绥化学院

本科毕业设计（论文）

计算定积分的若干方法

学生姓名： 赵书娜

学 号： 200851242

专 业： 数学与应用数学

年 级： 2008级

指导教师： 张姮妤 讲 师

Suihua University Graduation Paper

Some Methods of Calculating the Definite Integral

Student name Zhao Shuna

Student number 200851242

Major Mathematics and Applied Maths

Supervising teacher Zhang Hengyu

Suihua University

摘 要

定积分是微积分学中的一个重要组成部分，其计算方法和运算技巧具有灵活多样性．本文主要介绍了定积分计算的常用方法及特殊方法，通过实例分析探讨了定积分计算中所采用的几种方法和技巧，其中包括用定积分定义、牛顿—莱布尼茨公式、换元法、奇偶性、级数、二重积分等计算定积分的方法，为定积分的计算带来了方便．

关键词：定积分；换元法；奇偶性；级数

Abstract

The definite integral is an important part of calculus, and its method and skill with flexible diversity. This paper mainly introduces the common methods and special methods of the definite integral calculation, which discusses several methods and skills including the definition method, Newton-Leibniz formula, the method of changing element, parity, series, double integral and so on, and it will bring convenient for the integral calculation.

Key words: the definite integral; the method of changing element; parity; series

目 录

摘 要 I

Abstract II

前　言 1

第1章 计算定积分的常用方法 2

第1节　利用定积分的定义计算定积分 2

第2节　利用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分 4

第3节　利用换元法计算定积分 5

第2章　计算定积分的特殊方法 8

第1节　利用奇偶性计算定积分 8

第2节　利用建立方程或方程组法计算定积分 10

第3节　利用级数的性质计算定积分 11

第4节 利用概率理论计算定积分 14

第5节 利用二重积分和特殊积分计算定积分 17

结 论 20

参考文献 21

致 谢 22

前　言

从历史上说，定积分是由计算平面上闭曲线围成区域的面积而产生的，为了计算这类区域的面积，最后归结为计算具有特定结构的和式的极限．人们在实践中逐渐认识到，这种特定结构的和式的极限，不仅是计算区域面积的数学工具，而且也是计算许多实际问题（如变力作功、水的压力、立体体积等）的数学工具．因此，无论是在理论上还是在实践中，特定结构的和式的极限——定积分具有普遍的意义．于是，定积分就成为数学分析重要的组成部分之一．

定积分中最重要的内容就是定积分的计算方法．对于定积分的计算，首先要求准确性，其次是快速性，而这两个目的的实现就需要有较好的方法和技巧．本文主要以求定积分的各种方法为主线，对其分别概述、举例、并加以分析说明，从而得出适合不同题型的定积分计算方法．学习中应着眼于基本方法的积累，有了这种积累，才会孕育出更多的特殊方法及技巧．

定积分在微积分学中占有极为重要的地位，它与微分相比，难度大，计算方法灵活，如果我们仅仅按定积分的定义计算定积分，往往是十分困难的，因此，切实掌握求定积分的各种计算方法是非常必要的．

第1章 计算定积分的常用方法

定积分是积分学的基础，而且是概率统计、复变函数等课程的重要知识工具．定积分概念抽象，定理较多，在定积分计算中难度也很大．本章介绍了定积分计算的三种常用方法，即定义法、牛顿—莱布尼茨公式法及换元法，这些方法都可以被用于求解一些简单的定积分．

第1节　利用定积分的定义计算定积分

利用定积分定义来计算定积分，常要求其被积函数一般是比较简单的情形，适用于初学者对于定义掌握的一种锻炼，由于在运算过程中和式的极限一般不容易求得，所以这种方法只适用于简单的初等函数．

定义1　设函数在闭区间上有定义，在内任意插入个分点：

，，，，，

令，，使

，

把区间分为个小区间

，，，，，，

各个小区间的长度依次为

　　　，，，，

在小区间上任取，作函数值与小区间长度的乘积，并作和

．

记，如果不论对怎样分法，也不论点在小区间上怎样选取，只要时，和总趋于确定的极限．这时，我们称这个极限为函数在上的定积分，记作，即

．

其中，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间．

定理1　设函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上可积．

定理2　设函数在闭区间上有界，且有有限个间断点，则函数在闭区间上可积．

因此，用定义计算定积分可分为两步：

1. 先确定函数的可积性；

2. 再计算．

例1　求，．

解 因为函数在闭区间上连续，则函数在区间上可积，采用定义法．取，将等分成个小区间，分点坐标依次是

，

取是小区间的右端点，即，则

　　　　　， 　　（1）

又

，

将此结果代入式（1）中，有

．

第2节　利用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分

通过求积分和的极限来计算定积分一般很困难，而牛顿—莱布尼茨公式避免了求极限和的繁琐，不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来．

定理3（微积分基本定理） 若函数在闭区间上连续，且是的原函数，则

　　　　　　　　　， 　　　（1）

式子（1）称为微积分基本公式，亦称牛顿—莱布尼茨公式，要求定积分，只需求出被积函数的一个原函数在此区间上的增量即可．

例1 求定积分．

解　因为是的一个原函数，由牛顿—莱布尼茨公式，有

．

例2 求定积分，其中是正整数．

解　已知，由牛顿—莱布尼茨公式，有

．

例3 求．

解　

．

第3节　利用换元法计算定积分

换元积分法就是在积分过程中通过引入变量来简化积分计算的一种积分计算方法．通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应的变换积分的上下限，通过换元可以达到简化积分计算的目的．

定理4　若函数在闭区间上连续，且函数在区间有连续导数，当时，，又，，则

，

这种方法叫做换元积分法，使用换元积分法关键是恰当选择变换函数，且需注意换元必换限．此法没有一般规律可循，但被积函数中含有根式时，而通过代换又可以消除根式的情况下，可采用换元积分法．

　　例1 ．

解 令，则，当时，；当时，，则

　　　　　　 　．

例2 求．

解　设，有，当时，；当时，，则

　　　　　　　　　　　　　 ．

例3 求．

解 因为

，

对等号右端第二个积分进行换元，设，，当时，；当时，，则

　　　　，

于是

　　　　．

例4 求．

解　令，先求不定积分，于是

　　 ，

所以

　　 　．

第2章　计算定积分的特殊方法

求定积分的方法很多，对某些特殊定积分的情形，完全可以不使用一般性的解题方法．随着社会的不断发展，新方法也会越来越多，但是要对具体问题具体分析，灵活的选用恰当的方法，才能准确的计算出定积分的值．

第1节　利用奇偶性计算定积分

函数的奇偶性在定积分的计算中有着重要应用，为定积分的计算带来方便．

性质1　若是奇函数（即），那么对于任意的常数，在闭区间上，．

性质2 若是偶函数（即），那么对于任意的常数，在闭区间上，．

例1 求．

解　因为是偶函数，所以

　　　　　　．

例2 求．

解　，

其中被积函数为奇函数，被积函数为偶函数，故有

　　　　　　　　　　　 ．

例3 设函数，试求定积分．

解　因为是奇函数，所以是偶函数，于是

．

而

，

对于第二个积分，令，当时，；当时，，有

　　　　　　　，

则

　　　　　　　 ，

所以

　　　　　　　　　　　　　　　．

此外，若积分区间不关于原点对称时，我们可以将被积函数通过换元或适当的拆项等方法转化后，再运用上述结论简化计算．

第2节　利用建立方程或方程组法计算定积分

定积分的计算中会遇到有些积分很难直接用基本方法计算出来，但是如果能构造另外一个定积分，再利用代数的方法，就很容易解出．此方法往往和带参变量方法联用，先建立方程，再求解．运用时，要注意初始条件，以便确定通解的任意常数．

例1 设，．在上，，计算．

解　令，当时，；当时，，则

，

因此有

，

即

　　　　　　　　　　　　　　　　．

例2 求．

解 先计算不定积分

　　　　　　　　　　　　　　 ，

对于上式的第二项再使用分部积分法，得

，

所以

，

，

则

．

例3 求．

解 令，，由

，

　　　　　　　 　 ，

所以

，

解方程组得，所以．

第3节　利用级数的性质计算定积分

这种方法是利用一元无穷级数，并且用级数的展开形式代替被积函数来求定积分，既简便，又易计算．

定理1　设在上一致收敛于，又每一项都在上连续，则

．

定理2　设幂级数的收敛半径为，其和为，又，则

．

定理3　设在上是逐段连续的函数，且其级数为

，

又设和是上任意两点，则

．

定理4　设级数的各项在上是（常义）可积的，且级数一致收敛，又在上是绝对可积的函数，则级数可以逐项积分．

例1 计算．

解 在区间内，函数按余弦形式展开的三角级数为

，

由此得

，

因而由定理4知

，

右边的级数对于上的一致收敛，故当时，上式可逐项取极限

．

例2 求．

解　令，．当时，；当时，，则

，

因为时，，由基本展式：，，所以

　　　　　　　　　　（因为）．

例3 求．

解　

　，

因为时， ，从而有

　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　 （1）（1）式右端在区间内一致连续，故

．

另一方面，从而有

，

因此

．

第4节 利用概率理论计算定积分

利用概率理论求定积分既简化了定积分的计算过程，又将积分与概率联系到一起，其思路就是运用概率公式，再用“凑微分法”，即直接凑成已知积分，用这种“凑微分法”可大大简化计算结果，提高计算速度．

定理5　若服从正态分布，其概率密度为，则

，

　　　　　　　　　　．

定理6　若服从指数分布，其概率密度为，则

　　　　　　　　　　，

　　　　　　　　　　．

定理7　若服从，其概率密度为，其中，为常数，则

　　　　　　　　　，

　　　　　　　　　．

定理8　若服从分布，其概率密度为，为正整数，则

　　　　　　　　　（当时），

　　　　　　　　　（当时）．

例1 求．

解 利用正态分布，由于是偶函数，故有

　　 ．

例2 求．

解　利用指数分布，则

　　　 ．

例3 求．

解 利用分布，则

　　　 ．

例4 求．

解 利用分布，则

．

第5节 利用二重积分和特殊积分计算定积分

二重积分一般是通过转化为累次积分即两个定积分来计算的，但从逆向思维的角度来看，有些定积分问题也可以转化为二重积分进行计算．对于某些特殊结构的被积函数而言，可先将定积分设法化为二重积分，再用二重积分的性质进行计算．另外可利用欧拉积分，椭圆积分，勒让德积分，通常将所求积分转化成某种特殊积分（如果可以转化的话），利用其特性查表求得其值．

例1 求．

解 由在内连续，且，，故有意义．又由，因此有

．

例2　求，，．

解 由于，则有

．

例3 求．

解 由于，则有

，

令，则．当时，；当时，，则

．

例4 求．

解 ，

令，则．当时，；当时，，则

　　　 ．

故有

，

其中，分别为勒让德第一类，第二类椭圆积分，经查表，，故有

．

例5 求．

解　令，则有．利用三角恒等式可得

　　　　，，，

将其带入原式，得

，

其中

，

从而有

．

对某些特殊定积分的情形，完全可以不使用一般性的解题方法，而是要具体问题具体分析，有时还有比常规方法更简捷的方法，如上述例题中讨论的，这样可减少计算量，提高解题效率．

结 论

本文主要研究了数学分析中定积分的计算，定积分的计算有很强的灵活性，形式多样，对具体函数的积分，我们不能只停留在常规的方法上，具体问题具体分析，只有通过积极尝试，才能寻求到简便方法，提高定积分的解题技能．

　　定积分的计算方法与技巧丰富多样，除用定积分的定义、性质、基本公式、换元积分法与分部积分法等方法外，我们还可以巧用对称区间、概率公式、几何意义等方法和技巧来求定积分．本文介绍了一些定积分的计算方法及特殊技巧，以提高我们对于定积分的计算能力．但是求定积分的方法还有很多，需要我们不断地去探究，使这些特殊的定积分的计算大大简化．通过对定积分方法及技巧的研究，引导我们积极思考问题，提高我们的分析问题和解决问题的能力．

参考文献

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[2] 刘玉琏，傅沛仁，数学分析讲义 [M]，北京：高等教育出版社，(2008)：428-430

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[4] 杨传林，数学分析解题思想与方法 [M]，杭州：浙江大学出版社，(2008)：97-102

[5] 范培华，研究生入学考试微积分 [M]，北京：北京大学出版社，(2002)：139-140

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[7] 罗威，定积分计算中的若干技巧 [J]，沈阳师范大学学报，2010，28(2)：165-168

[8] 刘坤林，谭泽光，微积分通用辅导讲义 [M]，北京：清华大学出版社，(2008)：

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[9] 于新凯，金少华，微积分典型问题分析与习题精选 [M]，天津：天津大学出版社，(2009)：93-96

[10] 张景中，直来直去的微积分 [M]，北京：科学出版社，(2010)：123-125

[11] 魏宗舒，概率论与数理统计教程 [M]，北京：高等教育出版社，(2008)：112-142

[12] 陈文灯，黄先开，高等数学复习指导—思路、方法与技巧 [M]，北京：清华大学出版社，(2003)：454-461

致 谢

通过这一阶段的努力，我的毕业论文《计算定积分的若干方法》终于完成了，这意味着大学生活即将结束．在本文的撰写过程中，张姮妤老师作为我的指导老师，她治学严谨，学识渊博，视野广阔，为我营造了一种良好的学术氛围．置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了明确的学术目标，领会了基本的思考方式，掌握了通用的研究方法，而且还明白了许多待人接物与为人处世的道理．张老师严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力，与无微不至、感人至深的人文关怀，令人如沐春风，倍感温馨．正是由于她在百忙之中多次审阅全文，对细节进行修改，并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见，本文才得以成型．

值此论文完成之际，谨向关心、帮助、支持和鼓励我的张姮妤老师致以最真诚的谢意和最衷心的祝福！向她无可挑剔的敬业精神、严谨认真的治学态度、深厚的专业修养和平易近人的待人方式表示深深的敬意！

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4b5733e9aeaad1f346933f8e.html