2017-2018学年高中数学北师大版选修4-5训练：第二章 几个重要的不等式1-2 含答案 精品

一、选择题

1.设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为(　　)

A.9　　　　B.3　　　　C.　　　　D.1

解析　[()2＋()2＋()2]·

≥

即(a＋b＋c)≥32.

又∵a＋b＋c＝3，∴＋＋≥3，最小值为3.

答案　B

2.已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为(　　)

A.1 B.n

C. D.2

解析　由柯西不等式(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)≥(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2得1·1≥(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2，∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn≤1.所求的最大值为1.

答案　A

3.已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为(　　)

A.，， B.，，

C.1，， D.1，，

解析　x2＋y2＋z2＝

≥＝，

当且仅当时，等号成立，则4k＋9k＋16k＝29k＝10，

解得k＝，∴选B.

答案　B

二、填空题

4.已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为________.

解析　4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)

≥(a＋b＋c＋d)2

即4(16－e2)≥(8－e)2，即64－4e2≥64－16e＋e2

∴5e2－16e≥0，故0≤e≤.

答案　

5.设a，b，c＞0且a＋b＋c＝A(A为常数).则＋＋的最小值为________.

解析　＋＋＝

≥＝.

答案　

三、解答题

6.已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值.

解　由柯西不等式得，有

(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，

即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2

由条件可得，5－a2≥(3－a)2

解得，1≤a≤2当且仅当＝＝时等号成立，代入b＝，c＝，d＝时，amax＝2.

b＝1，c＝，d＝时，amin＝1.

7.设a1>a2>…>an>an＋1，求证：

＋＋…＋＋>0.

证明　∵a1－an＋1＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)，

∴[(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)]·

≥(·＋·＋…＋·)2＝n2>1.

∴(a1－an＋1)>1.

即＋＋…＋>，

故＋＋…＋＋>0.

8.设P是△ABC内的一点，x，y，z是P到三边a，b，c的距离.R是△ABC外接圆的半径，证明：＋＋≤·.

证明　由柯西不等式得，

＋＋＝ ＋ ＋

≤ .

设S为△ABC的面积，则

ax＋by＋cz＝2S＝2＝，

＋＋≤

＝≤ ，

故不等式成立.

9.已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.

(1)求a＋b＋c的值；

(2)求a2＋b2＋c2的最小值.

解　(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，

当且仅当－a≤x≤b时，等号成立.

又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.

所以f(x)的最小值为a＋b＋c.

又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.

(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得

(4＋9＋1)

≥＝(a＋b＋c)2＝16，

即a2＋b2＋c2≥.

当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值是.

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