2019-2020年高三下学期4月二模考试数学（理）试题含答案
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．函数的定义域是 ．
2．函数的最小正周期
．
3．已知全集，集合
，
．若
，则实数
的取值范围是 ．
4．已知等差数列的公差为
，
，前
项和为
，则
的数值是 ．
5．函数的单调递增区间是 ．
6．函数的反函数是
，则反函数的解析式是
．
7．方程的解
．
8．在中，角
所对的边的长度分别为
，且
，
则 .
9．已知是虚数单位，以下同)是关于
的实系数一元二次方程
的一个根，则实数
，
．
10．若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为，球心到该截面的距离是
，则这个球的表面积是 ．
11．(理)已知向量，则向量
在向量
的方向上的投影是 ．
12．(理)直线的参数方程是
是参数)，则直线
的一个方向向量是 ．(答案不唯一)
13．(理)某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球．用随机变量表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量
的数学期望值
．
14．已知函数是定义域为
的偶函数. 当
时，
若关于
的方程
有且只有7个不同实数根，则
(理)实数的取值范围是 ．
二．选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知，且
，则下列结论恒成立的是 [答] ( )．
A． B．
C．
D．
16．已知空间直线不在平面
内，则“直线
上有两个点到平面
的距离相等”是“
”的
[答] ( )．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
17．已知，则直线
与圆：
的位置关系是
[答] ( )．
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
18．(理)给出下列命题：
(1)已知事件是互斥事件，若
，则
；
(2)已知事件是互相独立事件，若
，则
(
表示事件
的对立事件)；
(3)的二项展开式中，共有4个有理项．
则其中真命题的序号是 [答]( )．
A．(1)、(2)． B．(1)、(3)． C．(2)、(3)． D．(1)、(2)、(3)．
三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
中，
，
是棱
的中点．如图所示．
(1)求证：平面
；
(2)求二面角的大小．
20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知复数．
(1)求的最小值；
(2)设，记
表示复数z的虚部). 将函数
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移
个单位长度，得到函数
的图像. 试求函数
的解析式．
21．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域
内，乙中转站建在区域
内．分界线
固定，且
=
百米，边界线
始终
，边界线
满足
．
设(
)百米，
百米.
(1)试将表示成
的函数，并求出函数
的解析式；
(2)当取何值时？整个中转站的占地面积
最小，并求出其面积的最小值．
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知数列满足
(
)．
(1)求的值；
(2)求(用含
的式子表示)；
(3) (理)记数列的前
项和为
，求
(用含
的式子表示)．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
(理)已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点
到直线
的距离等于点
到点
的距离的2倍．记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程；
(2)斜率为的直线
与曲线
交于
两个不同点，若直线
不过点
，设直线
的斜率分别为
，求
的数值；
(3)试问：是否存在一个定圆，与以动点
为圆心，以
为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．
参考答案和评分标准(2014年4月10日)
一、填空题
1．； 8．
；
2．； 9．
；
3． ； 10．
；
4．； 11．(理)
；
5．； 12．(理)
；
6．； 13．(理)
；
7． ； 14．(理)
．
二、选择题： 15．C 16．B 17．B 18．D
三、解答题
(理)证明(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点、
、
、
、
、
．
于是，．
可算得．
因此，．
又，
所以，．
(2)设是平面
的法向量．
∴
又，
∴ 取
，可得
即平面
的一个法向量是
．
由(1)知，是平面
的一个法向量，
记与
的夹角为
，则
，
．
结合三棱柱可知，二面角是锐角，
∴所求二面角的大小是
．
20．本题满分14分
解(1)∵，
∴
.
∴当，即
时，
.
(2)∵，
∴.
∴.
将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图像所对应的函数是
.
把函数的图像向右平移
个单位长度，得到的图像对应的函数是
．
∴.
21．本题满分12分．
解(1)结合图形可知，．
于是，，
解得．
(2)由(1)知，，
因此，
(当且仅当
，即
时，等号成立)．
答：当米时，整个中转站的占地面积
最小，最小面积是
平方米. 12分
22．本题满分18分．
解(1)
(
)，
(2)由题知，有．
．
∴．
(理)(3) ∵，
∴．
∴．
又，
当
为偶数时，
．
当
为奇数时，
．
综上，有
23．本题满分18分．
(理)解(1)由题知，有.
化简，得曲线的方程：
．
(2)∵直线的斜率为
，且不过
点，
∴可设直线：
．
联立方程组得
．
又交点为，
∴．
∴
(3)答：一定存在满足题意的定圆.
理由：∵动圆与定圆
相内切，
∴两圆的圆心之间距离与其中一个圆的半径之和或差必为定值.
又恰好是曲线(椭圆)
的右焦点，且
是曲线
上的动点，
记曲线的左焦点为
，联想椭圆轨迹定义，有
，
∴若定圆的圆心与点
重合，定圆的半径为4时，则定圆
满足题意.
∴定圆的方程为：
.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/50fa50bce3bd960590c69ec3d5bbfd0a7956d5f6.html
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