备考2019浙教版数学中考模拟（宁波市）试卷 解析版

【备考2019】浙教版数学中考模拟（宁波市)试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列各式，错误的是( )

A．－1<3 B．0>－5 C．－3>－2 D．－9<－8

2．在今年的十一黄金周期间，新昌十九峰景区共接待海内外游客约11.2万人次，则数据11.2万用科学计数法可表示为（ ）

A．11.2×104 B．11.2×105 C．1.12×104 D．1.12 ×105

3．下列各式中计算正确的是（　　）

A．（x+y）2=x2+y2 B．（3x）2=6x2 C．（x3）2=x6 D．a2+a2=a4

4．桌面上有A，B两球及5个指定的点，若将B球分别射向这5个点，则B球一次反弹后击中A球的概率为（　　）

A． B． C． D．

5．已知一多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形是（ ）

A．十二边形 B．十边形 C．八边形 D．六边形

6．如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是　　

A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图

7．如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、O、F分别是 AB、BD、BC的中点，且，，则平行四边形ABCD的周长为　　

A．10 B．12 C．15 D．20

8．有20个数据，其中8个数的平均数为11，另12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是（ ）

A．11.5 B．11.6 C．23.2 D．232

9．如图，AB与⊙O相切于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，则劣弧的长是（　　）

A． B． C． D．

10．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边与函数y=（x＞0）图象交于E，F两点，且F是BC的中点，则四边形ACFE的面积等于（　　）

A．4 B．6 C．8 D．不能确定

11．如果多项式，则p的最小值是　　

A．1005 B．1006 C．1007 D．1008

12．如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc＜0；② 2a＞b；③b=a+c；④8a+c＞0；⑤ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1．其中正确的命题有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题（每小题4分，共24分)

13．计算:〡一〡= ______．

14．当x________________时，分式有意义.

15．若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝________．

16．如图，在地面上离旗杆底部米的处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，若测角仪的高度为米，则旗杆的高为________米．（结果保留根号）

17．如图，直线l与⊙O相切于点A，作半径OB并延长至点C，使得BC=OB，作CD⊥直线l于点D，连接BD得∠CBD=75°，则∠OCD=_____度．

18．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD的面积等于_____．

三、解答题（8小题，共78分)

19．（1）计算：；

（2）解不等式：

20．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．

21．如图，在ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于E，F.

(1)求BD的长；

(2)当旋转角∠AOF＝________° 时，△AOF与△BOE的面积相等？请写出理由．

22．某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，随机抽查部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己最喜欢的一个版面，将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：

请根据图中信息，解答下列问题：

该调查的样本容量为______，______，“第一版”对应扇形的圆心角为______；

请你补全条形统计图；

若该校有1000名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数．

23．如图，在等边△ABC 内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将线段AD绕点A旋转到AE，使∠DAE=∠BAC，连接EC．

（1）求CE的长；

（2）求cos∠CDE的值．

24．某商家用1200元购进了一批T恤，上市后很快售完，商家又用2800元购进了第二批这种T恤，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．

（1）该商家购进的第一批T恤是多少件？

（2）若两批T恤按相同的标价销售，最后剩下20件按八折优惠卖出，如果希望两批T恤全部售完的利润率不低于16%（不考虑其它因素），那么每件T恤的标价至少是多少元？

25．如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点 P 叫做△ABC 的费马点．

（1）如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．

①求证：△ABP∽△BCP；

②若 PA=3，PC=4，则 PB= ．

（2）已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和 BD相交于 P 点．如图（2）

①求∠CPD 的度数；

②求证：P 点为△ABC 的费马点．

26．如图，是的直径， 是的一条弦， , 的延长线交于点、交的延长线于点，连接且恰好∥,连接交于点，延长交于点，连接.

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）当时，求的值.

参考答案

1．【考点】有理数的大小比较

【分析】根据数的大小比较，进行分析判断．

解：A. －1<3,负数小于正数, 所以A选项的说法是正确的;

B. 0>－5,0大于负数, 所以B选项的说法是正确的;

C. －3>－2,两个负数比较大小,绝对值大的反而小, 所以C选项的说法是错误的;

D. －9<－8, 两个负数比较大小,绝对值大的反而小, 所以D选项的说法是正确的.

故答案为:C.

【点睛】本题考查了有理数的大小比较，属于基础题型.

2．【考点】科学记数法-表示较大的数

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n的值等于原数的整数位数减1，由此即可解答

解：11.2万=112000= 1.12 ×105.

故选D.

【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．

3．【考点】完全平方公式，合并同类项以，幂的乘方与积的乘方

【分析】根据完全平方公式对A进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对B、C进行判断；根据合并同类项对D进行判断．

解：A、（x+y）2=x2+2xy+y2，所以A选项错误；
B、（3x）2=9x2，所以B选项错误；
C、（x3）2=x6，所以C选项正确；
D、a2+a2=2a2，所以D选项错误．
故选：C．

【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了合并同类项以及幂的乘方与积的乘方．

4．【考点】轴对称的性质，概率公式

【分析】要使反弹后击中A球，则应该使入射角等于反射角，据此求解．

解：如图，5个点中使B球一次反弹后击中A球的是点C、D这两个点，

所以B球一次反弹后击中A球的概率为，

故选B．

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及概率公式，关键是找能使入射角和反射角相等的点．

5．【考点】多边形的内角和

【分析】本题先由题意列出方程即（n-2）×180°=150°×n，解出即可．

解：设这个多边形的边数为n，

∵这个多边形的每一个内角都等于150°，

∴根据题意可列方程（n-2）×180°=150°n，

解得n=12．

∴这个多边形的边数为12．

故选A．

【点睛】此题主要考查了多边形的内角和定理，解题的关键是找出题中的等量关系．

6．【考点】三视图，中心对称图形

【分析】根据所得到的主视图、俯视图、左视图结合中心对称图形的定义进行判断即可.

解：观察几何体，可得三视图如图所示：

可知俯视图是中心对称图形，

故选C.

【点睛】本题考查了三视图、中心对称图形，正确得到三视图是解决问题的关键.

7．【考点】三角形的中位线性质

【分析】由于点E、O、F分别是 AB、BD、BC的中点,根据三角形的中位线性质可得:AD=2OE=6,CD=2OF=4,再根据平行四边形周长公式计算即可.

解：因为点E,O,F分别是 AB,BD,BC的中点,

所以OE是△ABD的中位线,OF是△DBC中位线,

所以AD=2OE=6,CD=2OF=4,

所以平行四边形的周长等于=,

故选D.

【点睛】本题主要考查三角形的中位线性质,解决本题的关键是要熟练掌握三角形中位线的性质.

8．【考点】算术平均数

【分析】根据8个数的平均数为11，求得8个数的和，再根据12个数的平均数是12，求得12个数的和，8个数的和加12个数的和除以20即可．

解：根据平均数的求法：共（8+12）=20个数，这些数之和为8×11+12×12=232，故这些数的平均数是=11.6．
故选：B．

【点睛】本题考查了算术平均数的计算方法，属于基础题，首先求得8个数的和以及12个数的和是解决本题的关键．

9．【考点】切线的性质，含30度直角三角形，弧长公式

【分析】连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到△AOB为直角三角形，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，由OA求出OB的长，且∠AOB=60°，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到∠OBC=60°，又OB=OC，得到△BOC为等边三角形，确定出∠BOC=60°，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．

解：连接OB，OC．

∵AB为圆O的切线，

∴∠ABO=90°．在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，

∴OB=1，∠AOB=60°．

∵BC∥OA，

∴∠OBC=∠AOB=60°．

又∵OB=OC，

∴△BOC为等边三角形，

∴∠BOC=60°，

则劣弧BC的弧长为=π．

故选B．

【点睛】此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．

10．【考点】矩形的性质，反比例函数的性质

【分析】由四边形OABC是矩形，F是BC的中点，可设F（m,n）,则B（m,2n）,又E点在抛物线上，则E（,2n）.可以用含m,n的式子表示出矩形OABC，三角形AOC和三角形BEF的面积.F在反比例函数的图形上可得到mn的关系，

再依据S四边形ACFE =S矩形OABC-S△AOC-S△BEF.即可求.

解：∵边形OABC是矩形，F是BC的中点，

∴可设F（m,n）,则B（m,2n）,又E点在抛物线上，则E（,2n），

∵F在抛物线上，

∴mn=8,

∵F（m,n）,B（m,2n）, E（,2n），

∴OA=2n,AB=OC=m,AE=,BF=n,

∴S矩形OABC=2mn,

S△AOC =×OA×OC==×2n×m=mn,

S△BEF =×BE×BF=×(m-)×n=mn-4,

∵S四边形ACFE =S矩形OABC-S△AOC-S△BEF,

∴S四边形ACFE =2mn-mn-(mn-4)=mn+2,

∵mn=8,

∴S四边形ACFE =mn+2=6.

【点睛】依据矩形的性质设出点的坐标，会转化四边形ACFE的面积，并会运用反比例函数的性质是解本题的关键.

11．【考点】配方法分应用

【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性解答．

解：

，

，，

，

的最小值为1005，

故选：A．

【点睛】本题考查的是配方法分应用，掌握完全平方公式和偶次方的非负性是解题的关键．

12．【考点】二次函数图象与系数的关系

【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴为x=-1，确定2a与b的关系，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号，根据抛物线与x轴的交点坐标，求出ax2+bx+c=0的两根．

解：①∵开口向上，∴a＞0，对称轴在y轴的左侧，b＞0，抛物线与y轴交于负半轴，c＜0，∴abc＜0∴①正确；

②-=-1，b=2a，②错误；

③当x=1时，y=0，∴a+b+c=0，③正确；

④当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，∴8a+c＞0，④正确；

⑤∵对称轴为x=-1，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-3，0），（1，0），∴ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1，⑤正确

故选C．

【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式

13．【考点】绝对值

【分析】先根据二次根式的性质化简，然后再根据绝对值的性质计算即可.

解：〡一〡=|-|=.

故答案为：

【点睛】此题主要考查了求一个数的绝对值，关键是先要根据二次根式的性质化简，再求一个负数的绝对值（一个负数的绝对值等于其相反数）求解.

14．【考点】分式有意义的条件

【分析】根据“使分式有意义的条件”进行分析解答即可.

解：∵分式有意义，

∴，解得：.

故答案为：.

【点睛】知道：“使分式有意义的条件是：分式中字母的取值不能使分母的值为0”是解答本题的关键.

15．【考点】分解因式

【分析】直接利用平方差公式进行分解得出即可．

解：∵x2-9=（x+3）（x-3）=（x-3）（x+a），

∴a=3．

故答案为：3．

【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．

16．【考点】锐角三角函数的应用

【分析】利用仰角的定义，即水平线与视线的夹角，得出∠CDE=60°，再利用锐角三角函数tan∠CDE，求出CE，再加上BE即是BC．

解：连接CD，做DE⊥BC垂足为E，

∵测角仪测得旗杆顶端C的仰角为60°，
∴∠CDE=60°，
∵测角仪在离旗杆底部5米的A处，
∴AB=DE=5米，
∴tan∠CDE=，
∴CE=5，
∴BC=5．
故答案为：．

【点睛】此题主要考查了仰角的定义，以及锐角三角函数的应用，题目比较贴近生活，正确选择正确的三角函数关系，是解决问题的关键．

17．【考点】切线的性质，中位线性质，等腰三角形性质

【分析】过点B作BE⊥AD于点D，连接AB，利用BC=OB、CD⊥AD及AD为⊙O切线可证得△BAD为等腰三角形，此时可利用∠BAD=∠BDA找到∠C与∠O的关系，从而可以求出∠C的度数．

解：过点B作BE⊥AD于点D，连接AB，

∵直线l与⊙O相切于点A，

∴OA⊥AD，

∵CD⊥AD，

∴OA∥BE∥CD，

∴∠O+∠C=180°，

∵OB=BC，

∴AE=ED，

∴BA=BD，

∴∠BAE=∠BDE，

∵直线l与⊙O相切于点A，

∴∠O=2∠BAE，

∴∠O=2∠BDE，

∵∠CBD=75°，CD⊥AD，

∴∠BDC=105°﹣∠C，∠BDE=90°﹣（105°﹣∠C）=∠C﹣15°，

∴∠O=2（∠C﹣15°）=2∠C﹣30°，

∴2∠C﹣30°+∠C=180°，解得∠C=70°．

故答案为：70．

【点睛】本题考查了切线的性质、中位线性质、等腰三角形性质，解题的关键是通过辅助线构造等腰三角形，将所求角之间的关系建立起来．

18．【考点】菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理

【分析】将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，想办法证明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题．

解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH⊥BP于H．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵AM＝AP，∠MAP＝60°，

∴△AMP是等边三角形，

∵∠MAP＝∠BAC，

∴∠MAB＝∠PAC，

∴△MAB≌△PAC，

∴BM＝PC＝10，

∵PM2＋PB2＝100，BM2＝100，

∴PM2＋PB2＝BM2，

∴∠MPB＝90°，

∵∠APM＝60°，

∴∠APB＝150°，∠APH＝30°，

∴AH＝PA＝3，PH＝，BH＝8＋，

∴AB2＝AH2＋BH2＝100＋48，

∴菱形ABCD的面积＝2•△ABC的面积＝2××AB2＝50＋72，

故答案为：50＋72．

【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

19．【考点】整式的混合运算，解一元一次不等式

【分析】（1）先用平方差公式、完全平方公式进行展开，然后再合并同类项即可；

（2）按去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤进行求解即可得.

解：（1）原式 = ，

= ，

= ；

（2）去分母得，，

去括号得，2x-2≥x-2+6，

移项得，2x-x≥-2+6+2，

合并同类项得， .

【点睛】本题考查了整式的混合运算、解一元一次不等式，熟练掌握整式的运算法则、一元一次不等式的解法是关键.

20．【考点】待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的平移

【分析】（1）把点B和点C的坐标代入函数解析式解方程组即可；

（2）求出原抛物线上x＝－2时，y的值为－5，则抛物线上点（－2，－5）平移后的对应点为（－2，－1），根据纵坐标的变化可得平移的方向和平移的距离．

解：（1）把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c

得，

解得，

所以抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x﹣3；

（2）把x＝﹣2代入y＝﹣x2＋2x﹣3得y＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，

点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），

所以需将抛物线向上平移4个单位．

【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．

21．【考点】行四边形性质，勾股定理，中位线

【分析】(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理求AC，由平行四边形性质求OA，在Rt△BAO中，由勾股定理得BO＝;

(2)当F在AD中点时，OF和OE是△AOD和△BOC的中线，能平分面积，此时OF是三角形ABD的中位线，则OF平行于AB，所以∠AOF＝∠BAC＝90°.

解：解：(1)在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，

∴AC＝＝2.

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BD＝2BO，AO＝AC＝1.在Rt△BAO中，由勾股定理得BO＝＝，

∴BD＝2.

(2)90　理由如下：易证△BOE≌△DOF，

∴若△AOF与△BOE面积相等，则△AOF与△DOF面积相等．

又∵△AOF与△DOF底边AF和DF上的高相同，

∴AF＝DF，即F为AD的中点．

又∵O为BD的中点，∴OF为△DAB的中位线，

∴OF∥AB，

∴∠AOF＝∠BAC＝90°.

故答案为90.

【点睛】本题考核知识点：平行四边形性质，勾股定理，中位线.灵活运用这些性质是解题关键.

22．【考点】条形统计图，扇形统计图

【分析】（1）设样本容量为x．由题意=10%，求出x即可解决问题；

（2）求出“第三版”的人数为50-15-5-18=12，画出条形图即可；

（3）用样本估计总体的思想解决问题即可．

解：设样本容量为x．

由题意，

解得，

，

“第一版”对应扇形的圆心角为

故答案分别为50，36，108．

“第三版”的人数为，

条形图如图所示，

该校有1000名学生，估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数约为人．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23．【考点】等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转变换，锐角三角函数，一元二次方程的应用

【分析】(1)先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，

(2)判断△ADE为等边三角形,得到DE=AD=5过E点作EH⊥CD于H,如图,设DH=x，则CH=4﹣x，利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，计算得出 ，然后根据余弦的定义求解.

解：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，

∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，

（2）∵AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，

∴△ADE为等边三角形，

∴DE=AD=5，

过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，

在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，

在Rt△CHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2，

∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，

∴DH=，

在Rt△EDH中，cos∠HDE=，

即∠CDE的余弦值为．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转变换，锐角三角函数，一元二次方程的应用，正确寻找全等三角形是解题的关键，属于基础题．

24．【考点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用

【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了5元，列出方程求解即可；
（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．

（1）解：设购进的第一批恤是x件．

由题意，得

解得x＝40．

经检验，x＝40是所列方程的解．

所以商家购进的第一批恤是40件．

（2）设每件的标价是y元

由题意，（40＋40×2－20）y＋0.8×20y≥（1200＋2800）（1＋16%）

解得y≥40．

即每件恤的标价至少40元．

【点睛】本题考查的知识点是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程．

25．【考点】相似形综合题

【分析】（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；

②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；

（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数；

②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．

（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，

∴∠PAB=∠PBC，

又∵∠APB=∠BPC=120°，

∴△ABP∽△BCP，

②解：∵△ABP∽△BCP，

∴，

∴PB2=PA•PC=12，

∴PB=2；

（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，

∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，

在△ACE和△ABD中，

，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∴∠CPD=∠6=∠5=60°；

②证明：∵△ADF∽△CFP，

∴AF•PF=DF•CF，

∵∠AFP=∠CFD，

∴△AFP∽△CDF．

∴∠APF=∠ACD=60°，

∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，

∴∠BPC=120°，

∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，

∴P点为△ABC的费马点．

【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，费马点的定义，以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

26．【考点】圆的基本性质，相似三角形的应用

【分析】(1)、根据CD⊥AB，PC∥AB得出PC⊥CD，从而得出切线；(2)、根据题意得出△FEP和△PED相似，从而得出，根据切割线定理得出，从而得出答案；(3)、根据题意得出△DHG和△FBG全等得出OH=1，过点O作OM⊥DB，根据直角三角形的性质得出OM和PM的长度，最后根据三角函数计算法则得出答案．

（1）证明：∵是的直径，

∴CD⊥AB，

又∵∥，

∴PC⊥CD，

∴为的切线；

（2）∥，

，

∴，

∴，

又

∴，

∴，

∴

又根据切割线定理（或连接CF利用射影定理或相似可得）：，

∴，

；

（3）∥，

∴，，，

又（2）可知，，

∴， ，

∴ ，

∴ ， 又，，

∴；

， ，

∴，

∴，

过点O作OM⊥DB，

∴ ，

∴，

又∥，∴，

∴，

∴，

，．

【点睛】本题主要考查的是圆的基本性质以及三角形相似的应用，综合性比较强，难度中上．利用圆里面的角相等得出三角形相似，得出线段之间的关系是解题的关键．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4d477e42988fcc22bcd126fff705cc1754275f5c.html