=8,即(x-5)2+y2=32.
所以S△ABC=×2|y|=|y|≤=4,故S△ABC的最大值是4.
3.在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2),若存在点P,使得PA=PB,PC=PD,则实数a的取值范围是________.
答案 [-2-1,2-1]
解析 设P(x,y),则=·,
整理得(x-5)2+y2=8,即动点P在以(5,0)为圆心,2为半径的圆上运动.
另一方面,由PC=PD知动点P在线段CD的垂直平分线y=a+1上运动,因而问题就转化为直线y=a+1与圆(x-5)2+y2=8有交点.
所以|a+1|≤2,
故实数a的取值范围是[-2-1,2-1].
4.如图,在等腰△ABC中,已知AB=AC,B(-1,0),AC边的中点为D(2,0),则点C的轨迹所包围的图形的面积等于________.
答案 4π
解析 因为AB=2AD,所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆,易知其方程为(x-3)2+y2=4(y≠0).
设C(x,y),由AC边的中点为D(2,0),知A(4-x,-y),所以C的轨迹方程为(4-x-3)2+(-y)2=4,即(x-1)2+y2=4(y≠0),所求的面积为4π.
5.如图,已知平面α⊥平面β,A,B是平面α与平面β的交线上的两个定点,DA⊂β,CB⊂β,且DA⊥α,CB⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,在平面α上有一个动点P,使得∠APD=∠BPC,求△PAB的面积的最大值.
解 ∵DA⊥α,PA⊂α,
∴DA⊥PA,
∴在Rt△PAD中,tan∠APD==,
同理tan∠BPC==.
∵∠APD=∠BPC,
∴BP=2AP.
在平面α上以线段AB的中点为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(-3,0),B(3,0),
设P(x,y),则有=2(y≠0).
化简得(x+5)2+y2=16,
∴y2=16-(x+5)2≤16.
∴|y|≤4.
△PAB的面积为S△PAB=|y|·AB=3|y|≤12,当且仅当x=-5,y=±4时取得等号,则△PAB的面积的最大值是12.
6.已知⊙O:x2+y2=1和点M(4,2).
(1)过点M向⊙O引切线l,求直线l的方程;
(2)求以点M为圆心,且被直线y=2x-1截得的弦长为4的⊙M的方程;
(3)设P为(2)中⊙M上任一点,过点P向⊙O引切线,切点为Q,试探究:平面内是否存在一定点R,使得为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.
解 (1)直线l的斜率存在,
设切线l方程为y-2=k(x-4),
易得=1,解得k=.
∴切线l的方程为y-2=(x-4).
(2)圆心到直线y=2x-1的距离为,设圆的半径为r,则r2=22+()2=9,
∴⊙M的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.
(3)假设存在这样的点R(a,b),点P的坐标为(x,y),相应的定值为λ.
根据题意可得PQ=,
∴=λ,
即x2+y2-1=λ2(x2+y2-2ax-2by+a2+b2).(*)
又点P在圆M上,∴(x-4)2+(y-2)2=9,即x2+y2=8x+4y-11,代入(*)式得
8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a2+b2-11)],
若系数对应相等,则等式恒成立,
∴
解得a=2,b=1,λ=或a=,b=,λ=,
∴可以找到这样的定点R,使得为定值,如点R的坐标为(2,1)时,比值为,点R的坐标为时,比值为.
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