2.4.3 相关函数
1.自相关函数
自相关函数是信号在时域中特性的平均度量,它用来描述信号在一个时刻的取值与
另一时刻取值的依赖关系,其定义式为
(2.4.6)
对于周期信号,积分平均时间T为信号周期。对于有限时间内的信号,例如单个脉
冲,当T趋于无穷大时,该平均值将趋于零,这时自相关函数可用下式计算
(2.4.7)
自相关函数就是信号x(t和它的时移信号x(t+τ乘积的平均值,它是时移变量τ的函
数。
例如信号
的自相关函数为
若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成,即
,则
对于正弦信号,由于
,其自相关函数仍为
由此可见,正弦(余弦)信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号
的频率成分,其频率不变,幅值等于原幅值平方的一半,即等于该频率分量的平均功率
,但丢失了相角的信息。
自相关函数具有如下主要性质:
(1)自相关函数为偶函数,,其图形对称于纵轴。因此,不论时移
方向是导前还是滞后(τ为正或负),函数值不变。
(2)当τ=0时,自相关函数具有最大值,且等于信号的均方值,即
(2.4.8)
(3)周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
(4)若随机信号不含周期成分,当τ趋于无穷大时,
,即
(2.4.9)
趋于信号平均值的平方
实际工程应用中,常采用自相关系数
来度量其不同时刻信号值之间的相关程
度,定义式为
当τ=0时,
x(t+τ之间彼此无关。由于 (2.4.10)
=1,说明相关程度最大;当τ=∞时,,说明信号x(t与
,所以。值的大小表示信号相
关性的强弱。
自相关函数的性质可用图2.4.3表示。
图2.4.3 自相关函数的性质
常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示,自相关函数的典型应用包括:
(1)检测信号回声(反射)。若在宽带信号中存在着带时间延迟
信号的自相关函数将在
反射体的位置,同时自相关系数在 处的值将给出反射信号相对强度的度量。
自相关函数图形